肖艷平, 楊翊仁, 魯麗

(1.中國民航飛行學(xué)院 飛行技術(shù)學(xué)院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

長直機(jī)翼的顫振及混沌運動分析

肖艷平1,2, 楊翊仁2, 魯麗2

(1.中國民航飛行學(xué)院 飛行技術(shù)學(xué)院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

采用非定常氣動力并考慮幾何非線性的影響,建立了長直機(jī)翼的氣動彈性運動方程。運用伽遼金法對方程進(jìn)行離散,通過數(shù)值模擬研究了機(jī)翼的顫振特性及混沌運動。結(jié)果表明:考慮幾何非線性后,出現(xiàn)極限環(huán)振動的初始點與線性預(yù)測結(jié)果基本一致;不同機(jī)翼模型,機(jī)翼振動從收斂到混沌的過程不同,可由單個極限環(huán)振動經(jīng)擬周期運動進(jìn)入混沌,也可以由單個極限環(huán)到擬周期運動,再回到單環(huán)振動,然后經(jīng)極限環(huán)的周期倍化進(jìn)入混沌狀態(tài)。

顫振; 極限環(huán)振動; 混沌;非線性

0 引言

近十幾年來,高空長航時飛機(jī)越來越受到世界各國的重視。這類飛機(jī)普遍的特點是大展弦比、重量輕、柔性大,故基于小變形線性假設(shè)的氣動彈性分析方法已不再適用[1]。由于幾何非線性效應(yīng),一般不會像線性機(jī)翼顫振那樣發(fā)生振幅隨時間以指數(shù)形式增長的破壞性振動,而通常呈現(xiàn)出限幅極限環(huán)振動的形式;但是,劇烈的顫振會對大展弦比機(jī)械結(jié)構(gòu)的疲勞壽命,甚至飛行器的飛行性能以及飛行安全產(chǎn)生十分不利的影響[2-3]。

目前,對大展弦比機(jī)翼的氣動彈性分析,其結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型主要采用非線性梁模型。早在1974年,Hodges等[3]建立了彈性旋翼的Hodges-Dowell方程。此方程是彎-彎-扭相耦合梁的非線性運動方程,該方程經(jīng)適當(dāng)簡化后完全可以作為大展弦比固定翼飛機(jī)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程。文獻(xiàn)[4-5]采用簡化的Hodges-Dowell方程和準(zhǔn)定常氣動力研究了大展弦比機(jī)翼非線性氣動彈性響應(yīng),并給出了風(fēng)洞試驗結(jié)果。Patil等[6]采用渦格氣動力理論分析了幾何非線性對大展弦比機(jī)翼氣動彈性響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[2,7]采用準(zhǔn)模態(tài)法研究了非定常氣動力作用下的顫振邊界的求解。冉玉國等[8]利用Nastran軟件分析了非定常氣動力作用下大展弦比機(jī)翼的氣動彈性響應(yīng),但他們僅研究了顫振邊界,未涉及混沌運動。Patil等[6]對顫振后極限環(huán)振動進(jìn)行了研究,但結(jié)構(gòu)模型中只考慮了二次非線性項的影響。

本文考慮了長直機(jī)翼的幾何非線性,采用非定常氣動力,建立了彎扭耦合懸臂梁的非線性氣動彈性運動方程。采用伽遼金法對方程進(jìn)行離散,利用MATLAB語言數(shù)值模擬研究了長直機(jī)翼的顫振特性和混沌運動。

1 氣動彈性方程的建立

考慮如圖1所示的長直機(jī)翼模型,忽略機(jī)翼的弦向變形和翹曲的影響,基于文獻(xiàn)[3]可推導(dǎo)出長直機(jī)翼的彎扭耦合運動方程為:

(1)

式中:Fw,Mφ為非定常氣動力和力矩;m為機(jī)翼單位長度質(zhì)量;w為彎曲位移;xa為機(jī)翼重心與彈性軸的距離;φ為繞彈性軸的扭轉(zhuǎn)角;EI1,EI2和GJ分別為機(jī)翼的垂向彎曲、弦向彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度;Ia為單位長度機(jī)翼的轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 長直機(jī)翼模型Fig.1 Model of the long straight wing

