宋玉普，王麗偉，王 浩

（大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

在實際的大體積混凝土結構中，混凝土的骨料配比多為三級配甚至四級配，且結構在服役期間有時會受到地震等動荷載的作用，這說明大骨料混凝土的動態(tài)特性問題值得考慮和研究.近年來全級配大體積混凝土的力學特性被大量學者廣泛研究［1－4］，相關理論也在逐漸成熟，但目前仍面臨很多問題.例如，針對大骨料混凝土的研究多為靜態(tài)研究，動態(tài)研究較少，且動態(tài)特性的試驗研究并不全面，單軸較多，多軸較少，對于大骨料混凝土本構關系的研究也有待深入，特別是大骨料混凝土動態(tài)本構關系.

混凝土作為一種典型的脆性材料，在其受力之初就伴隨有不可恢復的變形發(fā)生，而且混凝土也是一種典型的率敏感性材料.在動荷載的作用下混凝土的力學特性會發(fā)生變化，尤其由于變形反應的滯后性，其裂縫的發(fā)展趨勢也會減慢.文獻［5］中就規(guī)定混凝土的動態(tài)強度、剛度應較靜態(tài)有相應幅度的提高.現(xiàn)如今，針對混凝土的力學特點，各國學者已經提出了多種本構模型，但目前沒有哪一種模型是公認可以準確描述混凝土材料本構關系的，尤其針對大骨料混凝土動態(tài)特性的本構關系研究尚不成熟.

根據(jù)以上問題，本文以內時理論和損傷理論為基本框架，同時考慮率效應和骨料粒徑的影響，提出大骨料混凝土率型內時損傷本構模型，將混凝土的微裂縫發(fā)展問題分離出來用損傷演變方程來刻畫.

內時理論最大的特點是在描述材料本構關系的過程中沒有用到屈服面的概念，不用遵守流動法則，材料的非線性行為是用內時時間來描述的，這對于沒有屈服面的混凝土材料來說非常適用［6］.另一方面，同時考慮骨料粒徑因素和應變率效應的損傷演變方程，能夠很好地描述微裂縫擴展引起的大骨料混凝土剛度退化和動力特性；且模型形式簡單、便于計算，非常適用于非線性有限元數(shù)值分析.

1 大骨料混凝土率型內時損傷本構模型的建立

本文將大骨料混凝土與小骨料混凝土的力學性能差異主要體現(xiàn)在損傷變量的定義中，而在內時變量的定義中大骨料混凝土與小骨料混凝土完全可以采用同一強化函數(shù).

1.1 有效應力σnij的內時彈塑性關系式

根據(jù)文獻［7］中給出的內時時間的定義，并綜合考慮混凝土材料的特性，可得＝dξ／f（ξ），其中ξ為偏內時時間量度，Z為偏內時時間標度為 偏 應 變，a00為反映材料性質變化及耦合效應的函數(shù)，f＝1／為強化函數(shù).根據(jù)文獻［8］的分析結果，對混凝土材料有

式中：fc為混凝土單軸抗壓強度，In3為有效應力的第三不變量為考慮循環(huán)的加、卸載系數(shù).

利用耗散材料本構方程的形式不變定律［9］，黏塑性本構方程dεij／dt＝Delijkmdσnkm／dt＋φ／σij可分解成體積應變和偏應變兩部分，并用相應的內時時間標度Z來代替真實的牛頓時間t，經簡化變換可得

式中：dSnij為偏有效應力增量；G、k為剪切彈性模量和體積彈性模量；φ為加載函數(shù)，形式如下：

式中

1.2 大骨料混凝土動力損傷演變方程的建立

損傷是一個逐漸累積的過程，損傷演變方程則用來刻畫其發(fā)展變化的規(guī)律.研究表明混凝土動力損傷的演變過程既與應變大小有關，又與應變速率的大小相關，而且混凝土的骨料粒徑和試件尺寸也會對損傷造成一定的影響.因此，為了使大骨料混凝土的動態(tài)本構模型更真實可靠，以上因素在損傷變量的定義中應有所體現(xiàn).

