張富翁，王 立，劉傳平

（1.北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京100083；2.北京科技大學(xué) 北京高校節(jié)能與環(huán)保工程研究中心，北京100083；3.攀枝花市經(jīng)濟(jì)和信息化委員會(huì)綜合處，四川 攀枝花617000）

顆粒物質(zhì)廣泛存在于自然界中，與人們的生產(chǎn)生活密切相關(guān).作為原材料或催化劑，顆粒物質(zhì)被廣泛應(yīng)用于化工、冶金和材料生產(chǎn)行業(yè)中，諸如礦物分選、氣力輸送以及材料處理等［1-3］.目前，顆粒物質(zhì)已成為力學(xué)、凝聚態(tài)物理和軟物質(zhì)等學(xué)科的研究熱點(diǎn).顆粒物質(zhì)的生產(chǎn)、加工及儲(chǔ)運(yùn)約消耗地球當(dāng)年所用能量的10%，因此，對(duì)顆粒物質(zhì)的深入研究可起到節(jié)能降耗的作用［4］.

面對(duì)冶金化工領(lǐng)域日益嚴(yán)苛的工藝要求，如何對(duì)生產(chǎn)過(guò)程中顆粒材料的運(yùn)動(dòng)，特別是組分顆粒的分布進(jìn)行精準(zhǔn)控制已成為目前亟待解決的問(wèn)題.一些圍繞氣固兩相流（流化床或振動(dòng)流化床）中顆粒運(yùn)動(dòng)的研究成果［5-8］為能夠有效預(yù)測(cè)顆粒的運(yùn)動(dòng)和分布奠定了一定的基礎(chǔ).然而，在振動(dòng)作用下，顆粒物質(zhì)卻表現(xiàn)出許多不同于傳統(tǒng)流體或固體的特殊行為，諸如顆粒對(duì)流［9］、成拱［10］、表 面波［11］及分離［12］等.對(duì)雙組分顆粒而言，在振動(dòng)激勵(lì)下顆粒體系將發(fā)生小顆粒在下大顆粒在上的“巴西果”分離［13-14］或大顆粒在下小顆粒在上的“反巴西果”分離［15］.分離形式不僅取決于顆粒物性，同時(shí)也與振動(dòng)參數(shù)有關(guān).近年來(lái)，研究者從顆粒的受力、幾何結(jié)構(gòu)以及表觀現(xiàn)象等方面進(jìn)行了不懈的探索［16-19］.然而，由于顆粒系統(tǒng)復(fù)雜的非線性特性，有關(guān)分離本質(zhì)機(jī)理的解釋仍存在分歧.

離散單元（discrete element method，DEM）法［20-22］能夠準(zhǔn)確得到振動(dòng)床內(nèi)單個(gè)顆粒的受力與運(yùn)動(dòng)，為分析能量在床層中的傳遞和耗散規(guī)律提供了足夠信息.本文采用離散元模擬，從床層底部輸入振動(dòng)能量，分析顆粒床層內(nèi)能量的傳遞和耗散規(guī)律，并討論振動(dòng)參數(shù)對(duì)顆粒系統(tǒng)能量分布的影響規(guī)律.床層采用雙組分顆?；旌衔?，進(jìn)一步研究了雙組分顆粒的分布對(duì)能量傳遞與耗散及系統(tǒng)能量分布的影響，從能量的角度去認(rèn)識(shí)并討論顆粒的振動(dòng)分離行為.

1 數(shù)學(xué)模型

式中：m為顆粒質(zhì)量；，其中vg為顆粒的速度，ˉvg為顆粒平均速度.而顆粒床層內(nèi)的能量傳遞則采用傅里葉定律表示：

式中：k為導(dǎo)熱系數(shù).k與床層顆粒數(shù)量N成指數(shù)方關(guān)系，k～N y，其中y為指數(shù)系數(shù)，表征床層內(nèi)顆粒處于不同的狀態(tài)（有序或無(wú)序），y的取值范圍為0～0.5［24-25］.根據(jù)床層耗散特性建立床層能量平衡方程

類比于氣體，將顆粒的平均脈動(dòng)動(dòng)能定義為顆粒溫度（T）［23］.基于這一擬氣體假設(shè)，可以得到如下顆粒溫度的表達(dá)式：

式中：顆粒碰撞所引起的床層能量耗散γ與顆粒粒徑dm、彈性恢復(fù)系數(shù)e以及顆粒自身溫度T等參數(shù)相關(guān).

