唐秀福

(河池學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

光子晶體［1－2］作為一種新型的光學(xué)材料，在激光、通訊、醫(yī)學(xué)等各領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，對光子晶體的理論研究已成為近代光學(xué)研究的熱門話題［3－17］。光子晶體是一種根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要生產(chǎn)配制的人造光學(xué)材料，通過具有不同的介電常數(shù)的材料薄膜介質(zhì)周期性排列起來，構(gòu)成能夠?qū)獠ㄟM(jìn)行調(diào)制的特殊功能，根據(jù)薄膜介質(zhì)材料周期排列的維數(shù)不同，目前的光子晶體主要分為1維光子晶體、2維光子晶體和3維光子晶體。自1987年John S和Yablonovitch E分別獨(dú)立提出光子晶體的概念之后，由于光子相比電子的諸多優(yōu)越性，在光電領(lǐng)域激發(fā)了人們極大的研究熱情，在接下來的幾十年里對光子晶體的理論研究發(fā)展過程中，研究者不僅構(gòu)建了大量的光子晶體模型，而且創(chuàng)造和使用了很多種有效的研究方法，并取得了大量研究成果［3－17］。目前常見的光子晶體理論研究方法主要有:平面波展開法、傳輸矩陣法、時域有限差分法、多重散射法、N階法、轉(zhuǎn)移矩陣法等，這些方法在對光子晶體特性的研究上都具有各自的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)，同時針對不同的研究目標(biāo)和對象，他們的適用范圍也不一樣［13－17］。因此，面對眾多的研究方法，光子晶體的研究者特別是初學(xué)者難免無從選擇最有效的方法去解決問題。基于這種思路，本文主要就光子晶體的主要研究方法的特點(diǎn)進(jìn)行對比分析，得出各自的優(yōu)缺點(diǎn)，確定各種研究辦法的適用范圍，并就其中最普遍使用的傳輸矩陣法進(jìn)行實(shí)例計算模擬和分析，此舉可為光子晶體的研究者和學(xué)習(xí)者提供參考。

1 光子晶體的基本研究方法及對比

1.1 光子晶體理論研究的基本方法

平面波展開法是利用Maxwell方程在傅利葉展開的平面波函數(shù)中將能帶計算化為代數(shù)本征值問題求解，該方法是光子晶體理論研究中應(yīng)用的最早也是最廣的方法之一。平面波法是光子晶體早期研究中總結(jié)出來的一套最基本的理論計算方法，它對各種理想結(jié)構(gòu)的晶體能帶結(jié)構(gòu)計算能夠得出很好的結(jié)果。矩陣法是在光學(xué)薄膜計算中常用的一種計算方法，它也是利用Maxwell方程將光子晶體帶隙問題轉(zhuǎn)化為本征值的求解。傳輸矩陣法是在矩陣法的基礎(chǔ)上發(fā)展得來的，它可以利用傳輸矩陣來描述晶體的周期性結(jié)構(gòu)，是目前使用較為普遍的一種光子晶體理論計算方法。時域有限差分法是由Yee K S在1966年創(chuàng)建的，該方法的主要思想是對微分形式的Maxwell方程進(jìn)行差分求解，將Maxwell方程組在坐標(biāo)系中展開成標(biāo)量場分量的方程組，然后在劃分好的Yee氏網(wǎng)格空間中迭代計算出光子晶體中在任意時刻場的分布情況。多重散射法主要應(yīng)用于二維有限光子晶體的問題求解中，該方法將光子晶體作為散射體放置于開放系統(tǒng)中，通過電磁波與散射體的相互作用，研究目標(biāo)的散射、吸收和透入等相關(guān)特性。

此外，晶體研究的理論方法還有N階法、轉(zhuǎn)移矩陣法、格林函數(shù)法等。每種研究方法都各具特點(diǎn)，鑒于文章的篇幅及研究方法使用的普通性等，下面重點(diǎn)對平面波展開法、傳輸矩陣法、時域有限差分法和多重散射法進(jìn)行對比分析。

1.2 常用光子晶體理論研究方法的對比

平面波展開法與其他研究方法相比，計算量較大是該方法的最大約束。由于該種計算方法的計算量與所用平面波的波數(shù)的立方幾乎成正比關(guān)系，因此，對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的晶體，特別是帶缺陷的非理想晶體結(jié)構(gòu)，計算量將非常大，甚至是無法計算。此外，對于介電常數(shù)不是恒定的晶體時，是無法得出確定的本征值方程，進(jìn)而無法求解問題。故平面波展開法僅適用于計算結(jié)構(gòu)簡單的理想晶體能帶。

