☉福建省三明市列東中學(xué) 詹高晟

☉福建省三明市教育科學(xué)研究所 蘇德杰

一道中考試題的命制與感悟

☉福建省三明市列東中學(xué) 詹高晟

☉福建省三明市教育科學(xué)研究所 蘇德杰

筆者有幸參加了2015年福建省三明市中考數(shù)學(xué)試題的命制工作，下面談?wù)勗摼淼?5題的命制經(jīng)過及感悟，以期與同行交流.

一、確定立意

二、命制過程

根據(jù)命題立意及全卷知識(shí)點(diǎn)的統(tǒng)籌安排，命題組決定以特殊平行邊四形為載體，圍繞圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形的全等、勾股定理、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)的考查，開展題目編制.經(jīng)過討論，確定選用教材中的習(xí)題作為“母題”，通過改編、引申和拓展，擬出初稿.

圖1

母題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°.試判斷EF、BE、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

初稿：如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°.

（1）求證：EF＝BE+DF；

（2）連接BD，分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，求證：MN2＝BM2＋DN2；

圖2

（3）若∠CEF=45°，求證：EF2=2BE2+ 2DF2.

首先，要對(duì)鐵路隧道施工安全管理人員進(jìn)行相應(yīng)的專業(yè)素養(yǎng)培訓(xùn)，主要是針對(duì)管理人員安全意識(shí)淡薄和風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)能力不足的情況，進(jìn)行有針對(duì)性的培訓(xùn)教育。在提高管理人員安全意識(shí)的同時(shí)，能夠提升其應(yīng)對(duì)突發(fā)狀況的能力，在施工安全管理人員的選擇上，應(yīng)該要求持證上崗。其次，施工安全管理人員應(yīng)當(dāng)在工作中積極進(jìn)行安全施工理念的宣傳，提高施工人員的安全意識(shí)，降低在施工中安全事故發(fā)生的概率。

診斷分析：初稿從形式上看基本滿足雙向細(xì)目表的要求，三問考查的都是三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，形式上還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.通過認(rèn)真審視，命題組認(rèn)為存在以下不足，需加以改進(jìn)：

（1）第一問雖然比較常見，但解題思路不夠直觀，學(xué)生不易想到，起點(diǎn)較高，與其所處的第一問的位置不符，應(yīng)該降低難度.

（2）第二問的解答延續(xù)第一問的思路，兩問的關(guān)聯(lián)性太強(qiáng)，梯度不夠明顯，似有頭重腳輕之嫌，應(yīng)適當(dāng)提高第二問的難度.

（3）作為壓軸題，缺乏探究性問題，思維深度不夠，整道試題顯得比較單薄，應(yīng)該對(duì)第三問進(jìn)一步拓展，考慮能否在矩形中探究更一般的情況.

因此，命題組重新考慮構(gòu)思，形成二稿.

二稿：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

（1）求證：AD＋DF＝AB＋BE；

（2）求證：EF2=2BE2+2DF2；

（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖4），（2）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

圖3

圖4

診斷分析：二稿中，對(duì)初稿的第一問重新設(shè)置，把初稿的第三問調(diào)整為第二問，增加第三問.設(shè)置第一問意在引導(dǎo)學(xué)生延長(zhǎng)AB、AD，分別與直線EF交于點(diǎn)M、N，把原問題轉(zhuǎn)化為證明AM＝AN（如圖5），為第二問鋪路搭橋，這樣第二問就可轉(zhuǎn)化為證明EF2=ME2+NF2.證明EF2=ME2+NF2的關(guān)鍵是將△ANF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AMG（如圖6），把三條線段EF、ME、NF歸集到直角△GEM中，再用勾股定理完成證明，同時(shí)也為第三問的解決暗示思路.第三問是第二問的進(jìn)一步拓展，具有一定的探究性.但細(xì)細(xì)品味，二稿還有不少值得推敲的地方：

圖5

圖6

（1）在解答第一、二問時(shí)，學(xué)生自然的證明思路應(yīng)該是通過證明CE=CF，得到BE＝DF，從而說明AD＋DF＝AB＋ BE；再去連接AC，完成EF2=2BE2+2DF2的證明，根本不需要用到我們預(yù)設(shè)的思路，這樣一來，不僅一、二兩問之間沒有關(guān)聯(lián)，通過它們?yōu)榈谌龁柕慕獯鸫钐菀犯菬o從談起.

