陳衍峰

(通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化134002)

高等數(shù)學(xué)課程是高等師范院校非數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)非常重要的必修基礎(chǔ)課。高等數(shù)學(xué)課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力、建立數(shù)學(xué)模型能力以及全面培養(yǎng)和提升學(xué)生的綜合素質(zhì)具有重要的作用。同時(shí)，高等數(shù)學(xué)也是碩士研究生考試三門(mén)基礎(chǔ)科目之一。因此，高等數(shù)學(xué)一直是現(xiàn)代教育體制下高等師范院校非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是各教學(xué)部門(mén)關(guān)注的焦點(diǎn)。

高等數(shù)學(xué)除了教學(xué)內(nèi)容不同于初等數(shù)學(xué)外，其授課模式和課程要求的任務(wù)、目標(biāo)和期望都與初等數(shù)學(xué)有區(qū)別。高等數(shù)學(xué)教學(xué)按照一定的目的、要求，以培養(yǎng)和提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和可持續(xù)發(fā)展能力為最終目標(biāo)。初等數(shù)學(xué)教學(xué)改革正在如火如荼地進(jìn)行，高等數(shù)學(xué)改革也勢(shì)在必行。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式已不能完全適應(yīng)不斷發(fā)展的教學(xué)改革。如何搞好高等數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，進(jìn)行有效的創(chuàng)新，是每個(gè)高等數(shù)學(xué)教師必須思考的問(wèn)題。

1 “深層次”教學(xué)方法概述

按教學(xué)內(nèi)容劃分，可把高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)分為概念教學(xué)和解題教學(xué)。在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)挖掘數(shù)學(xué)表層知識(shí)里蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法教學(xué);在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)挖掘題目類型所包含的本質(zhì)內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，注重解題理論的引導(dǎo)。這種以講解思想、挖掘本質(zhì)和探尋意義，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)思考問(wèn)題為目的，讓學(xué)生通過(guò)記憶的方式把已有的知識(shí)繼承下來(lái)的教學(xué)方法，被稱為“深層次”教學(xué)方法。

“深層次”教學(xué)方法是進(jìn)行高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的有益探索，其在概念教學(xué)和解題教學(xué)中都有所滲透?！吧顚哟巍苯虒W(xué)方法的目的是使學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和運(yùn)用，最終理解和掌握其數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)題目的思考和運(yùn)算，逐步提高思維能力。因此，“深層次”教學(xué)方法是使學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，“既高分，又高能”的重要舉措。

2 樹(shù)立正確的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿了每個(gè)學(xué)生的小學(xué)和中學(xué)生涯。不同的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有不同的認(rèn)識(shí):一部分人認(rèn)為數(shù)學(xué)就是用不同的技巧來(lái)解答各種題目;另一部分人認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種思維方式。這兩種不同的觀念導(dǎo)致兩種不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:一種是重視做題，關(guān)心具體解題的操作步驟，通過(guò)記憶達(dá)到考試過(guò)關(guān)的目的;另一種是在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中關(guān)注同類題目，只做少量習(xí)題，注重理解、領(lǐng)會(huì)題目所包含的數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法。

筆者經(jīng)過(guò)多年教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在中學(xué)應(yīng)試教育模式下，由于數(shù)學(xué)教師每日布置大量的書(shū)面常規(guī)作業(yè)任務(wù)和對(duì)高考這一必須達(dá)成的目標(biāo)的渴望，持這兩種不同觀念和學(xué)習(xí)方法的學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)相差無(wú)幾，差異不明顯;到了大學(xué)階段，由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容較初等數(shù)學(xué)更加抽象、難以理解，并且課程要求的任務(wù)、要達(dá)到的目標(biāo)和期望要比初等數(shù)學(xué)少得多，因此在同樣的環(huán)境、同樣的師資條件下，持兩種不同觀念的學(xué)生的差異就凸顯出來(lái)了，前者基本上連考試都不能順利通過(guò)，后者卻能取得很好的成績(jī)。