模型計(jì)算的物理區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高為80、80、1 000 mm.計(jì)算區(qū)域底部為振動(dòng)床底，作振幅為A和頻率為f的正弦振動(dòng)，床體的位移為s=Asin（2πft），t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間.無(wú)量綱振動(dòng)強(qiáng)度（Γ）的表達(dá)式為

式中：a為振動(dòng)加速度，g為重力加速度.床底振動(dòng)前，將一定數(shù)量的顆粒隨機(jī)初始化于計(jì)算區(qū)域內(nèi).計(jì)算區(qū)域四周為周期邊界，顆粒離開側(cè)面邊界后會(huì)立刻從對(duì)面邊界以相同的速度進(jìn)入.

床體振動(dòng)過(guò)程中，床層內(nèi)顆粒隨之發(fā)生運(yùn)動(dòng)，床內(nèi)顆粒碰撞時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：m為顆粒質(zhì)量，F(xiàn)n和Ft分別為顆粒碰撞時(shí)受到的法向作用力和切向作用力.顆粒與床底之間、顆粒與顆粒之間均為彈性碰撞，碰撞過(guò)程中的碰撞力采用Hertz-Mindlin無(wú)滑移接觸模型［26］獲得，計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)取1×10-6s，碰撞示意圖如圖1所示.法向力和切向力分別表示為

式中：α為法向重疊量，vij是顆粒i相對(duì)于顆粒j的速度，n為從顆粒i球心指向顆粒j球心的單位矢量，kn和cn分別為顆粒i的法向彈性系數(shù)和法向阻力系數(shù)；δ是接觸點(diǎn)切向位移，vct是接觸點(diǎn)的滑移速度，kt和ct分別為切向彈性系數(shù)和切向阻尼系數(shù).當(dāng)時(shí)，顆粒i發(fā)生滑動(dòng)，切向力為

式中：μs為摩擦因數(shù).彈性系數(shù)kn和cn的計(jì)算公式為

圖1 顆粒間碰撞模型Fig.1 Collision model between grains

下標(biāo)分別表示碰撞顆粒；E為彈性模量；G為剪切模量；e為彈性恢復(fù)系數(shù).以上碰撞模型中，當(dāng)i或j代表壁面（i，j=w）時(shí)，Rw趨于無(wú)窮大，R*=1，m*=1.顆粒與壁面的碰撞為完全彈性碰撞，egw=0且μgw=0.顆粒材料的物性參數(shù)為：泊松比γ=0.25，彈性模量E=108，剪切模量G=108，顆粒彈性恢復(fù)系數(shù)e=0.25，顆粒間摩擦系數(shù)μgg=0.9.

2 結(jié)果與討論

2.1 單組分顆粒體系

將1 440個(gè)直徑為12 mm，密度為1 000 kg／m3的圓形顆粒隨機(jī)填充于計(jì)算區(qū)域內(nèi).對(duì)床底施加振動(dòng)后，床內(nèi)的顆粒將隨之運(yùn)動(dòng).振動(dòng)一段時(shí)間至顆粒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能分布以及能量耗散規(guī)律進(jìn)行分析.高頻振動(dòng)時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生湍流，如高頻時(shí)會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)波和倍周期分叉現(xiàn)象.這些現(xiàn)象可能由間隙空氣引起，但是具體機(jī)理目前還不明確.由于采用的顆粒直徑較大（粒徑為12 mm），空氣曳力遠(yuǎn)小于顆粒慣性力，本研究忽略間隙空氣的影響.

圖2～5分別展示了振幅A為0.003 m，振動(dòng)頻率f為10 Hz和100 Hz時(shí)處于床內(nèi)不同高度處內(nèi)顆粒的運(yùn)動(dòng).其中，v z（空心點(diǎn)曲線）和vχ（實(shí)心點(diǎn)曲線）分別為顆粒豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)速度.在較低頻率區(qū)，當(dāng)f=10 Hz時(shí)，在豎直方向床層顆粒隨著床底振動(dòng)將周期性地上拋和下落，如圖2和圖3所示，vχ＜v z，床層整體仍然處于“有序”運(yùn)動(dòng)狀態(tài).而在高頻區(qū)，當(dāng)振動(dòng)頻率f=100 Hz時(shí)，如圖4和圖5所示，顆粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律性變差，vχ與v z大致相同.此外，沿床高方向上，低頻和高頻振動(dòng)情況下顆粒的運(yùn)動(dòng)劇烈程度也存在明顯差異.