1.2.1 損傷演變方程的定義 綜合考慮混凝土損傷方程的簡潔性和定義的明確性［10］，本文采用如下形式的損傷演變方程：

當σkk＞0時

當σkk≤0時

表1 損傷方程參數(shù)回歸Tab.1 Regression of damage equation parameter

1.2.2 不同級配混凝土的損傷演變方程 不同骨料級配的混凝土應力－應變曲線形狀大致相同，所以可以采用同一形式的損傷演變方程，通過對參數(shù)取值的改變來反映骨料級配的差異.為了研究骨料級配對于損傷演變方程中待定系數(shù)的影響，在此引入骨料影響系數(shù)Val／dmax，其中l(wèi)為不同級配混凝土采用的試件最小尺寸，Va為粗骨料的體積分數(shù)，dmax為骨料粒徑的最大尺寸，對應各參數(shù)取值列于表2.

表2 骨料影響系數(shù)各參數(shù)取值Tab.2 The parameter selection of aggregate influence coefficient

以骨料影響系數(shù)Val／dmax為自變量，根據(jù)不同級配混凝土試驗數(shù)據(jù)可相應得出e、εm、ξ、D、D′，則可回歸出損傷方程中各參數(shù)值，列于表1.1.2.3 考慮率效應的動態(tài)損傷 混凝土的率敏感性體現(xiàn)在隨著應變率的增加，混凝土的強度和剛度都會相應提高，但應力－應變曲線的大致形狀不會改變.本文根據(jù)峰值點處動力對靜力情況的放大關系，引入一個形狀函數(shù)來構建動力損傷本構模型［11］，從而把靜態(tài)模型推廣到動態(tài).

根據(jù)大骨料動態(tài)試驗擬合結果，以單軸動態(tài)拉伸為例，取大骨料混凝土的動態(tài)單軸拉伸強度、變形、剛度表達形式如下：

式中：fd、εd、E0d分別為大骨料混凝土動態(tài)單軸拉伸強度、相應于動態(tài)單軸拉伸強度的拉伸應變和彈性模量，ft、εt、E0分別為對應的擬靜態(tài)值，為加載速率，α、β、γ可由大骨料試驗數(shù)據(jù)擬合得到，本文取擬靜態(tài)加載速率為10－5／s.

由損傷變量的物理意義可知

式中：Eft、Efd分別表示擬靜態(tài)加載速率下和任意加載速率下的峰值割線模量.由式（11）和式（12）可得

當E取為峰值點的割線模量時，對應的損傷定義為峰值點損傷Df，由損傷變量的物理意義可知，Dfd＝1－Efd／E0d，Df＝1－Eft／E0，經變換可得下式：

式（14）反映了峰值點處損傷隨著加載速率變化的規(guī)律.

如圖1所示，CD線為不同應變率下混凝土峰值點的連線，這條曲線上的損傷值隨應變率的變化規(guī)律如式（14）所示.根據(jù)試驗結果，可認為在不同的加載速率下單軸拉伸應力 －應變曲線在0.5ft以前為直線段.AB線為不同應變率下直線和曲線相交處的連線，EF為完全破壞點所連成的線.從CD線與AB線之間的下降段和CD線與EF線之間的上升段，任意一點受應變率變化影響的損傷，其變化規(guī)律受到曲線形狀的影響.對于這種影響假定引入一個形狀函數(shù)λ（ε，ε·，10－5）來反映曲線形狀對于非峰值點損傷隨應變率變化的規(guī)律，即

將式（15）變形可得動態(tài)受拉損傷變量的演化方程如下：

式中：Ds表示加載速率為10－5／s時的損傷度，可以近似認為是一種靜態(tài)加載過程如式（13）所示.從圖1中可以看出，不同應變率下的應力 －應變曲線的上升和下降段的形狀大致相同，因此為了簡化計算過程，形狀函數(shù)λ（ε，10－5）可參考《混凝土設計規(guī)范》（GB 50010—2010）中給出的混凝土受拉、受壓曲線方程，在3個控制點處根據(jù)試驗數(shù)據(jù)做出相應調整.

