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        轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2015-03-19 15:24:02左秋碩
        職業(yè)技術(shù) 2015年4期
        關(guān)鍵詞:常量數(shù)學(xué)題中學(xué)數(shù)學(xué)

        左秋碩

        (牡丹江市衛(wèi)生學(xué)校,黑龍江牡丹江157011)

        著名的美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為:“在教學(xué)中,技能比僅僅掌握一些知識(shí)重要得多。所以,在中學(xué)給學(xué)生傳授一定數(shù)量知識(shí)的同時(shí),也應(yīng)該使學(xué)生具備一定的解題技能?!比~圣陶先生也說(shuō)過(guò):“教是為了不教”。要達(dá)到這個(gè)不教的目的,其中有一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié),就是要把數(shù)學(xué)思維方法中的靈魂——“轉(zhuǎn)化”思想傳授給學(xué)生。

        一、轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵

        轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。轉(zhuǎn)化可以是條件和結(jié)論的形式或數(shù)學(xué)各分支甚至跨學(xué)科的轉(zhuǎn)化。一般將陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的,抽象的轉(zhuǎn)化為直觀的或遵循正難則反,條件結(jié)論和諧等原則。轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)處不見,我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí),將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力和思維能力。

        數(shù)學(xué)解題實(shí)際上是在熟練掌握概念與定理公式的基礎(chǔ)上解決矛盾,完成從“未知”向“已知”的轉(zhuǎn)化。同時(shí),還要注意知識(shí)形成過(guò)程無(wú)處不隱含著人們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中解決問題的途徑、手段和策略,無(wú)處不以數(shù)學(xué)思想、方法為指南。在解答數(shù)學(xué)題實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)因?qū)Ч驁?zhí)果索因,確立題中條件與問題或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化,最終達(dá)到已知與未知的統(tǒng)一。對(duì)于一些結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的問題,通過(guò)適當(dāng)?shù)穆?lián)想就能找到合理的解題途徑,但許多問題如果直接從問題的條件出發(fā)往往陷于困境,甚至事倍功半,這時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思維,把原問題轉(zhuǎn)化成新問題。通過(guò)對(duì)新問題的分析考察,探究解題思路,從而順利解決原問題,以下舉例分析轉(zhuǎn)化思想在解數(shù)學(xué)題時(shí)的應(yīng)用。

        二、常見的轉(zhuǎn)化方法及其應(yīng)用

        (一)一般與特殊的轉(zhuǎn)化

        一般與特殊的轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的轉(zhuǎn)化思想。它包含兩方面的含義:一是由特殊轉(zhuǎn)化為一般;二是由一般轉(zhuǎn)化為特殊。首先我看由特殊轉(zhuǎn)化為一般,由于從一般問題入手可使我們的視野更為廣闊,避免在枝節(jié)上糾纏,容易觸及問題的本質(zhì),所以當(dāng)我們遇到某些特殊問題感到很難解決時(shí),不妨適當(dāng)放寬條件或改變一些條件的限制,把待解決的問題放在一個(gè)更為廣泛的視角上,看下面這道例題:

        例 1已知 x2+2x-5=9,y2+2y-5=0求 的值。

        分析:若直接求出x,y代入 求值,是相當(dāng)麻煩的,但是若能看出所給方程的一般形t2+2t-5=0,而x,y是該方程的兩個(gè)根。

        則由韋達(dá)定理可知 x+y=-2,xy=-5

        由例1可看出,由一般問題入手去解決某些特殊問題,可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì),進(jìn)而把問題解決。

        (二)常量與變量的轉(zhuǎn)化

        在有幾個(gè)變?cè)膯栴}中,若轉(zhuǎn)換思考問題的角度,可消除一些討論問題中的分類因素,通過(guò)變更主元的方法來(lái)求解。

        例2已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a的為正整數(shù),問a取何值時(shí)此方程至少有一個(gè)整數(shù)根。

        分析:把x看作常量,用x表示a,再利用x為整數(shù),a為正整數(shù)的條件進(jìn)一步確定a的取值。

        解:原方程可變形為:

        因?yàn)閤=-2不是原方程的解,所以x+2≠0

        又因?yàn)閍為正整數(shù),所以a≥1

        由此可解得:-3≤x≤-1

        又因?yàn)?x是整數(shù)且 x≠-1所以 x=-3,-1,0,1。

        把他們分別代人原方程得

        故當(dāng)a=1或a=5時(shí),原方程至少有一個(gè)整數(shù)根。

        例2采用的方法是變換主元的方法,它主要體現(xiàn)了函數(shù)思想,即把題中的某個(gè)量或某些量看作是常量,而其它的量則看作為變量,用常量表示出變量,然后再根據(jù)已知條件進(jìn)一步求解。

        數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用十分廣泛,除了以上幾個(gè)方面的轉(zhuǎn)化,還有高次向低次的轉(zhuǎn)化,無(wú)限向有限的轉(zhuǎn)化等。各種轉(zhuǎn)化的共同本質(zhì)是變中有不變。轉(zhuǎn)化是手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索,轉(zhuǎn)化的手段就構(gòu)成解題思路。只要我們?cè)谧鬓D(zhuǎn)化時(shí),要注意數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、和諧化、直觀化的原則,就可在直接求解原問題難以入手時(shí),把問題作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,使之變成幾個(gè)比原問題簡(jiǎn)單,難度低易于解答的新問題,并通過(guò)對(duì)新問題的分析,發(fā)現(xiàn)原問題的解題思路,最終達(dá)到解決問題的目的

        [1]許誠(chéng)儀.數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2006,12((5):46~48.

        [2]郭維良.談?wù)剶?shù)學(xué)問題中的轉(zhuǎn)化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),1986,12(02):60~63.

        [3]胡炯濤著.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].廣西:廣西教育出版社,1998.

        [4]薛金星.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)手冊(cè)(高中)[M].北京:北京教育出版社,2001.

        [5]沈文選.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].湖南:湖南長(zhǎng)沙出版社,1999.

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