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)產(chǎn)生這種差異的主要原因，在于學(xué)生各自不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念引導(dǎo)他們用不同的方法學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程。作為高等數(shù)學(xué)任課教師，要想提高教學(xué)效果，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必須注重?cái)?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)原理方法的引導(dǎo)，通過(guò)改變學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知環(huán)境，逐步向他們灌輸正確的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，即學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的并不是學(xué)習(xí)這門(mén)課程的具體內(nèi)容，而是提高邏輯思維能力。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中應(yīng)注重課程本質(zhì)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)識(shí)的高度看問(wèn)題，從大局出發(fā)看問(wèn)題，把所學(xué)的內(nèi)容看作整體的一個(gè)部分，思考所學(xué)內(nèi)容和以前學(xué)過(guò)的其他內(nèi)容的關(guān)系，弄懂各個(gè)部分是怎樣組合起來(lái)的，從理論與方法的角度思考其發(fā)展方向及可能產(chǎn)生的結(jié)果，從而逐步養(yǎng)成分析問(wèn)題、判斷問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3 “深層次”教學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界中結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系的思維形式，是數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理、證明的依據(jù)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)量直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與品質(zhì)的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)題目是數(shù)學(xué)概念的具體反映，一切概念、定理、法則都要通過(guò)題目來(lái)表達(dá)。對(duì)一個(gè)概念是否理解，對(duì)一個(gè)定理是否認(rèn)同，對(duì)一個(gè)法則是否會(huì)用，不能僅以會(huì)不會(huì)背書(shū)本內(nèi)容來(lái)衡量，必須經(jīng)過(guò)思考、推理、證明和應(yīng)用才算達(dá)到要求。因此，解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中也起著非常重要的作用。

3.1 概念教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

概念教學(xué)主要包括對(duì)基本概念、基本定理、基本公式和基本法則等的講授。概念、定理、公式和法則等只是數(shù)學(xué)知識(shí)的外在表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)的表層知識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)蘊(yùn)含深刻的數(shù)學(xué)思想方法。只有在理解數(shù)學(xué)思想的高度上掌握數(shù)學(xué)概念，才能更好地形成數(shù)學(xué)能力。教師在進(jìn)行概念、定理、公式和法則等教學(xué)時(shí)，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注意剖析這些概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、規(guī)律被揭示過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的發(fā)生過(guò)程，并將這一過(guò)程中豐富的思維訓(xùn)練因素挖掘出來(lái)。

著名數(shù)學(xué)家波利亞在三四十年前曾統(tǒng)計(jì)，中學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占總?cè)藬?shù)的1%，使用數(shù)學(xué)的占27%，基本不用或很少用數(shù)學(xué)的占72%。那為什么人人還要學(xué)數(shù)學(xué)?這是因?yàn)樯鐣?huì)各行各業(yè)、各部門(mén)雖然對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求的深度和廣度不同，但對(duì)人的素質(zhì)的要求是共性的。比如對(duì)步入社會(huì)的人的要求包括:具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度，在處理日常工作事務(wù)中具有善于分析、歸納總結(jié)、綜合比較、分類評(píng)析、概括判斷的能力。實(shí)際工作者、科研工作者，特別是決策部門(mén)工作人員更需要邏輯論證、嚴(yán)密推測(cè)的科學(xué)方法與工作作風(fēng)，這一切都是從其他課程中學(xué)不到的，只有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并通過(guò)數(shù)學(xué)思維方法的滲透才得以培養(yǎng)訓(xùn)練。