圖1 不同應變率下應力－應變曲線相對位置關系Fig.1 The position relation between stress－strain curves under different strain rates

不同應變率下的受壓應力－應變曲線，可認為在0.3fc以前為直線段.根據(jù)大骨料多軸動態(tài)強度試驗所得的數(shù)據(jù)，可將以上動態(tài)損傷本構模型推廣到單軸動態(tài)壓縮和多軸動態(tài)情況，其形式和推導過程可仿照單軸情況，本文在此不再復述.

將式（16）代入式（7）、（8）可得

當σkk＞0時

當σkk≤0時

其中參數(shù)a、b、s和c、x、Du前面已確定.

2 模型驗證

運用Fortran語言把本文提出的大骨料混凝土率型內時損傷本構模型編制成非線性有限元程序，并把它嵌入到有限元分析軟件ABAQUS中，數(shù)值模擬大骨料混凝土試件的受力反應，并與試驗結果進行比較，來驗證本文編制本構模型的可靠程度.數(shù)值模擬中所有混凝土采用八節(jié)點等參單元，大骨料混凝土材料參數(shù)取為fc＝19.29 MPa，E＝27.6GPa，μ＝0.19.

本文選取了具有代表性的單軸拉伸、單軸壓縮、雙軸壓壓和三軸拉壓壓的應力－應變曲線來進行比較［12］.其中，圖2、3分別為單軸受拉、受壓情況下試驗數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結果的比較；圖4為應力比為0.25∶1的雙軸壓縮試驗數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結果的比較，這里設壓應變?yōu)檎?，拉應變?yōu)樨摚粓D5為應力比為0.2∶－1∶－1的三軸拉壓壓試驗數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結果的比較，由于相關的試驗數(shù)據(jù)只有極限拉應力－應變曲線，本文三軸數(shù)據(jù)只比較了一個方向上的曲線.

圖2 單軸拉伸試驗結果比較Fig.2 Contrast of uniaxial tension results

圖3 單軸壓縮試驗結果比較Fig.3 Contrast of uniaxial compression results

圖4 雙軸比例加載試驗結果比較Fig.4 Contrast of biaxial proportional loading results

圖5 三軸比例加載試驗結果比較Fig.5 Contrast of triaxial proportional loading results

由圖2、3可知無論是單軸受拉情況下還是單軸受壓情況下，本文模型與試驗結果都吻合較好，能夠很好地反映出隨著應變率的提高，混凝土的強度、彈性模量和峰值應力處應變也隨之略有提高的規(guī)律.由圖4和5可知，在雙軸比例加載及三軸比例加載情況下，模擬結果雖然與試驗結果略有偏差，但誤差在允許范圍內，能夠很好地反映出大骨料混凝土強度在雙軸及三軸動態(tài)荷載作用下隨應變率的增加而提高的特性，且在三軸拉壓壓應力比情況下，試件所能承受的拉應力小于單軸抗拉強度.

3 拱壩非線性地震反應分析

拱壩這類大體積水工結構，在施工過程中為了節(jié)約成本往往選用大骨料混凝土.而數(shù)值模擬分析中所建立的模型，材料參數(shù)則多采用濕篩小骨料混凝土的試驗數(shù)據(jù)，并且在分析中往往沒有考慮到應變率對于混凝土力學性能的影響這一重要因素.所以數(shù)值模擬結果和壩體在實際荷載作用下的力學響應可能會有很大偏差，這會使結構在正常工作時處于危險狀態(tài)或者對于結構進行的評估設計過于保守.

本文將考慮了大骨料因素和率效應的混凝土本構模型用于拱壩的地震響應分析中，并分別和不考慮大骨料因素和率效應的模型進行對比，來驗證本文提出本構模型的實際應用價值.在整個計算過程中考慮了拱壩的自重和靜水壓力的影響，動荷載有地震荷載.建立拱壩模型如圖6所示，壩高55.5 m，為單曲等厚拱壩，共劃分為4 448個單元，有22 404個節(jié)點.模型采用的計算參數(shù)為壩體彈性模量25×1010Pa，泊松比0.2，大骨料混凝土抗壓強度19.3MPa，濕篩混凝土抗壓強度24.5MPa，質量密度2 500kg／m3.動態(tài)計算時采用無質量地基模型，質量密度為0，地震波的輸入采用x方向的地震波，如圖7所示，輸入最大位移為0.474m 的地震動位移.

