☉浙江省杭州觀成中學 董唯佳

經(jīng)歷“微課題”探究，積累數(shù)學研究經(jīng)驗
——以2015年江西南昌卷第24題為例

☉浙江省杭州觀成中學 董唯佳

新世紀以來，各地中考卷把關(guān)題的類型豐富多樣，其中有一類示范“數(shù)學研究套路”的“微課題”考題較為搶眼，往往以新定義某個概念或性質(zhì)為出發(fā)點，引導學生經(jīng)歷“特例起步”“歸納證明”“拓展應(yīng)用”全過程，考題的難度拾階而上，一波三折，既實現(xiàn)了考卷的區(qū)分考查功能，又追求了教學導向，是一類值得點贊的好題型.本文以2015年江西南昌卷第24題為例，簡要貫通思路之后，圍繞該題的解題教學，開發(fā)成“一題一課”，并闡釋教學思考，供研討.

一、考題及思路簡述

考題（2015年江西南昌，第24題）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.

特例探索

如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a=________，b= ________.

圖1

圖2

圖3

圖4

歸納證明

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

（3）如圖4，在?ABCD中，點E、F、G分別是AD、BC、 CD的中點，BE⊥EG，，AB=3，求AF的長.

思路簡述：（1）在圖1中，Rt△ABP是等腰直角三角形，容易求得由EF是△ABC的中位線，可得切換到等腰直角△PEF中，有PE=PF=1.把目光聚焦到Rt△FPB和Rt△PEA中，于是，即

如圖5，連接EF.

圖5

圖6

（2）猜想：a2+b2=5c2.

如圖6，連接EF.

設(shè)∠ABP=α，引入銳角三角函數(shù)參與演算，則AP=csinα，PB=ccosα.由（1）同理可c2cos2α，整理、化簡得

圖7

（3）如圖7，連接AC、EF交于點H，AC與BE交于點Q，BE與AF的交點為P.

目標是構(gòu)造一個三角形，使該三角形中有兩條中線互相垂直，就是把問題轉(zhuǎn)化為上面兩問中提到的“中垂三角形”，經(jīng)過仔細觀察和推理演算，應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)△AEF是“中垂三角形”，由（2）的結(jié)論得：AF2+EF2=5AE2，所以有

二、“一題一課”教學簡案

筆者曾在《中學數(shù)學》2014年9月初中版發(fā)文（詳見文1）述及近年來對“簡約課堂”的實踐和追求，以下我們本著簡約課堂的教學取向，圍繞“考題”開發(fā)一份“一題一課”的教學簡案，供研討.

（一）引入階段

問題1：三角形的兩條中線是否相交？能否垂直？如果能，請畫出符合要求的一種圖形.

預(yù)設(shè)意圖：通過學生參與進來的畫圖活動，引入新定義“中垂三角形”，并板書，“留”在黑板上（如果只是PPT呈現(xiàn)，切換到下一屏時不少學生容易忘記“新定義”及其“約定”）.

問題2：如圖1，△ABC是“中垂三角形”，當∠ABE= 45°，時，你能求出圖形中哪些線段的長？

預(yù)設(shè)意圖：將問題開放，不同的學生會有不同的思考和深度，直至最終發(fā)現(xiàn)圖1中所有線段都是可以求出來的，也為下一個問題提供鋪墊.

問題3：如圖2，△ABC是“中垂三角形”，當∠ABE= 30°，AB=4時，求AC、BC的長.

預(yù)設(shè)意圖：由于問題2的充分探討、師生對話，已經(jīng)獲得求AC、BC長的基本思路，這個問題其實是問題2的變式再練，起鞏固作用，但又為后續(xù)問題的提出提供了啟發(fā).

（二）性質(zhì)探究

問題4：有同學在“問題2”“問題3”解決之后，再演算后竟然發(fā)現(xiàn)了如下奇異性質(zhì)：圖2、圖3中，在“中垂三角形”△ABC中，如果設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，都存在a2+b2= 5c2.但他不能確認這種性質(zhì)在任意的“中垂三角形”中是否成立，請大家一起思考！

預(yù)設(shè)意圖：為了節(jié)約課堂上探討的時間，直接給出有同學發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系“a2+b2=5c2”，引導學生參與該命題的證明.由于證明較為復(fù)雜，先安排學生獨立探究5分鐘，可以安排分組交流各自進展，然后大組匯報各組的討論效果.如果還有困難，則可引導學生思考問題2、問題3是如何計算的，出發(fā)點在哪兒，即先設(shè)法求出AP、BP的長，借助于特殊銳角的度數(shù)帶來的邊長之比，啟發(fā)學生借助銳角三角函數(shù)來演算、推導.

