趙 靜，陳向陽

（廣西民族大學 理學院，廣西 南寧530006）

近世代數(shù)（又名抽象代數(shù)）是現(xiàn)代科學各個分支的基礎，而且隨著科學技術的不斷進步，近世代數(shù)的思想、理論與方法的應用日臻廣泛.“集合分類與等價關系”是近世代數(shù)課程的一個非常重要的知識點，對學好這門課程有很大的影響.對集合進行分類是研究集合自身性質(zhì)的一種方法，通過“分類”把“大集合”變成相對“較小的集合”，從而有利于研究；此外，通過定義等價關系對集合進行分類也是構造新的代數(shù)對象的一種有效方法，比如構造商群、商環(huán)、域等等，我們最熟悉的有限域Zp（p為素數(shù)）和有理數(shù)域都是通過這種方法構造出來的.如果學生對這部分內(nèi)容把握不到位的話，會嚴重影響后續(xù)課程的學習.

1 當前教材及內(nèi)容講授狀況

目前，大多數(shù)教材把“集合分類與等價關系”這一部分內(nèi)容作為預備知識單獨一節(jié)放在“群”的講述之前.近世代數(shù)課程本身就很抽象，學生在學習這部分內(nèi)容的時候，由于“商群、商環(huán)”等概念還沒有學，缺乏必要的實例，必定會覺得生澀難懂.即使在后面學習了“商”的概念之后，教師再加以鞏固，由于間隔時間太長，又要重新補習，浪費很多寶貴的時間.

筆者自工作以來，不僅講授本科生的近世代數(shù)、高等代數(shù)等課程，也講授研究生的代數(shù)學.代數(shù)學是近世代數(shù)課程的延續(xù)和發(fā)展，也是數(shù)學專業(yè)研究生的必修基礎課程.在給研究生講述代數(shù)學的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學生對“集合分類與等價關系”并不熟悉，尤其在講述“分式環(huán)”這部分內(nèi)容的時候，學生學習就感覺非常吃力，關鍵問題就在于本科學習近世代數(shù)的時候沒有把“集合分類與等價關系”學好，沒有把握其本質(zhì)思想.

2 新講的具體內(nèi)容

2.1 改變講授順序

把“集合分類與等價關系”放在“正規(guī)子群”這個知識點的后面來講述，然后再講商群.這樣，商群就是集合的分類的一個具體的例子.從而加強學生對這個知識點的理解.在學習商環(huán)、分式環(huán)等后繼知識的時候，教師再帶領學生一起把這一知識點復習一遍，這樣，學生就會知道“集合分類與等價關系”確實是有用，至少可以通過它來定義商群、商環(huán).

2.2 把抽象的概念具體化

學生之所以覺得抽象，根本原因在于沒有把具有高度概括性的概念轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的例子，缺乏容易理解的具體實例的支撐.所以，在授課過程中，教師要想辦法用生活中的實例來闡述所講授的知識.

首先，對于基本定義的講授.現(xiàn)行的大多數(shù)“近世代數(shù)”教材一般是這樣給出集合分類的定義：

若把集合分成若干個叫作類的子集，使得的每一個元素屬于而且只屬于一個類，那么這些類的全體叫作集合的一個分類.

教材給出的這個定義其實是很抽象的，學生往往搞不懂到底什么是集合的一個分類，這個“類”到底是什么.同學們在讀中學的時候，所在同一年級的同學往往被分成幾個班.其實這件事情就是集合分類的一個例子.在這個例子中，“某年級的全體同學”是一個集合，被分成的幾個班級就是集合的分類.集合的每一個元素－－－每個同學都屬于并且只屬于一個班級.通過舉例，學生就會明白：集合分類的思想無非就是把一個集合劃分成若干互不相交的“小塊”（即子集），每一個“小塊”都是集合的一個類，這些“小塊”放在一起就是集合的一個分類.

其次，怎樣對集合進行分類？對集合分類是根據(jù)具體需要，依據(jù)該集合上的等價關系.

有些教材，例如張禾瑞的《近世代數(shù)基礎》，是這樣定義集合上的“關系”的：一個A×A→D（只含有“對”與“錯”兩個元素）的映射R叫作A上的一個關系，若R（a，b）＝對，就說a與b有關系，記為aRb；若R（a，b）＝錯，就說a與b沒有關系.