圖2 f=10 Hz且A=0.003 m時(shí)床內(nèi)顆粒豎直方向的運(yùn)動(dòng)Fig.2 Vertical motion of grains in vibrated bed where vibration frequency is 10 Hz and amplitude is 0.003 m

圖3 f=10 Hz且A=0.003 m時(shí)床內(nèi)顆粒水平方向的運(yùn)動(dòng)Fig.3 Horizontal motion of grains in vibrated bed where vibration frequency is 10 Hz and amplitude is 0.003 m

由圖可知，在低頻率（f=10 Hz）區(qū)，床層上部顆粒運(yùn)動(dòng)幅度最大，顆粒運(yùn)動(dòng)的劇烈程度隨著顆粒所處高度的增加而增加；而在高頻（f=100 Hz）區(qū)，位于床底處顆粒的運(yùn)動(dòng)幅度大、運(yùn)動(dòng)最劇烈，沿著床層高度增大的方向顆粒的運(yùn)動(dòng)幅度逐漸減小.

圖4 f=100 Hz且A=0.003 m時(shí)床內(nèi)顆粒豎直方向的運(yùn)動(dòng)Fig.4 Vertical motion of grains in vibrated bed where vibration frequency is 100 Hz and amplitude is 0.003 m

圖5 f=100 Hz且A=0.003 m時(shí)床內(nèi)顆粒水平方向的運(yùn)動(dòng)Fig.5 Horizontal motion of grains in vibrated bed where vibration frequency is 100 Hz and amplitude is 0.003 m

當(dāng)床層穩(wěn)定后，統(tǒng)計(jì)一定時(shí)間（6 s）內(nèi)顆粒的平均動(dòng)能（Ek），即可得到床內(nèi)顆粒的動(dòng)能分布情況.圖6為不同振動(dòng)條件下顆粒在振動(dòng)床內(nèi)的動(dòng)能分布規(guī)律.當(dāng)f=10 Hz時(shí)，如圖6（a）所示，在振幅較小的情況下，顆粒動(dòng)能（Ek）隨著床內(nèi)高度（h）的增加而增加；而隨著振幅的進(jìn)一步增大，顆粒動(dòng)能隨著高度不再是單調(diào)變化，即在床底和床層上部顆粒的動(dòng)能較高，而在床層中部顆粒的動(dòng)能相對(duì)較低.當(dāng)f=100 Hz時(shí)，如圖6（b）所示，在不同的振幅條件下，顆粒動(dòng)能呈現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì).顆粒動(dòng)能隨著高度的增加而單調(diào)減小，且隨著振幅的增加，顆粒動(dòng)能越來(lái)越大.

圖6 不同振動(dòng)參數(shù)下振動(dòng)床內(nèi)顆粒動(dòng)能的分布規(guī)律Fig.6 Kinetic energy distribution in vibrated bed with different vibration parameters

顆粒間的彈性恢復(fù)系數(shù)e是影響床層能量分布規(guī)律的重要因素.圖7為f=10 Hz且A=0.010 m時(shí)不同彈性恢復(fù)系數(shù)下顆粒床層的動(dòng)能分布.隨著e的增大，顆粒體系的總動(dòng)能逐漸增大.當(dāng)e＜0.75時(shí)，顆粒體系動(dòng)能沿著床高（h）方向有著幾乎一致的分布規(guī)律：顆粒動(dòng)能在床層中部較低，而在床底和床層上部較高.當(dāng)e=0.95時(shí)，顆粒體系動(dòng)能分布有所改變，沿著床高增大的方向顆粒動(dòng)能逐漸增大.

當(dāng)床層振動(dòng)時(shí)，顆粒之間產(chǎn)生頻繁的相互碰撞，顆粒碰撞前后存在動(dòng)能差這一動(dòng)能差即為每次碰撞引起的動(dòng)能耗散.將單位時(shí)間單位體積內(nèi)床層顆粒碰撞的總能量耗散定義為床層的能量耗散速率，即.圖8為不同振動(dòng)參數(shù)下顆粒的能量耗散分布規(guī)律，其中γ*=γ／γav，γav為整個(gè)床層的平均能量耗散速率.