（2）如果第二問的解答按照命題組預(yù)想的思路，由于缺少“旋轉(zhuǎn)”這一添加輔助線的鋪墊，就會(huì)顯得難度陡增，而第三問卻又可以直接套用第二問的思路，區(qū)分度明顯不夠，達(dá)不到選拔的目的，會(huì)出現(xiàn)二、三兩問難度倒掛的現(xiàn)象，試題的自洽性不足.

（3）第三問要求學(xué)生完成結(jié)論的證明，書寫量過大，同時(shí)與第二問的證明過程會(huì)有重復(fù)之嫌；如果不安排寫出證明過程，學(xué)生可以通過猜測(cè)得出“EF2=2BE2+2DF2仍然成立”這一結(jié)論，無法檢測(cè)出他們的真實(shí)水平，達(dá)不到考查的目的.

鑒于以上分析，試題在設(shè)問、結(jié)構(gòu)方面還需要進(jìn)一步改進(jìn)優(yōu)化.討論后，命題組決定重新設(shè)置第一問，把第二問用到的“旋轉(zhuǎn)”這一添加輔助線解題思路通過第一問題目的表述先行顯化出來，為第二問搭好梯子；同時(shí)改進(jìn)第二問，使其與第一問具有更好的連貫性；把二稿的第二問后置成第三問，以矩形為背景，設(shè)置成探究性問題，形成終稿.

終稿：在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖7），求證：△AEG≌△AEF；

（2）若直線EF與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N（如圖8），求證：EF2=ME2+NF2；

（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖9），請(qǐng)你直接寫出線段EF、BE、DF之間的等量關(guān)系.

圖7

圖8

圖9

診斷分析：在終稿中，三個(gè)小問的設(shè)置匠心獨(dú)具，既各自獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián)，由易到難，梯度適當(dāng).整個(gè)解題過程以圖形的旋轉(zhuǎn)變換為主線，第一問起點(diǎn)低，注重基礎(chǔ)，讓多數(shù)學(xué)生都能入手，獲得成功體驗(yàn)，增強(qiáng)繼續(xù)探究的信心；同時(shí)，第一問還為第二問的解決暗示了思維方向.第二問適度拔高，與二稿相比，結(jié)論更加直觀，思考方向更加明確，證明的關(guān)鍵是理解第一問的設(shè)置意圖，仿造第一問題目中條件的敘述，把△ANF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AMG（如圖10），把三條線段EF、ME、FN化歸到同一個(gè)直角△GME中.此問還可通過假設(shè)BE=a，進(jìn)而求得EF=2a，從而得證.第三問繼續(xù)深入探究，是第二問的自然延伸，但隱去了圖8中的線段MB、ME、NF、ND，這樣一來，結(jié)論隱藏得更深，對(duì)學(xué)生的幾何直觀能力提出了更高的要求，增大了思維含量，進(jìn)一步提高了試題的選拔功能.探究時(shí)，既可以把它轉(zhuǎn)化為第二問，利用第二問的結(jié)論找到EF、BE、DF之間的等量關(guān)系，也可以模仿第二問的證明思路，通過旋轉(zhuǎn)探究結(jié)論，解答過程突顯建模思想的應(yīng)用，滲透由特殊到一般、化歸和轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想，有較好的區(qū)分度.第三問雖然只需要學(xué)生直接寫出結(jié)論，但同樣能實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題能力的有效考查，達(dá)到多思少寫的預(yù)設(shè)要求.

