☉浙江省新昌縣儒岙中學(xué) 潘星衛(wèi)

以問激思反思深化提升技能
——中考復(fù)習(xí)中的綜合題的教學(xué)實(shí)踐與反思

☉浙江省新昌縣儒岙中學(xué) 潘星衛(wèi)

如何引導(dǎo)學(xué)生在獲得解題思路的同時(shí)，獲得解題經(jīng)驗(yàn)，掌握一般的解題策略，是解題教學(xué)的核心任務(wù).本文嘗試通過整體設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生通過對(duì)系統(tǒng)的、體現(xiàn)策略思考的問題組的分析、思考與解決，在獲得解題思路的同時(shí)，獲得解決數(shù)學(xué)問題的一般策略和經(jīng)驗(yàn).現(xiàn)將一道中考試題的教學(xué)過程予以呈現(xiàn)，希望能給大家的中考復(fù)習(xí)教學(xué)帶來啟示.

①求∠CFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍.

（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE= 45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

題目分析：本題沒有煩瑣的文字描述、復(fù)雜的圖形構(gòu)造，沒有繁雜眾多的知識(shí)點(diǎn)堆砌，圖形文字簡(jiǎn)潔流暢.三個(gè)設(shè)問層層遞進(jìn)，暗含線索，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，前問為后問做著或明或暗的提示.本題考查圓和一次函數(shù)相關(guān)的核心知識(shí)與數(shù)學(xué)思想.本題是一道內(nèi)隱式操作探究題，考查學(xué)生自覺運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去思考問題及自覺的分類意識(shí)；同時(shí)，要能通過作輔助線轉(zhuǎn)化圖形，要能將“形”的位置與數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或方程等代數(shù)模型，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想；考查在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行“點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)度、函數(shù)關(guān)系式”三者之間的相互轉(zhuǎn)換.

一、教學(xué)流程

（一）整體設(shè)問，以問促思

解題教學(xué)中缺乏整體性思考的“零敲碎打”式的“連問”“追問”，是解題課堂教學(xué)中的主要問題.整體性設(shè)計(jì)問題，就是從問題的整體理解和思維策略的角度去設(shè)計(jì)問題，注重問題間的邏輯性、層次性，與題目的內(nèi)容邏輯的一致性，是一個(gè)符合題目本身及思維規(guī)律的問題系統(tǒng).具體操作時(shí)，要將所有的問題直接發(fā)到學(xué)生手中，要求先自主閱讀嘗試尋找解題思路，若思維受阻，再閱讀提示的問題，并嘗試書寫簡(jiǎn)要的解答過程.

1．整體閱讀，初步分析

整體閱讀題目，先明確題干中的條件，并聯(lián)想相關(guān)知識(shí)和方法，而后看看各個(gè)小問之間有無聯(lián)系，不要題目沒有讀完就直接做第一問，將三個(gè)小問進(jìn)行對(duì)比，初步思考它們之間是否有聯(lián)系及宏觀的解題策略.重點(diǎn)思考以下幾個(gè)問題.

（2）由“直線AB與C（D有兩個(gè)交點(diǎn)F、G”，你能想到與圓有關(guān)的哪些知識(shí)？

（3）從“b”的不同要求，你能發(fā)現(xiàn)3個(gè)問題之間的變化與聯(lián)系嗎？具體說一說.

說明：第一問是讓學(xué)生關(guān)注直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形，以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo).其中直角三角形及斜邊上的高是常見的圖形，而相似、勾股定理、三角函數(shù)、把面積算兩次是常見的知識(shí)和方法.第二問中由“直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G”自然想到直線與圓的位置關(guān)系和與圓有關(guān)的角.第三問中因?yàn)椤発”為常數(shù)，由“b”的變化，可導(dǎo)致直線的平移，帶來直線與圓的位置的變化.本題的三個(gè)小問其實(shí)就是研究直線位置的變化，帶來角和線段長(zhǎng)度的變化.這就是3個(gè)小問之間的聯(lián)系與變化.