圖7 不同彈性恢復(fù)系數(shù)下振動(dòng)床內(nèi)顆粒動(dòng)能的分布規(guī)律Fig.7 Kinetic energy distribution in vibrated bed with different coefficients of restitution

當(dāng)Γ＜1時(shí)，振動(dòng)過(guò)程中床內(nèi)顆粒未完全脫離床底，即顆粒與床底一起作上下運(yùn)動(dòng)，床層內(nèi)各個(gè)高度動(dòng)能耗散基本一致，如圖8中實(shí)心圓點(diǎn)所示；而當(dāng)無(wú)量綱振動(dòng)強(qiáng)度增加（頻率增加或振幅增加）后，系統(tǒng)中能量耗散梯度呈負(fù)梯度，即床底能量耗散遠(yuǎn)多于床層上部.高頻率和大振幅床層中能量耗散均沿著床高的增加而減小，然而在量值上卻存在差異.高頻率時(shí)床底與床層上部能量耗散差異大，而高振幅時(shí)差異小.當(dāng)為大振幅振動(dòng)時(shí)，由于單位時(shí)間內(nèi)的碰撞次數(shù)較高頻振動(dòng)時(shí)少，整個(gè)床層由于碰撞引起的能量耗散差異不大；而振動(dòng)為高頻率時(shí)，床底顆粒劇烈運(yùn)動(dòng)、床層上部顆粒運(yùn)動(dòng)幅度相對(duì)較小，床底能量耗散速率遠(yuǎn)大于上部床層.

如圖8所示，隨著f或A的增加，顆粒體系的平均能量耗散速率（γav）亦隨之增加.這與文獻(xiàn)［27］中的模擬和文獻(xiàn)［28］中的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果有著一致的變化趨勢(shì)：當(dāng)無(wú)量綱振動(dòng)強(qiáng)度一定，在f＜100 Hz時(shí)，隨著f的增大，床層的平均能量耗散功率（耗散能量）逐漸增大.彭政等［28］根據(jù)能量守恒，將顆粒系統(tǒng)的平均能量耗散功率視作振動(dòng)臺(tái)向顆粒床進(jìn)行能量傳遞的平均功率W（忽略空氣的影響）.當(dāng)振幅一定而頻率增大時(shí)，振動(dòng)變得更加劇烈，床底向床層輸入的總能量增加.相應(yīng)地，床層內(nèi)顆粒間的非彈性碰撞次數(shù)增加，體系的能量耗散隨之增大.

2.2 雙組分顆粒體系

將2種密度相同尺寸不同的顆粒（大顆粒：直徑為12 mm，密度為1 000 kg／m3，數(shù)量為720顆；小顆粒：直徑為8 mm，密度為1 000 kg／m3，數(shù)量為2 430顆，大小顆?？傮w積之比1：1）先后初始化于床層中，得到2種不同的分布形式.“巴西果”分布（BN distribution），床層下部為小顆粒、上部為大顆粒；“反巴西果”分布（RBN distribution），床層下部為大顆粒，上部為小顆粒.對(duì)顆粒床層施加豎直方向振動(dòng)，在不同的振動(dòng)條件下，統(tǒng)計(jì)一定時(shí)間（6 s）內(nèi)顆粒的平均動(dòng)能Ek.在統(tǒng)計(jì)時(shí)間段內(nèi)，顆粒體系基本保持初始分布，統(tǒng)計(jì)過(guò)程中并不涉及顆粒分布狀態(tài)的改變.圖9為雙組分顆粒處于不同分布時(shí)的動(dòng)能分布規(guī)律.通過(guò)比較，可以得到以下結(jié)論.

圖8 床層內(nèi)能量耗散速率分布Fig.8 Distribution of energy dissipation rate in granular bed

圖9 雙組分顆粒振動(dòng)床內(nèi)動(dòng)能分布Fig.9 Kinetic energy distribution in binary granular mixture

1）相同位置大顆粒動(dòng)能大于小顆粒動(dòng)能；

2）當(dāng)為低頻率（f=10 Hz）振動(dòng)時(shí)，同一組分顆粒動(dòng)能沿床高方向上為正梯度分布，即顆粒動(dòng)能隨高度的增加而增加.當(dāng)振動(dòng)為高頻率（f=100 Hz）時(shí)，同一組分顆粒動(dòng)能沿床高方向上為負(fù)梯度，即顆粒動(dòng)能隨高度的增加而降低.

