王中結(jié)，方 旭

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖241000)

引 言

近年來，激光束操控囚禁離子的研究已成為非?；钴S的研究領(lǐng)域。囚禁離子系統(tǒng)不僅在工程的量子態(tài)方面是非常重要的［1-2］，而且在諸如量子隱形傳態(tài)和量子計(jì)算中有重要的應(yīng)用價(jià)值［3-5］。在Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經(jīng)典駐波光場(chǎng)的相互作用通常是由類似于腔量子電動(dòng)力學(xué)的Jaynes-Cummings(J-C)模型描述。在J-C模型基礎(chǔ)上，為制備各種非經(jīng)典狀態(tài)，人們提出了許多方案，例如Fock態(tài)的制備［6］、糾纏態(tài)的制備［7］、壓縮相干態(tài)的制備［8］、糾纏態(tài)的制備［9］、激發(fā)薛定諤貓態(tài)的制備［10］、簇態(tài)的制備［11］等。但是，在遠(yuǎn)離 Lamb-Dicke極限下，囚禁離子與經(jīng)典駐波光場(chǎng)的相互作用必須由非線性J-C模型來描述。近來，在非線性J-C模型基礎(chǔ)上，人們提出了制備非線性相干態(tài)的方法［12］，并對(duì)二能級(jí)囚禁離子的量子動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究［13-15］，如參考文獻(xiàn)［13］中，作者研究了二能級(jí)囚禁離子的非線性J-C模型，分析了非線性對(duì)離子布居數(shù)的影響。然而，在關(guān)于囚禁離子的非線性J-C模型的研究中，人們大多集中考慮二能級(jí)囚禁離子與駐波激光束的相互作用。

本文中研究了單個(gè)三能級(jí)2維囚禁離子與經(jīng)典駐波激光場(chǎng)的相互作用，得到了這個(gè)非線性J-C模型的嚴(yán)格解，數(shù)值分析了2維囚禁離子的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)之間的交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)。結(jié)果表明，非線性參量對(duì)交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)有明顯地影響。

1 模型及其演化算符

考慮囚禁在一個(gè)2維簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中單個(gè)三能級(jí)離子，與兩束分別沿x和y方向的駐波激光場(chǎng)相互作用，一束激光場(chǎng)的頻率為 ωlaser，1，另一束頻率為ωlaser，2。囚禁離子由兩個(gè)基態(tài)和一個(gè)激發(fā)態(tài)組成，基態(tài)和〉的能量分別為 ω1和 ω2，激發(fā)態(tài)的能量為 ω3，如圖1所示。

Fig.1 Level scheme of the trapped ion interacting with two standing wave laser fields

隨著應(yīng)用的旋轉(zhuǎn)波近似，系統(tǒng)的哈密頓量為(令=1):

式中，ai(a+i)(i=1，2)表示囚禁離子沿x和y方向的質(zhì)心振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的湮滅(產(chǎn)生)算符，νi是囚禁頻率，φi(i=1，2)是駐波激光場(chǎng)的相位(沿x和y方向)，gi是耦合常數(shù)，ηi=ki是Lamb-Dick參量，m是囚禁離子的質(zhì)量，ki是駐波激光場(chǎng)的波數(shù)。

在下面的計(jì)算中，假定 g1=g2=g，φ1=φ2=φ。在相互作用圖像中，相互作用哈密頓可表示為:

式中，Δ1= ω3- ω1- ωlaser，1，Δ1= ω3- ω2- ωlaser，2。為計(jì)算方便起見，令 Δ1=ν1，Δ2=ν2。應(yīng)用下列公式:

其中，

容易證明Aj和A+j算符滿足下列的對(duì)易關(guān)系:

式中，δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)。應(yīng)當(dāng)指出哈密頓量(4)式描述了一個(gè)三能級(jí)2維囚禁離子與兩束經(jīng)典駐波激光場(chǎng)相互作用的非線性模型，并對(duì)任意值的Lamb-Dicke參量η1和η2都有效。

在原子態(tài)表象中，推導(dǎo)由哈密頓(4)式確定的演化算符UI=e-iHit的矩陣元，結(jié)果如下:

2 二模交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)