圖6 拱壩模型Fig.6 Model of arch dam

圖7 地震波時程曲線Fig.7 History time curve of earthquake wave

本文計算了3個模型在自重、靜水壓力、地震荷載作用下的動力反應：模型1，小骨料內時本構率無關模型；模型2，大骨料內時本構率無關模型；模型3，大骨料內時本構率相關模型.

將各個模型的第一主應力和第三主應力列于表3中.

表3 拱壩最大主應力Tab.3 Maximal principal stress of arch dam

對比分析模型1、2可知，模型2的第一主應力比模型1 降低了27.82%，第三主應力兩模型基本相同，這是由于拱壩的壓應力具有較大的容許值，而拉應力區(qū)進入了塑性狀態(tài)，因而拉應力發(fā)生了較大的重分布.由第一主應力可以看出大骨料混凝土的強度要比相應濕篩混凝土的強度低.在進行大壩數(shù)值分析時，如果仍繼續(xù)采用小骨料的試驗數(shù)據(jù)，那么分析結果會偏于危險，因此在對采用大骨料混凝土作為壩體材料的大壩進行數(shù)值分析時，必須要考慮到大骨料這一骨料粒徑的影響因素，分析結果才更安全可靠.

對比分析模型2、3可知，當考慮了混凝土的率相關性后，模型3比模型2的最大拉應力增加了26.04%，最大壓應力增加了1.68%，這主要是因為壓應力區(qū)進入塑性的部分較少，因而應力重分布不明顯，應變率效應不明顯.拉應力區(qū)進入塑性部分較多，應變率效應更加明顯，這也說明考慮率相關性后，由于混凝土的屈服強度增加了，混凝土的抗拉強度也相應地提高了，因此在拉應力區(qū)的應力也隨之相應地提高了.證明了把拉應力作為拱壩設計和抗震安全性評價的控制應力的結論.同時也說明了應變率對結構動態(tài)性能的影響這一因素在結構動態(tài)分析中也應得到充分的重視.

表3中以地震響應的最終狀態(tài)來分析說明骨料粒徑和應變率效應對于大壩力學特性的影響，而在整個地震響應過程中，某一瞬時壩體第一主應力在同一時刻不同模型中的大小有較大的不同，本文以1.6s時刻，模型2、3的最大第一主應力和第三主應力來說明，如表4所示.

表4 最大主應力對比Tab.4 Contrast of maximal principal stress

可以看出考慮混凝土的率相關性后，由于混凝土的強度增加了，模型3的壩體第一主應力相應減小了，第三主應力相差不多，這是由于在承受動荷載的瞬間，因為大壩考慮率效應后模型屈服強度增加了，所以在某一瞬時相同的受力情況下壓應力區(qū)分擔的荷載增加，這樣拉應力就相應降低.這說明采用大骨料混凝土率型內時本構模型進行的模擬中，結果與實際壩體受動力荷載的情況更加接近，而且采用此本構模型進行分析設計，由于考慮率效應后混凝土強度提高，能夠很好地節(jié)省混凝土材料，使工程設計更加經濟合理.

4 結 論

（1）本文模型數(shù)值模擬結果與大骨料多軸動態(tài)試驗數(shù)據(jù)吻合較好，無論是單軸還是多軸情況，都能夠反映出大骨料混凝土的強度、剛度、峰值應變隨著應變率的提高而相應提高的動態(tài)特性.

（2）對拱壩進行動力非線性分析結果表明，考慮大骨料因素后作為控制應力的拉應力明顯降低，在大骨料的基礎上考慮率效應后混凝土的強度會隨之提高，表現(xiàn)出大骨料混凝土的動態(tài)特性，說明本文本構模型具有很強的實用價值.

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