圖10

此外，本題的第二、三兩問也可以通過隱含在圖形中的軸對(duì)稱這一特性，利用軸對(duì)稱性質(zhì)來解題，解題思路簡(jiǎn)述如下：

在第二問中，連接AC，可以證明△AEM≌△AEC，△AFN≌△AFC（實(shí)質(zhì)就是△AEM和△AEC關(guān)于直線AE對(duì)稱，△AFN和△AFC關(guān)于直線AF對(duì)稱），得到ME=CE，NF=CF，把三條線段EF、ME、FN化歸到直角△ECF中，再利用勾股定理即可.

圖11

在第三問中，延長(zhǎng)AB、AD，分別與直線EF交于點(diǎn)M、N，類比第二問的證法，把△AME沿AE所在直線翻折到△APE位置（如圖11），連接PF，則△AFN≌△AFP，從而ME=PE， NF=PF，這樣就把三條線段EF、ME、FN化歸到直角△PEF中，問題得到解決.

三、命題感悟

1.一道好題應(yīng)追求自然流暢的問題設(shè)置

壓軸題一般都會(huì)有兩到三問，在問題設(shè)置時(shí)要由易到難，梯度合理，各問之間既要相對(duì)獨(dú)立，又要相互關(guān)聯(lián)，努力保持流暢，不能打斷、阻隔學(xué)生的思維.起始問要控制難度，在突出主干知識(shí)考查的同時(shí)，要讓學(xué)生感到上手容易，減輕恐懼心理，增強(qiáng)答題信心.承接問要兼顧兩頭，設(shè)計(jì)的問題既要能夠串聯(lián)起前面的問題，推動(dòng)思維的發(fā)展，更應(yīng)為后一問的解決做好鋪墊，承接問的設(shè)置將直接影響整道壓軸題的質(zhì)量，如果設(shè)計(jì)不理想，壓軸題就可能成為若干問題的“拼盤”，只有學(xué)科知識(shí)，沒有主線串接.終結(jié)問要升華境界，設(shè)置的問題應(yīng)回避現(xiàn)成的套路，在情境、立意、形式的創(chuàng)新上多下功夫，使得問題既在情理之中，又在意料之外.答題思路應(yīng)該在需要預(yù)測(cè)、需要直覺、需要轉(zhuǎn)換視角、合情推理等思維參與的地方，讓“猜題押寶”和“題海戰(zhàn)術(shù)”無法奏效，體現(xiàn)壓軸題的選拔功能.

2.一道好題應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的考查

壓軸題一般都會(huì)考查到大量的知識(shí)點(diǎn)，但不能僅僅是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單堆砌，還應(yīng)當(dāng)蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)技能在更高層次上的抽象與概括，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的靈魂.［1］能否靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是衡量一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志，要提高試題的區(qū)分度，就要在分析探求思路、優(yōu)化解答方案等環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想方法的考查.在本題命制過程中，命題組不斷優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)，終稿的三個(gè)設(shè)問層次分明，相輔相成，各問之間環(huán)環(huán)相扣，解答時(shí)則要層層剝開，步步深入，運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.這也告訴我們，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好解題后的反思，揭示知識(shí)的來龍去脈和內(nèi)在聯(lián)系，感悟其中的思想與方法，逐步積累運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)能力.

3.一道好題應(yīng)兼顧不同學(xué)生的思維特征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在學(xué)段目標(biāo)中指出，要讓學(xué)生“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的辦法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.”［2］落實(shí)到試題中，就是要讓問題的求解路徑能夠多樣化，兼顧不同學(xué)生的思維特征，更好地體現(xiàn)中考試題的公平性.終稿的二、三兩問，解題思路、證明方法都不是唯一的，能有效考查不同學(xué)生分析問題、解決問題的能力和方法，讓他們都能有所展示，不同的做法反映出不同的思維過程，體現(xiàn)不同學(xué)生對(duì)問題理解角度的不同，又能做到殊途同歸.但如何引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)最優(yōu)解決方法，做到事半功倍，就要求教師更好地改進(jìn)教學(xué)，在尊重差異的前提下，讓更多學(xué)生的思維得到提升.

1.朱廣科.動(dòng)靜轉(zhuǎn)化表其外數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)其中——徐州卷第27題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（10）.

2.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.H