本組問題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生讀讀條件，看看圖形，聯(lián)想知識(shí)與方法.通過這3個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生初步感知題目涉及的知識(shí)，幫助回憶相關(guān)的知識(shí)和方法，宏觀提取相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)解題進(jìn)行預(yù)設(shè).學(xué)會(huì)這種“初步分析法”有利于平靜心情，消除緊張心理，這對(duì)緩解中考時(shí)的緊張心情也有一定的用處.

2．深入研究問題，挖掘隱含信息

（1）閱讀（1），一起思考關(guān)鍵詞句.

①∠CFE讓你想起哪種類型的角？

②對(duì)于圓來說，F(xiàn)G是一個(gè)什么圖形？求它的長(zhǎng)常用的方法是什么？

③求FG2讓你想起了什么圖形？什么性質(zhì)？

⑥求b的取值范圍，是借助于不等式（組）求解，還是通過動(dòng)手操作尋找特殊位置？

說明：①～③主要是針對(duì)一些學(xué)困生.④啟發(fā)學(xué)生通過動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)直線與圓在兩處相切，利用特殊位置去確定范圍.⑤啟發(fā)學(xué)生類比上面的做法，找到直線與C（D有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線所在的位置，確定b的取值范圍.⑥引導(dǎo)學(xué)生對(duì)過程進(jìn)行反思.

本組問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)由“所問”想到“所需”，由“所需”想到“條件”.同時(shí)，本題是一道內(nèi)隱式操作探究題，要充分將這種內(nèi)隱性操作探究外顯化，所以④、⑤還有將內(nèi)隱外化的作用，提醒學(xué)生對(duì)于不確定的問題，要學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析問題.

（2）閱讀（2），思考下列問題.

②請(qǐng)?jiān)趫D形中畫出∠CPE，∠CPE與（1）中的∠CFE有聯(lián)系嗎？

本組問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題之間的聯(lián)系，注意變中之不變.前面的問題中b的值對(duì)直線與C（D的位置影響及∠CPE=45°的由來，同樣對(duì)解決這個(gè)問題有著重要的作用.要學(xué)會(huì)將幾個(gè)小問從整體看，認(rèn)真關(guān)注第一問，由于第一問情形簡(jiǎn)單與特殊，所以往往結(jié)論和方法較多，有些方法具有一般性，有的方法不具有一般性，多探究一些結(jié)論，多尋找一些方法，往往會(huì)為解決下面的問題提供啟示.分析問題中的變與不變，抓住不變部分，轉(zhuǎn)化變的部分，是解決問題的一種重要的策略.

（二）交流點(diǎn)撥，答疑解惑

交流點(diǎn)撥階段，一般通過學(xué)生的互相補(bǔ)充基本都能獲得提示問題的答案，但是這并不是本階段唯一要的結(jié)果.這一階段，既是查漏補(bǔ)缺的過程，同時(shí)也是深化數(shù)學(xué)思想、形成解題經(jīng)驗(yàn)的過程.首先讓學(xué)生進(jìn)行思維對(duì)比，將沒有看過提示問題前的思維與看過提示問題后的思維進(jìn)行對(duì)比，看自己的思維是如何發(fā)生變化的，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)每一次思維轉(zhuǎn)折時(shí)關(guān)鍵觸點(diǎn)是什么；二是總結(jié)解決問題時(shí)用到的思想方法和策略；三是引導(dǎo)學(xué)生思考老師提示的問題其實(shí)指向的是什么內(nèi)容，最終能自主提出問題指導(dǎo)自己思考.

下面把復(fù)習(xí)用題中3組提示問題關(guān)于這三個(gè)方面的交流情況作簡(jiǎn)要地說明.

1．“整體閱讀，初步分析”提示問題的交流點(diǎn)撥情況

有的學(xué)生說，由于b不確定，我對(duì)一次函數(shù)沒有過多思考.有的學(xué)生說，以前就是一問一問地做，從來沒有考慮過將幾個(gè)小問從整體看，而現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)應(yīng)該認(rèn)真關(guān)注第一問，由于第一問情形簡(jiǎn)單與特殊，所以往往結(jié)論和方法較多，有些方法具有一般性，有的方法不具有一般性，多探究一些結(jié)論，多尋找一些方法，可能會(huì)為解決下面的問題提供啟示，解決后面的問題思維受阻時(shí)再回頭看看，同時(shí)看看條件，想想知識(shí)和策略，心情也能平靜下來.