非定常氣動力采用時域內(nèi)基于Wagner函數(shù)的氣動力為[9]:

(2)

其中:

φw(τ)=1-A1e-b1τ-A2e-b2τ

式中:V為來流速度;a為彈性中心到弦長中點的無量綱距離;b為半弦長;τ=(V/b)t為無量綱時間;A1=0.165;A2=0.335;b1=0.045 5;b2=0.3。

將式(2)代入式(1)可得機(jī)翼的氣動彈性方程為:

(3)

采用伽遼金法對式(3)進(jìn)行離散,并利用振型的正交性積分,整理后可得:

(4)

(5)

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 顫振臨界速度的確定

線性顫振分析可確定系統(tǒng)的顫振邊界,本文通過計算式(5)的特征值s=c+ωi來確定顫振臨界速度。隨著速度的增加,若特征值實部c由負(fù)變正,則該速度即為顫振臨界速度。

本文以兩種機(jī)翼模型為例進(jìn)行研究,模型的具體參數(shù)見表1。

表1 機(jī)翼模型參數(shù)Table 1 Parameters of the wings

計算時,彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)均取前4階。計算得到case 1機(jī)翼模型(HALE飛機(jī))的顫振臨界速度VF=32.65 m/s,顫振頻率f=22.1 rad/s,與文獻(xiàn)[6]結(jié)果(VF=32.8 m/s,f=22.4 rad/s)非常接近。Case 2機(jī)翼模型VF=23.4 m/s,f=23.5 rad/s。

2.2 混沌運動

由于考慮了長直機(jī)翼的幾何非線性的影響,當(dāng)速度大于線性顫振臨界速度時,機(jī)翼響應(yīng)并不會發(fā)散,而是出現(xiàn)極限環(huán)振動。為此,本文以流速為分叉參數(shù),研究不同機(jī)翼的翼尖扭轉(zhuǎn)位移極限環(huán)振動響應(yīng)。圖2給出了初始條件為y0(1,1)=0.006 25時,HALE飛機(jī)的翼尖扭轉(zhuǎn)位移分叉圖。

從圖2中可以看出,考慮了幾何非線性影響后,系統(tǒng)極限環(huán)振動的初始點與線性分析結(jié)果基本一致,且在系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)前翼尖扭轉(zhuǎn)角響應(yīng)幅值都不是很大。另外,當(dāng)速度大于線性顫振臨界速度時,機(jī)翼的響應(yīng)為極限環(huán)振動,而且隨著速度的增加,極限環(huán)的幅值一直增大;當(dāng)速度大于40.5 m/s時,系統(tǒng)由單環(huán)振動進(jìn)入擬周期運動;當(dāng)速度大于41 m/s時,系統(tǒng)由擬周期進(jìn)入混沌狀態(tài),扭轉(zhuǎn)角幅值迅速增大。該系統(tǒng)是一個典型的由擬周期進(jìn)入混沌的系統(tǒng),由圖3中的相圖可以更清楚地看到。