在這一節(jié)中，研究囚禁離子的沿x和y方向的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)之間的交叉關(guān)聯(lián)效應(yīng)。歸一化的二模交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)定義如下:

如果Ga1a2＜1，就說模式a1和模式a2是反關(guān)聯(lián)的，如果 Ga1a2＞1，就說兩者是關(guān)聯(lián)的，即囚禁離子的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)具有非經(jīng)典的性質(zhì)。為了數(shù)值計(jì)算交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)，首先假定囚禁離子初始處在激發(fā)態(tài)3〉，沿x和y方向的質(zhì)心振動(dòng)運(yùn)動(dòng)分別處在相干態(tài)

式中，F(xiàn)n為算符a1和a2的本征值。應(yīng)用(7)式，容易計(jì)算囚禁離子任意時(shí)刻t的態(tài)矢為:

應(yīng)用(10)式，可以計(jì)算(8)式各力學(xué)量的期望值為:

Fig.2 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number α 2=1．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

將(11)式代入(8)式，可得交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2隨時(shí)間的變化。定義無量綱時(shí)間τ=gt，畫出Ga1a2在不同的Lamb-Dicke參量條件下隨無量綱時(shí)間的變化曲線，如圖2所示。從圖2中可以看出，在初始平均量子數(shù)=1．0情形下，交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2在某些時(shí)段對(duì)于任意的Lamb-Dicke參量都小于1，這表明模式a1和a2之間存在反關(guān)聯(lián)。這種反關(guān)聯(lián)效應(yīng)容易受Lamb-Dicke參量η1和η2的影響。隨著η1和η2的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)得到增強(qiáng)。然而，進(jìn)一步增大η1和η2，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)反而減弱。這說明Lamb-Dicke參量對(duì)反關(guān)聯(lián)效應(yīng)的影響是復(fù)雜的。另一方面，交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)Ga1a2在某些時(shí)段對(duì)于任意的Lamb-Dicke參量都大于1，這表明模式a1和a2之間存在關(guān)聯(lián)，即存在非經(jīng)典效應(yīng)。Lamb-Dicke參量對(duì)這種關(guān)聯(lián)效應(yīng)有明顯的影響。圖2表明，Lamb-Dicke參量η1和η2越大，兩模間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)越強(qiáng)。作者進(jìn)一步研究了初始平均量子數(shù)對(duì)關(guān)聯(lián)效應(yīng)的影響，如圖3和圖4所示。發(fā)現(xiàn)隨著初始平均量子數(shù)的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)將減弱直至消失。

Fig.3 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with initial average quantum number =2．0，φ = π/2 and various parameters η1，η2

Fig.4 Cross-correlation function Ga1a2versus dimensionless time τ=gt with the initial average quantum number =5．0，φ = π/2 and the various parameters η1，η2

3 討論

下面提出一個(gè)可能的實(shí)驗(yàn)構(gòu)型［16］。將一個(gè)40Ca+置于一個(gè)強(qiáng)射頻的Pauli勢(shì)阱中，離子在勢(shì)阱中沿 x和 y方向的振蕩頻率取為 ν1=ν2≈70.3MHz，并由沿x和y方向的駐波激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)。離子采用受激Raman激光冷卻技術(shù)。離子的兩個(gè)能級(jí)基態(tài)2S1/2和亞穩(wěn)態(tài)2D5/2(壽命約1s)分別記為和，另一個(gè)能級(jí)2P1/2記為。這里，給出一個(gè)測(cè)量離子振動(dòng)模式的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)的方法。用一束與x軸成45°的方向傳輸?shù)慕?jīng)典行波光場(chǎng)將囚禁離子從基態(tài)激發(fā)到高激發(fā)態(tài)，系統(tǒng)哈密頓為:

可以看出，離子從基態(tài)躍遷到高激發(fā)態(tài)的幾率的時(shí)間導(dǎo)數(shù)正比于〈a+1a+2a1a2〉，即正比于二模交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)［17］。至此，利用熒光光譜技術(shù)可以測(cè)量離子振動(dòng)模式的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)，參見參考文獻(xiàn)［18］。