如果教師就按照課本把這個定義呈現(xiàn)給學生，那學生會完全搞不懂“關系”到底是什么.筆者在授課過程中，首先深入挖掘該定義的深層次內(nèi)涵，然后在此基礎上給出“等價關系”的定義.那么，如上給出的“關系”的定義的深層內(nèi)涵到底有哪些呢？

第一，由定義中要求“R是A×A→D（只含有“對”與“錯”兩個元素）的映射”，我們知道集合A中任何兩個元素要么有關系，要么沒有關系；

第二，若R（a，b）＝對（即aRb，a與b有關系），但未必有R（b，a）＝對（即bRa，b與a有關系），即若a與b有關系，未必b與a有關系；

第三，“關系”實際就是集合內(nèi)部元素間的某種聯(lián)系，這種聯(lián)系可以有多種，是根據(jù)不同需要來確定的.例如，把某班級看作一個集合，規(guī)定“如果兩個同學來自同一個省份，則說他們有關系；否則，稱之為沒有關系”.按照這個規(guī)則，班級的任兩個同學或者來自同一個省份，或者來自于不同的省份.也就是說，班級的任兩個同學要么“有關系”，要么“沒有關系”.凡是來自同一個省份的同學之間都是“有關系”的，而來自于不同省份的同學之間則“沒有關系”.還是這個班級，如果規(guī)定“如果兩個同學住在同一個宿舍，則說他們有關系；否則，稱之為沒有關系”.同樣，按照這個規(guī)則，住在同一個宿舍的同學之間都是“有關系”的，而住在不同宿舍的同學之間“沒有關系”.還有很多例子，比如，對于整數(shù)集合Z，兩個整數(shù)a與b，若a｜b，則稱a與b有關系；否則稱之為沒有關系.在這種“關系”的定義下，2與4有關系，但是4與2卻沒有關系.再例如，設G為群，N為G的子群，a，b∈G.若b－1a∈H，就稱a與b有關系；否則，就稱它們沒有關系.

2.3 由等價關系確定集合的分類

在如上例1和例3中，這三種關系都滿足：反身性：每個元素都與他自己“有關系”；對稱性：若a與b有關系，則一定會有b與a也有關系；傳遞性：若a與b有關系，b與c有關系，則a與c也有關系.我們就把具有反身性、對稱性和傳遞性的關系稱為等價關系.因此，例1和例3定義的關系都是等價關系，而第二個例子中的“整除關系”不滿足對稱性，故不是等價關系.

設R為集合A上的等價關系，任取a1∈A，記A1＝｛b∈A｜a1Rb｝，即A1為集合A中所有與元素a的元素構成的集合；任取a2∈A＼A1，A2＝｛c∈A｜a2Rc｝如此繼續(xù)下去，就會得到A的若干子集A1，A2，… 可以證明這些子集A1，A2，… 構成了集合A的一個分類.因此，只要集合上能定義等價關系，就可以從這個等價關系出發(fā)，構造出該集合的一個分類.

那么，為什么要對集合進行分類呢？

第一，對集合進行分類便于研究和管理.相信每個同學都不會把自己所有的衣服都堆放在一起，等穿衣服的時候再從這堆衣服中找.而是把衣服分門別類分別放置在不同的地方，比如有的同學會按照季節(jié)，把春夏秋冬的衣服分別存放.其實這就是把集合進行分類的一個最簡單的例子，在這個例子中，這位同學的所有衣服是一個集合，根據(jù)需要，把衣服分成春夏秋冬四個季節(jié)的.集合的兩元素（兩件衣服）間的“關系”就是是否屬于同一個季節(jié)，如果這兩件衣服都屬于同一個季節(jié)，那么就稱它們有關系；否則稱之為沒有關系.

第二，構造新的代數(shù)對象.在例3中，把N改為群G的正規(guī)子群，按照如上定義的關系，把群G分成了若干不同的陪集類，把這些陪集類看作另外一個集合M，g1N，g2N∈M，定義（g1N）（g2N）＝g1g2N.可以證明，集合M在如此定義的“乘法”下，也是群，并且，這個群的單位元是N.商群扮演著重要的角色，由群的同態(tài)，我們知道“任何一個群G′，若G到G′存在滿同態(tài)，則G′同構于G的某個商群”，即在群同構意義下，商群代表了與G存在滿同態(tài)的所有群.