2．“（1）”提示問題的交流點(diǎn)撥情況

有的學(xué)生說，我開始沒有注意FG是一條弦，當(dāng)我確定FG是一條弦后就知道“作垂直，連半徑”進(jìn)行求解了.求解時(shí)發(fā)現(xiàn)“弦心距”不知道，于是想“弦心距”還會(huì)是什么身份，這時(shí)一下子就看出它是直角三角形斜邊上的高.老師的問題是提醒我們要關(guān)注圖形的身份.有的同學(xué)說，我沒有敢嘗試求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，因?yàn)閎不確定，以后我要習(xí)慣求解含字母的方程.有的同學(xué)說，求b的取值范圍時(shí)，我是列出三個(gè)不等式組成的不等式組，但是看到提示問題后發(fā)現(xiàn)，隨著b值的改變，直線平行移動(dòng)，實(shí)際上要“直線AB與C（D有兩個(gè)交點(diǎn)”，就是直線從點(diǎn)D平移到與弧相切，相切時(shí)除外，這種方法既直觀又快捷.

3．“（2）”提示問題的交流點(diǎn)撥情況

許多同學(xué)說，對(duì)于最后一問，沒有想到將圖形分類，確定b≥5時(shí)圖形的情形后利用圖形進(jìn)行求解即可，當(dāng)其他同學(xué)畫出圖形時(shí)我就明白了.有的同學(xué)說，求∠CPE時(shí)，開始沒有想到圓周角，看到提示問題后，發(fā)現(xiàn)（1）①求得角就是45°，于是就想應(yīng)該從圓周角上考慮，從而獲得思路.

最后要求總結(jié)思想方法時(shí)，學(xué)生總結(jié)的比較全面.首先是逐個(gè)根據(jù)條件想知識(shí)，分離圖形確定身份想性質(zhì)（如本題中的直線和圓），根據(jù)特征聯(lián)想方法，如求什么值，想什么圖；第二，不要怕字母，把字母當(dāng)作數(shù)，求解一樣行；第三，要關(guān)注直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成幾何圖形，要能靈活掌握“點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)度、函數(shù)關(guān)系式”三者之間的相互轉(zhuǎn)化；第四，有的學(xué)生認(rèn)為，在求b的取值范圍時(shí)，把直線平移，利用動(dòng)手操作即可看出結(jié)果，這個(gè)方法很帶勁，以后看到某些量不確定時(shí)，就想想圖形會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)，這其實(shí)就是幾何直觀，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來思考問題，要注意一般在什么情況下，我們可以運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來思考問題；第五，有的學(xué)生認(rèn)為，要注意前面的問題對(duì)后面的問題的啟示作用等.

學(xué)生感受最深的是其實(shí)這些問題并沒有什么高深的地方，就是讓我們認(rèn)識(shí)到如何去分析題目的條件，注意關(guān)鍵詞；如何根據(jù)條件回顧相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和平時(shí)如何運(yùn)用這些條件的方法和策略.綜合題就是知識(shí)點(diǎn)多一點(diǎn)兒，我們只需將這些知識(shí)點(diǎn)先進(jìn)行分離，弄清楚它們的內(nèi)容和運(yùn)用方法即可.

上面的交流，都是先讓學(xué)生充分感受后，教師再進(jìn)行總結(jié)，并讓學(xué)生進(jìn)行記錄，要求學(xué)生在后面的練習(xí)中進(jìn)行自主嘗試.所以答疑解惑不能只關(guān)注解某個(gè)題目的答案，更要關(guān)注通過題目的解決來形成解決問題的策略經(jīng)驗(yàn)，而要達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，光靠教師的說教是不能實(shí)現(xiàn)的，必須要讓學(xué)生真正經(jīng)歷思考的過程.