圖2 HALE飛機(jī)翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.2Bifurcation diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖3 HALE飛機(jī)翼尖扭轉(zhuǎn)角相圖Fig.3 Phase diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖4給出了case 2機(jī)翼模型的扭轉(zhuǎn)位移分叉圖,初始條件為y0(1,1)=0.005。從圖4中可以看出:當(dāng)飛行速度大于線性顫振臨界速度時,系統(tǒng)先出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán),且極限環(huán)的幅值隨著速度的增加而增加,與HALE飛機(jī)類似。當(dāng)速度在23.85～25.00 m/s時,隨著速度增加,扭轉(zhuǎn)方向的極限環(huán)幅值保持不變,極限環(huán)中心略向下偏移。極限環(huán)中心位置發(fā)生偏移的原因是在速度大于23.85 m/s時,系統(tǒng)出現(xiàn)了除原點以外的平衡點,但由于非定常氣動力的作用,該平衡點很難通過理論分析得出。當(dāng)速度在25～26 m/s之間時,系統(tǒng)進(jìn)入擬周期運動狀態(tài),但位移響應(yīng)幅值變化不大,其相圖如圖5(b)所示,對應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(a)所示。速度在26.0～27.3 m/s之間時,系統(tǒng)又回到穩(wěn)定的極限環(huán)振動,其相圖如圖5(c)所示。速度在27.3～27.4 m/s之間時,系統(tǒng)交替出現(xiàn)了周期1和周期2的極限環(huán)振動,其相圖如圖5(d)所示。速度在27.4～28.5 m/s之間時,極限環(huán)出現(xiàn)了周期倍化現(xiàn)象,其相圖如圖5(e)所示,對應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(b)所示。當(dāng)速度大于28.5 m/s時,系統(tǒng)響應(yīng)由周期倍化運動進(jìn)入了混沌狀態(tài),其相圖如圖5(f)所示,對應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(c)所示。

圖4 Case 2翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram for wingtip twist angle of case 2

圖5 不同速度下翼尖扭轉(zhuǎn)角相圖Fig.5 Phase diagram for the wingtip twist angle at different speeds

圖6 不同速度下的翼尖扭轉(zhuǎn)角龐加萊截面圖Fig.6 Poincare section view of the wingtip twist angle at different speeds

以上為case 2機(jī)翼在某一特定初值下的翼尖扭轉(zhuǎn)角響應(yīng)的研究,演示了系統(tǒng)由收斂到單個極限環(huán)振動,到擬周期運動,再到周期1極限環(huán)振動,最后經(jīng)極限環(huán)的周期倍化進(jìn)入混沌運動的復(fù)雜過程。

3 結(jié)束語

本文研究了長直機(jī)翼在非定常氣動力作用下的非線性氣動彈性響應(yīng)問題。首先進(jìn)行了線性分析,給出了在時域中計算顫振臨界速度的方法,該方法的計算結(jié)果與其他文獻(xiàn)的計算結(jié)果非常吻合?？紤]幾何非線性后,通過翼尖扭轉(zhuǎn)角的分叉圖可知,系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)振動的初始點與線性預(yù)測結(jié)果基本一致。通過case 1和case 2混沌運動分析對比可知,不同的機(jī)翼模型,系統(tǒng)進(jìn)入混沌的過程不同。通過全面分析系統(tǒng)的分叉與混沌行為,不僅可以避免系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài),而且可以防止機(jī)翼發(fā)生顫振,為機(jī)翼的優(yōu)化設(shè)計提供理論依據(jù)。

[1] 趙永輝,胡海巖.大展弦比夾芯翼大攻角顫振分析[J].振動工程學(xué)報,2004,17(1):25-29.

[2] 謝長川,吳志剛,楊超.大展弦比柔性機(jī)翼的氣動彈性分析[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報,2003,29(12):1087-1090.

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(編輯：李怡)

Analysis of flutter and chaos of long straight wing

XIAO Yan-ping1,2, YANG Yi-ren2, LU Li2

(1.Flight Technology College, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan 618307, China;2.School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Considering the effects of geometric nonlinearity, the aerodynamic equations of long straight wings were established with unsteady aerodynamic. The Galerkin’s method was used to discretize the equations. The characteristics of flutter and chaos were analyzed in time domains by numerical simulation. The results show that the starting point of limit-cycle oscillation considering geometric nonlinearity is basically the same as the linear results. The wing’s vibration from convergence to chaos is different from each other. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then to chaos. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then return to period 1, then to chaos by period doubling.

flutter; limit-cycle oscillation; chaos; nonlinear

2015-01-23;

2015-05-10;

時間:2015-06-24 15:03

國家自然科學(xué)基金資助(11102170)；中國民航飛行學(xué)院科研基金資助(J2013-03)

肖艷平(1980-)，女，河北樂亭人，副教授，博士，從事飛行力學(xué)及氣動彈性研究。

V211.47

A

1002-0853(2015)06-0510-04