3）雙組分顆粒分布不同時(shí)，床層內(nèi)顆粒的動(dòng)能分布形式存在顯著差異，床層顆?？倓?dòng)能也不相同.當(dāng)?shù)皖l振動(dòng)時(shí)，“反巴西果”分布時(shí)床層顆?？倓?dòng)能更低；當(dāng)高頻振動(dòng)時(shí)，“巴西果”分布時(shí)床層顆?？倓?dòng)能更低.

改變振幅與頻率，比較“巴西果”和“反巴西果”2種不同分布時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能（分別為BN分布總能量EBN和RBN分布總能量ERBN），可得到圖10所示的相圖.在A區(qū)域，Γ＜1，顆粒運(yùn)動(dòng)不會(huì)離開床層，在B區(qū)域（低頻率、小振幅），當(dāng)顆粒處于反巴西果分布時(shí)，顆粒床層的動(dòng)能更低，ERBN＜EBN；在C區(qū)域（高頻率、大振幅），當(dāng)顆粒處于巴西果分布時(shí)床層動(dòng)能更低，EBN＜ERBN.模擬得到2種分布情況下的系統(tǒng)總能量，總能量越低其分布越穩(wěn)定，按照模擬結(jié)果進(jìn)行分區(qū).A區(qū)和B區(qū)的劃分條件為Γ=1，因此，A區(qū)和B區(qū)分界線（見(jiàn)圖10中虛線）的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為A=g／（4π2f2）.通過(guò)非線性多項(xiàng)式擬合，可以得到B區(qū)和C區(qū)的分界線（見(jiàn)圖8中實(shí)線）的表達(dá)式為

圖10 顆粒分布對(duì)床層動(dòng)能的影響Fig.10 Effect of grain size distribution on kinetic energy

顆粒直徑越小，單位體積內(nèi)顆粒數(shù)量越多，相同條件下碰撞次數(shù)越多，因此，相比于大顆粒床層而言，小顆粒床層對(duì)外部輸入能量具有更強(qiáng)的耗散能力.沿床層床高方向顆粒動(dòng)能分布不同，存在顆粒動(dòng)能相對(duì)更大的“高動(dòng)能區(qū)”.當(dāng)耗散能量強(qiáng)的小顆粒處于床層“高動(dòng)能區(qū)”時(shí)，整個(gè)床層對(duì)外界輸入能量具有更強(qiáng)的耗散能力，使得整個(gè)床層自身動(dòng)能更低.

對(duì)于低頻率及低振幅振動(dòng)，床層“高動(dòng)能區(qū)”處于床層上部，因此雙組分顆粒處于“反巴西果”分布時(shí)床層總動(dòng)能更低；而對(duì)于高頻率振動(dòng)，床層“高動(dòng)能區(qū)”處于床底，雙組分顆粒處于“巴西果”分布時(shí)床層總動(dòng)能更低.

3 結(jié) 論

（1）作為顆粒體系微觀結(jié)構(gòu)研究的有效工具，離散單元法可以有效地用于顆粒體系的能量傳遞與耗散的模擬研究中.結(jié)果表明：當(dāng)振動(dòng)參數(shù)（振幅和頻率）發(fā)生改變時(shí)，沿著床層的高度方向顆粒的能量分布、傳遞與耗散隨之發(fā)生改變.低頻振動(dòng)時(shí)，碰撞引起的能量耗散沿床高方向逐漸增加；高頻振動(dòng)時(shí)，沿床高方向顆粒運(yùn)動(dòng)引起的能量耗散迅速減小.

（2）雙組分顆粒放入振動(dòng)床層中，系統(tǒng)的總動(dòng)能隨著振動(dòng)頻率及振幅的增加而增大.同時(shí)，雙組分顆粒在床內(nèi)的分布也會(huì)影響床層總動(dòng)能：在低振幅、低頻率時(shí)，“反巴西果”分布時(shí)床層總動(dòng)能較低，反之則“巴西果”分布時(shí)床層總動(dòng)能較低.

（3）顆粒系統(tǒng)為自身動(dòng)能分布滿足某一條件極值（例如：總能量最低），而調(diào)整床層內(nèi)雙組分顆粒的分布，最終處于穩(wěn)定的分離狀態(tài).“巴西果”分布和“反巴西果”分布時(shí)床層具有的總動(dòng)能差異是否為顆粒分離的原始驅(qū)動(dòng)力，或與顆粒分離的驅(qū)動(dòng)力之間存在何種聯(lián)系，有待進(jìn)一步研究.

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