二、教學(xué)反思

我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的課例，教師出示題目后，學(xué)生思考一會(huì)兒，然后就是師生一問一答，學(xué)生回答很巧妙，教師點(diǎn)評(píng)很精彩.但是點(diǎn)評(píng)之中，很少追問學(xué)生是如何想到的，而當(dāng)學(xué)生自己進(jìn)行嘗試時(shí)，卻很難有如此巧妙的回答.事后一想，發(fā)現(xiàn)這些課例文章中沒有出現(xiàn)“教師如何讓學(xué)生獲得思路”的過程，沒有“為什么會(huì)想到這樣的結(jié)果”的說明.

怎樣激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考的策略呢？“真正有效的數(shù)學(xué)策略性知識(shí)往往很難訴諸語言問題，只有在實(shí)踐的過程中親自動(dòng)腦、動(dòng)手去做，獲得體驗(yàn)，使學(xué)生領(lǐng)悟，才能達(dá)到學(xué)會(huì)的目的.因此教師選擇恰當(dāng)?shù)摹骄奎c(diǎn)’，創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生有機(jī)會(huì)親身經(jīng)歷選擇、判斷、規(guī)劃的過程，這是策略性知識(shí)獲得的真正的途徑”.

首先整體設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生通過對(duì)系統(tǒng)的、體現(xiàn)策略思考的問題組的分析、思考與解決，在獲得解題思路的同時(shí)，獲得解決數(shù)學(xué)問題的一般策略和經(jīng)驗(yàn).缺乏整體性思考的“零敲碎打”式的“連問”“追問”，是很難使思維整合的，教師應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷整體的思維過程，而非零碎的一問一答，我們要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生這樣進(jìn)行思考，直到完全掌握.問題的設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生主要關(guān)注什么，關(guān)注的內(nèi)容對(duì)于這類問題具有一定的共性特征，通過對(duì)這些問題的思考不僅解決了問題，同時(shí)也體驗(yàn)了解決問題的一般性策略.

其次引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思，“學(xué)會(huì)了對(duì)自己的智慧活動(dòng)進(jìn)行反省和有效的自我調(diào)節(jié)，是智慧成熟的標(biāo)志”“缺乏對(duì)學(xué)習(xí)過程的反思是造成學(xué)習(xí)質(zhì)量低下、數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平不高的主要原因之一，這將嚴(yán)重阻礙中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展”.反思我們的教學(xué)，大多輕視基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的教學(xué)，而迷戀題海戰(zhàn)術(shù)，以獲得正確答案為目的，很少引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行反思，對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)進(jìn)行總結(jié)，更不用說對(duì)問題的引申、一般化和對(duì)數(shù)學(xué)思想的概括了.在日常教學(xué)中，要給學(xué)生提供對(duì)自己的思維過程進(jìn)行反思的時(shí)間和機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題的，應(yīng)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走過哪些彎路，犯過哪些錯(cuò)誤、原因何在，從中可以獲得哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)等問題進(jìn)行認(rèn)真剖析，從而逐漸培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)自己的教學(xué)思維監(jiān)控的習(xí)慣.教師平時(shí)也要注意積累學(xué)生表現(xiàn)出的心理閃光點(diǎn)、思維障礙的典型材料，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)反思問題，并鼓勵(lì)學(xué)生現(xiàn)身說法，開展積極的評(píng)論和探討.引導(dǎo)學(xué)生感悟解題的思維全過程，開展與自我思維過程的深度對(duì)話、與問題解決過程的深度對(duì)話，反思問題解決的經(jīng)驗(yàn)，這是獲得解題經(jīng)驗(yàn)的不可或缺的重要的教學(xué)環(huán)節(jié).

追溯我們的日常教學(xué)，就是只教給學(xué)生“解題術(shù)”，部分教師可能會(huì)歸納反思出一點(diǎn)兒“解題通法”，而無法真正向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，使其獲得真正的“漁”，更別談數(shù)學(xué)觀念了.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該通過對(duì)解決問題的具體思路和方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上總結(jié)規(guī)律，以形成數(shù)學(xué)思維策略.

1.王瑞華.回歸本真，提升能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.Z