4 結(jié)論

研究了一個(gè)2維三能級(jí)囚禁離子與兩束經(jīng)典駐波激光場(chǎng)的相互作用的非線性J-C模型。求出了這個(gè)非線性J-C模型的嚴(yán)格解。分析了囚禁離子的兩個(gè)振動(dòng)模式之間的交叉關(guān)聯(lián)函數(shù)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明:Lamb-Dicke參量(表征非線性效應(yīng)，這個(gè)參量越大，非線性越強(qiáng))對(duì)交叉關(guān)聯(lián)有明顯地影響;當(dāng)初始平均量子數(shù)較小時(shí)，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨Lamb-Dicke參量的增大先是也增大然后減弱，但是關(guān)聯(lián)效應(yīng)卻隨Lamb-Dicke參量的增大一直增強(qiáng);隨著初始平均量子數(shù)的增大，反關(guān)聯(lián)效應(yīng)會(huì)減弱直至消失。

［1］ LEIBFRIED D，BLATT R，MONROE C，et al.Quantum dynamics of single trapped ions［J］.Reviews of Modern Physics，2003，75(1):281-354.

［2］ ROOS C，ZEIGER T，ROHDE H，et al.Quantum state engineering on an optical transition and decoherence in a Paul trap［J］.Physics Review Letters，1999，83(23):4713.

［3］ BARRETT M D，CHIAVERINI J，SCHAETZ T，et al.Deterministic quantum teleportation of atomic qubits［J］.Nature，2004，429(6993):737-739.

［4］ GARCIA-RIPOLL J J，ZOLLER P，CIRAC J I.Speed optimized two-qubit gates with laser coherent control techniques for ion trap quantum computing［J］.Physics Review Letters，2003，91(15):157901-157904.

［5］ DUAN L M.Scaling ion trap quantum computation through fast quantum gates［J］.Physics Review Letters，2004，93(10):100502-100505.

［6］ CIRAC J I，BLATT R，ZOLLER P.Nonclassical states of motion in a three-dimensional ion trap by adiabatic passage［J］.Physics Review，1994，A49(5):R3174.

［7］ KIRCHMAIR G，BENHELM J，ZAHRINGER F，et al.Deterministic entanglement of ions in thermal states of motion［J］.New Journal of Physics，2009，11(2):023002-023022.

［8］ WANG Zh J.Preparation of squeezed state and entanglement state between vibrational motion of trapped ion and light［J］.Communications in Theoretical Physics，2010，54(6):1109-1110.

［9］ ZHENG Sh B.Genereation of multi-mode excited coherent states for N trapped ions in strong-excitation regime［J］.Communications in Theoretical Physics，2005，43(3):523.

［10］ WANG Zh J，ZHANG X D，LI C.Properties and generation of photon-added Schr?dinger cat states［J］.Communications in Theoretical Physics，2012，57(3):459-462.

［11］ WUNDERLICH H，WUNDERLICH C，SINGER K，et al.Twodimensional cluster-state preparation with linear ion traps［J］.Physics Review，2009，A79(5):052324-052334.

［12］ de MATOS FILHO R L，VOGEL W.Nonlinear coherent states［J］.Physics Review，1996，A54(5):4560-4563.

［13］ WANG Zh Q，DUAN Ch K，AN G L，Nonlinear jaynes-cummings model of a trapped ion and the evolution of the ion population inversion［J］.Acat Physica Sinica，2006，55(7):3438-3442(in Chinese).

［14］ YU W J，WANG J S，LIANG B L.Quantum properties of twolevel atoms interacting with nonlinear coherent states［J］.Acta Physica Sinica，2012，61(6):060301(in Chinese).

［15］ LI C，WANG Zh J.Amplitude-squeezed effects in nonlinear trapped model［J］.Journal of Atomic and Molecular Physics，2013，30(3):435-440(in Chinese).

［16］ HAFFNER H，GULDE S，RIEBE M，et al.Precision measurement and compensation of optical stark shifts for an ion-trap quantum processor［J］.Physics Review Letters，2003，90(14):143602-143607.

［17］ GUO G C.Quantum optics［M］.Beijing:Higher Education Press，1990:76-87(in Chinese).

［18］ WALTHER H.Spectroscopy of single trapped ions and applications to frequency standards and cavity quantum electrodynamics［J］.Laser Physics，1999，9(1):225-233.