（三）應(yīng)用新知

問題5：如圖8，△ABC中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P.如果設(shè)BC=5，AC=7，求AB的長.

圖8

預(yù)設(shè)意圖：引導學生識別“中垂三角形”，然后直接套用剛剛得出來的性質(zhì)“a2+ b2=5c2”求出第三邊的長度，并給出變式問題，進一步訓練.

變式：在圖8中，連接EF，如果EF=2，BC=6，求AE的長.

（四）拓廣探索

問題6：如圖4，在?ABCD中，點E、F、G分別是AD、 BC、CD的中點，BE⊥EG，，AB=3.

（1）求證：BE、AF互相平分；

（2）小舟同學證明（1）后，又發(fā)現(xiàn)“連接AC、EF后，它們也能互相平分”！你覺得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

（3）小凡同學進一步思考，發(fā)現(xiàn)AC與BE還存在特殊的位置關(guān)系？你理解嗎？

（4）求AF的長.

預(yù)設(shè)意圖：通過前面（1）（2）（3）的鋪墊，為不少學生提供了求解的臺階，為最終構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)并利用“中垂三角形”△AEF的性質(zhì)提供了幫助.

三、進一步的思考

以上我們本著解題研究的興趣、解題教學“拾階而上”的追求，給出了考題的解決思路和解題教學的簡要流程，以下再從整體上闡釋兩點思考和體會.

1.綜合題教學時，需要考慮“低起點”和“拓展性”

綜合題教學是中考復(fù)習階段幾乎每天都要遇到的教學話題，如果只是滿足于答案告知式、思路啟發(fā)式的教學，常常事倍功半，這里需要教者本人認真演算綜合題，并真正弄清楚問題的起點、求解方向，可能的路徑，問題的深層結(jié)構(gòu)，與此前哪些問題可以歸到一類等.惟有這樣，才能啟發(fā)學生善于思考、學會思考；堅持這樣，還需要把問題的起點設(shè)計得盡可能平緩，讓更多的學生參與到課堂中來，然而又不能止步于簡單、常規(guī)的思路，還需要考慮問題的最后變式、生長與拓展，讓優(yōu)秀學生能感受到來自數(shù)學解題的挑戰(zhàn).

2.經(jīng)歷“微數(shù)學”研究，促進學生掌握數(shù)學研究套路

如前所述，“考題”本身除了具有實現(xiàn)考卷的考查區(qū)分功能，本身還有較為鮮明的價值導向或試題立意，反映了命題專家的數(shù)學觀、數(shù)學研究觀，傳遞給廣大中學數(shù)學教師的應(yīng)該是數(shù)學研究應(yīng)該如何研究，這也就是章建躍博士近年來所倡導的要善于向?qū)W生傳遞、滲透數(shù)學對象研究的“基本套路”.值得指出的是，上文中還給出“一題一課”教學設(shè)計，本身也是意圖通過一節(jié)課來滲透“微數(shù)學”研究的全過程：特例啟發(fā)、定義新概念、探究新性質(zhì)、應(yīng)用新知識、拓展新知識.

四、寫在最后

各地中考試題往往是中考命題組精心預(yù)設(shè)、苦心經(jīng)營的教研成果，具有考查、導向等多重功能，也反映了數(shù)學觀、教學觀，值得我們深入研習、體會，并在解題教學的實踐中認真構(gòu)思和反思.本文只是筆者個性化的一些實踐和思考，敬請批評指正．

1.董唯佳.追求“簡約”而“生長”的教學設(shè)計——以“正比例函數(shù)（第1課時）”教學為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（9）.

2.張誠，張成品.經(jīng)營“轉(zhuǎn)場”：讓教學環(huán)節(jié)過渡自然——《中學數(shù)學》（下）2015年1～3月讀刊隨筆［J］.中學數(shù)學（下），2015（5）.

3.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學數(shù)學（下），2013（12）.

4.曹海燕．串珠成線選情境，漸次展開求簡約——以“一元二次方程（第1課時）”教學為例［M］．中學數(shù)學（下），2015（3）．Z