在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維方法，可以使學(xué)生的思維素質(zhì)得到很大的提升。高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法包括抽象、歸納、猜想、觀察、演繹、一般化與特殊化、近似、極限等。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，將這些數(shù)學(xué)思想方法潛移默化地滲透給學(xué)生，提高他們的思想素質(zhì)、創(chuàng)新能力。但是，目前的教材注重的是知識(shí)的傳授，這就需要教師熟悉教材和相關(guān)知識(shí)，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行全面深入的分析，大膽進(jìn)行取舍，有計(jì)劃、有步驟地傳達(dá)不同的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)富于邏輯的講授，真正啟發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，使之保持連貫性。例如，講授數(shù)列極限內(nèi)容時(shí)，“ε－N”定義是學(xué)生難以理解的基本概念，可以先通過(guò)具體數(shù)列，比如，運(yùn)用邏輯推理一層一層地加以分析引導(dǎo)，使學(xué)生具體看到“無(wú)限趨近”的情形，由抽象到一般，然后引出數(shù)列極限的定義。這一過(guò)程與教材上先給出定理再給出證明的方式大不相同，而是給出了接近數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的一個(gè)模擬過(guò)程，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生從中可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)除了抽象、嚴(yán)肅外，還需要觀察、歸納、直觀，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程是一個(gè)充滿魅力的過(guò)程。領(lǐng)略了這樣的過(guò)程，解開(kāi)了數(shù)學(xué)神秘的面紗，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)越來(lái)越濃。

3.2 解題教學(xué)中注重解題理論和方法的結(jié)合

解題教學(xué)既包括講解數(shù)學(xué)題的基本運(yùn)算，又包括數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本規(guī)律。在實(shí)際教學(xué)中，很多教師的解題教學(xué)采用“類型+解法”的方式進(jìn)行。用這種方式教出來(lái)的學(xué)生，應(yīng)對(duì)考試時(shí)能夠合格過(guò)關(guān)，但對(duì)數(shù)學(xué)這種高級(jí)思維活動(dòng)而言，更多地停留在操作層面上，沒(méi)有從更深的層次、更高的理論層面上分析歸納解題的理論。

例如，在講分部積分公式∫uv'dx=uv－∫vu'dx的應(yīng)用時(shí)，很多教師只是給出了分部積分公式的使用方法(u、v因子的選擇)或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給出u、v因子的選擇規(guī)律;“反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，當(dāng)兩兩相乘時(shí)，前者為u，后者為v'”，沒(méi)有從更深的層次、更高的理論層面上分析、因子選擇的原則。實(shí)際上，分部積分公式將導(dǎo)數(shù)從v因子轉(zhuǎn)移到了因子，轉(zhuǎn)移的目的是將不同結(jié)構(gòu)的被積函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算改變其中一種因子的結(jié)構(gòu)，使被積函數(shù)的因子結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，從而簡(jiǎn)化積分結(jié)構(gòu)，達(dá)到方便計(jì)算的目的。在選擇u、v因子時(shí)，就應(yīng)考慮求導(dǎo)后能夠改變結(jié)構(gòu)的因子為u。以五類基本初等函數(shù)為例，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)不變;而反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)改變?yōu)橛欣砗瘮?shù)或無(wú)理函數(shù)。因此，u、v因子的選擇規(guī)律為:反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)會(huì)排在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)之前。挖掘出分部積分公式的內(nèi)涵后，學(xué)生在應(yīng)用分部積分公式選擇u、v因子時(shí)，自然會(huì)先對(duì)積分結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，確定出難以處理的困難因子，再利用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。由此可見(jiàn)，要發(fā)展學(xué)生的思維，解題教學(xué)不能僅采用“類型+解法”的方式進(jìn)行，還應(yīng)該深層次地挖掘題目類型所包含的本質(zhì)內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，使學(xué)生在鞏固已學(xué)知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟其本質(zhì)，進(jìn)而創(chuàng)造出新知識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生善思、會(huì)思的目的。

總之，在教學(xué)中運(yùn)用“深層次”教學(xué)方法是現(xiàn)代教育體制下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的一個(gè)重要突破，是落實(shí)現(xiàn)代教育理念的重要措施，是將知識(shí)講授和能力培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合的這有效手段。高等數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中要善于思考、積累經(jīng)驗(yàn)、大膽嘗試，逐步完善教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，這是取得較好的教學(xué)效果、推進(jìn)教學(xué)改革的關(guān)鍵。

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