在學習了環(huán)和域的相關知識之后，可以從一個環(huán)和其理想出發(fā)，構造商環(huán)，甚至可以構造出域.例如，整數(shù)環(huán)Z，n為任意不為0的正整數(shù)，不難證明I＝nZ是整數(shù)環(huán)Z的理想，規(guī)定：a，b∈Z，若n｜（a－b），則稱a與b有關系；否則，稱其沒有關系.此“關系”是等價關系，按照這個定義，集合Z被分成了n類.設集合Zn＝｛［0］，［1］，…，［n－1］｝為這n個類構成的集合，其中x∈［i］?x除以n的余數(shù)為i.集合Zn在運算?［i］，［j］∈H，［i］＋［j］＝［i＋j］，［i］·［j］＝［ij］下，構成環(huán)，稱為Z對理想I＝nZ的商環(huán).特別的，當n為素數(shù)時，Zn是域.這樣，從環(huán)和其理想出發(fā)，利用集合分類，構造出了與原來完全不同的代數(shù)對象“域”.

從上面的例子來看，通過集合分類的方法構造新的代數(shù)對象，好像只能把原對象做“小”，實則不然，環(huán)的局部化問題就是反例之一.設R為整環(huán)，P為R的素理想，S＝R＼P，在集合S－1R＝｛r/s｜r∈R，s∈S｝上定義關系：r1／s1＝r2/r2??u∈S，使得u（r1s2－r2s1）＝0.易知此關系為等價關系，故確定了集合S－1R的一個分類，仍以S－1R表示該集合的分類構成的集合.任取r1／s1，r2／s2∈S－1R，規(guī)定：r1/s1＋r2/s2＝ （r1s2＋r2s1）/s1s2，（r1/s1）·（r2/s2）＝r1r2/s1s2，可以證明，S－1R在這兩種運算下是域，稱為環(huán)R在素理想P處的局部化.并且存在R到S－1R的單值嵌入：r｜→r/1，即S－1R比R“大”.我們熟知的有理數(shù)域就是通過整數(shù)環(huán)在其唯一的素理想零理想處的局部化.

已知S－1R為環(huán)R在素理想P處的局部化，設M＝｛Q?P｜Q為R的素理想｝，N＝｛S－1R的素理想｝.定義映射：f∶M→N，f（Q）＝S－1Q，可以證明該映射是一一映射.由此可以看出“局部化”實際上研究的是那些包含在理想P內(nèi)的素理想；而“商”（R／P）研究的卻是那么比P“大”的理想.所以，從這個角度來說，“局部化”和“商”是兩個相反的過程，它們互為補充，是研究環(huán)的兩個非常重要的工具.

2.4 由集合分類確定集合上的等價關系

通過上面的學習我們知道，在集合上定義一個等價關系，根據(jù)這個等價關系就可以確定集合的一個分類；反之，如果已知集合的一個分類，能不能定義其上的等價關系呢？答案是肯定的.設A1，A2，…為集合A的一個分類，定義A上的關系：?a，b∈A若存在Ai，使得a∈Ai，b∈Ai，則稱a與b有關系；否則，稱之為沒有關系.不難證明，這樣定義的關系確實是集合A的一個等價關系.

3 結語

集合分類和集合的等價關系這兩個概念本質(zhì)上是一回事，對集合分類是依據(jù)其上的某個等價關系；反之，給定集合的一個分類，也可以由此確定集合上的一個等價關系.

對集合進行分類是數(shù)學尤其代數(shù)中常用的并且非常有用的研究工具，這一工具不僅可以通過放“小”（例如做商），還可以通過放“大”（例如局部化），來對集合進行研究.在日常教學中，有必要讓學生熟練掌握該知識點.

［1］劉振海.培養(yǎng)大學數(shù)學學習興趣之我見［J］.廣西民族大學學報：自然科學版，2014，20（4）：85－88.

［2］黃敬頻，方麗菁，黃留佳.民族院校數(shù)本專業(yè)實踐教學新體系探索［J］.廣西民族大學學報：自然科學版，2008，14（4）：87－90.

［3］趙靜，周衛(wèi)，劉振海.近世代數(shù)課程教學的幾點建議［J］.廣西民族大學學報：自然科學版，2010，16（3）：94－96.

［4］丘維聲.代數(shù)系列課程教學改革的理念與實踐［J］.中國大學教學，2005（6）：19－21.

［5］馮克勤.高校代數(shù)課教學的一些做法和看法［J］.大學教學，2004（5）：19－21.

［6］張禾瑞.近世代數(shù)基礎［M］.北京：高等教育出版社，1978.

［7］游宏，劉文德.代數(shù)學［M］.北京：科學出版社，2009.