傳輸矩陣法與其他計算方法相比，其優(yōu)勢在于計算量比較小。因?yàn)樵摲椒ㄖ械膫鬏斁仃噧H與晶體層面上的格點(diǎn)數(shù)的平方成正比，且矩陣比較小、陣元少，因此計算量大為降低。此外，就計算過程而言，應(yīng)用矩陣法運(yùn)算得到的結(jié)果精確度要比矢量法高。利用傳輸矩陣法可有效計算1維、2維、3維介質(zhì)或金屬光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)、反射系數(shù)和內(nèi)部電場分布等，對平面波法無法解決的電常數(shù)隨頻率變化的金屬系統(tǒng)也特別適用，即便是對存在色散或者缺陷的晶體結(jié)構(gòu)，該方法仍然可以有效計算。

時域有限差分法和傳輸矩陣法一樣，不但可以有效計算光子晶體介質(zhì)結(jié)構(gòu)的能帶機(jī)構(gòu)，也可以計算金屬結(jié)構(gòu)的光子晶體能帶關(guān)系。同時，該方法是處理光子晶體Anderson局域態(tài)、光子晶體波導(dǎo)本征模、光子晶體表面模特性的系列問題的有效方法。雖然時域有限差分法在計算晶體能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性上具有較大的優(yōu)勢，但由于該方法計算誤差較大，不適用于對精確度要求高的問題，無法有效解決諸如特殊形狀的原胞或復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體結(jié)構(gòu)問題。

多重散射法對研究由規(guī)則散射體構(gòu)成的晶體非常適用，對球體或者柱體散射體構(gòu)成的晶體，利用該方法計算尤為優(yōu)越，主要體現(xiàn)在收斂速度快，計算精確度高。此外，多重散射法在解決一些特殊問題上效果非常好，如在計算不同相的各種物質(zhì)組成的晶體，尤其對高和低填充率兩種極端情況時具有很好的收斂速度，缺點(diǎn)是計算復(fù)雜，使用比較困難。

在眾多光子晶體理論研究基本方法中，傳輸矩陣法具有理論簡單、計算量小、使用范圍廣、易于編程實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此在光子晶體理論研究中被廣泛采用，特別是對光子晶體初學(xué)者而言，傳輸矩陣法是較為理想的研究方法之一。因此，下面將以傳輸矩陣法為例詳細(xì)介紹其計算研究的基本原理，并構(gòu)建一維光子晶體模型進(jìn)行計算和分析，以加深讀者的理解和掌握。

2 傳輸矩陣法原理及實(shí)例分析

2.1 傳輸矩陣法原理

由不同介電常數(shù)的兩種薄膜介質(zhì)A、B周期性排列形成光子晶體結(jié)構(gòu)ABABABAB…，也可以表示成(AB)m，m就是基元介質(zhì)(AB)單元的重復(fù)排列周期數(shù)。當(dāng)光從左側(cè)入射到光子晶體中時，在每一層介質(zhì)中的行為均可用一個分矩陣來描述，這個分矩陣的推導(dǎo)如下［13－14，17］。

圖1 光在任一單層薄膜介質(zhì)中的傳播行為

如圖1所示，假設(shè)介質(zhì)內(nèi)不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流時，則在每層介質(zhì)邊界處，電磁場的分量都是連續(xù)的。界面Ⅰ處的入射、反射和透射電場和磁場分別記為Ei、Er、Et和 Hi、Hr、Ht，光以 θi1角入射到界面Ⅰ，θi2為界面Ⅱ的入射角。則利用界面Ⅰ和界面Ⅱ電場、磁場之間的關(guān)系，以及界面Ⅰ和界面Ⅱ上的透射場 Et1(x，y，z=0)、Ei2(x，y，z=b)，可得:

MB就是光在B層介質(zhì)中傳播行為的傳輸矩陣，在其他層介質(zhì)(包括缺陷層介質(zhì))中同樣適用。于是對于光在光子晶體結(jié)構(gòu)中傳播時，光的總行為為各分矩陣之積，表示為:

利用矩陣元A、B、C和D就可以計算光入射到光子晶體后的如下參量:

2.2 傳輸矩陣法計算模擬實(shí)例

研究的對象為A、B兩種介質(zhì)的色散曲線及其周期排列形成準(zhǔn)周期光子晶體模型結(jié)構(gòu)(AB)m，以及鏡像對稱模型結(jié)構(gòu)(AB)m(BA)m。A、B介質(zhì)計算的參數(shù)(折射率和厚度)分別為:nA=1.38，dA=281 nm，nB=2.35，dB=165 nm，m是基元介質(zhì)單元(AB)的排列周期數(shù)，在計算中一般取正整數(shù)。

首先根據(jù)式(7)和(8)，由科學(xué)計算軟件MATLAB編程，繪制出由A、B組成的晶體的色散曲線和由10個(AB)單元周期性排列形成的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)光子晶體(AB)10的能帶結(jié)構(gòu)，如圖2所示。圖中坐標(biāo)用歸一化頻率單位ω/ω0。

圖2 色散關(guān)系和能帶結(jié)構(gòu)圖

從圖2可見，A、B介質(zhì)組成的晶體的色散曲線存在著明顯的帶隙結(jié)構(gòu)，其中在奇數(shù)倍頻率處周圍出現(xiàn)禁帶，在偶數(shù)倍頻率處周圍則出現(xiàn)導(dǎo)帶，如圖3(a)。光子晶體(AB)10的能帶結(jié)構(gòu)與A、B晶體的色散曲線相對應(yīng)，也是在奇數(shù)倍頻率處周圍出現(xiàn)禁帶，而在偶數(shù)倍頻率處周圍則出現(xiàn)通帶，如圖3(b)所示。即光子晶體對入射到其中的光具有很明顯的選擇性通過功能［13－14］。模擬結(jié)果可見，用傳輸矩陣法很容易把入射到光子晶體中的光的行為描述出來，而且描述結(jié)果形象直觀。

上述模擬的是光子晶體無缺陷的情形，當(dāng)合理地在光子晶體的介質(zhì)之間插入缺陷時，可以增強(qiáng)光子晶體特別是缺陷位置處的自發(fā)輻射，增強(qiáng)的自發(fā)輻射將使光很容易通過光子晶體，并在禁帶中形成精細(xì)的缺陷模(透射峰)。對于含缺陷光子晶體的缺陷模，用傳輸矩陣計算模擬同樣也很方便。介質(zhì)A、B的參數(shù)不變，以A、B排列成鏡像對稱結(jié)構(gòu)光子晶體(AB)8(BA)8模型，利用傳輸矩陣法計算模擬出其透射能帶譜，如圖3所示。從光子晶體結(jié)構(gòu)(AB)7ABBA(BA)7模型可知，光子晶體鏡像對稱結(jié)構(gòu)中心由于缺少一層 A 介質(zhì)而形成空位缺陷［3，10，12］，即模型中帶邊框的，當(dāng)光入射到光子晶體中時，此處的自發(fā)輻射會增強(qiáng)，于是在禁帶中會出現(xiàn)透射峰即缺陷模。鑒于透射能帶譜是周期性重復(fù)結(jié)構(gòu)及文章的篇幅，圖3僅繪制出0.5～1.5ω/ω0頻率范圍的能帶譜。從圖3可見，禁帶中心出現(xiàn)了一條透射率為100%的缺陷模。所以傳輸矩陣法很方便且準(zhǔn)確地描述了光在光子晶體缺陷中的傳播行為，這對研究者和學(xué)習(xí)者均有積極的意義。

圖3 光子晶體(AB)8(BA)8的透射能帶譜

3 結(jié)論

通過對光子晶體常見研究方法的計算原理、運(yùn)算工作量及運(yùn)算精度等各方面的對比分析，得出如下結(jié)論:平面波展開法在計算理想光子晶體能帶結(jié)構(gòu)方面具有較大優(yōu)勢;傳輸矩陣法計算量小，能有效地用于晶體的能帶結(jié)構(gòu)、透射系數(shù)、反射系數(shù)和內(nèi)部電場的計算，同時還可應(yīng)用于金屬晶體的計算與特性分析;有限時域差分法是計算光子晶體能帶、帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性的有效方法，同時也適用于解決Anderson局域態(tài)、波導(dǎo)本征模的特性等問題;多重散射法能很好的解決某些特殊問題，尤其對高和低填充率兩種極端情況，更是具有很好的收斂速度。不同的研究方法具有各自的優(yōu)越性的同時，也存在自己的局限性，在學(xué)習(xí)和研究光子晶體的實(shí)際計算問題時，應(yīng)該根據(jù)不同的具體問題選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍苡行У亟鉀Q問題。

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