徐 靜

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

前言:在數(shù)學(xué)知識體系中，最精髓的部分便是數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)學(xué)思想方法，可以將知識有效地轉(zhuǎn)化為能力，并利用這種能力解決實(shí)際中遇到的問題。在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，常微分方程是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，對于其他專業(yè)課程來說，常微分方程起著基礎(chǔ)性的作用。鑒于常微分方程思想方法的實(shí)際意義，在現(xiàn)在的教學(xué)中廣泛的應(yīng)用了其思想方法，有效的提高了教學(xué)效果，并且提升了學(xué)生的綜合能力。

一、常微分方程概述

(一)常微分方程概念

在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，會接觸到各種各樣的方程，比如二次方程、線性方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、方程組等。在一個問題中包含已知數(shù)和未知數(shù)，方程就是研究這二者之間的關(guān)系，將包含一個未知數(shù)的方程式或者包含多個未知數(shù)的多個方程式列出來，將方程的解求出來。但是在實(shí)際的工作中，方程是千變?nèi)f化的，比如在重力的作用下，某個物體做自由下落運(yùn)動，求下落距離隨時間變化的規(guī)律，對于這個問題，在求解時要根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)得出形式上的函數(shù)解析式，利用已知數(shù)計(jì)算特定的未知數(shù)的方法是行不通的，在數(shù)學(xué)上，用函數(shù)來描述物質(zhì)運(yùn)動和變化規(guī)律之間的關(guān)系，因此，在解決這個類型的問題時，要求一個或者幾個未知的函數(shù)，而非固定的數(shù)值。在基本思想上，解決這類問題和解方程是相似的，但是在形式、求解的具體方法等方面，這二者之間還存在著很大的差異性。在數(shù)學(xué)上，凡是表示位置函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做常微分方程。

(二)常微分方程的發(fā)展歷程

17世紀(jì)，常微分方程產(chǎn)生，與之一同產(chǎn)生的還有微積分，而且常微分方程是在微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，人們生產(chǎn)生活實(shí)踐的過程中，產(chǎn)生了常微分方程。在18世紀(jì)前半葉，常微分方程的發(fā)展主要在“求解”上，數(shù)學(xué)伴隨著工業(yè)革命逐漸的繁榮起來，在這個過程中，常微分方程的發(fā)展也得到了很好的促進(jìn)，由原來的“求解”發(fā)展為探討解的存在即唯一性，在這個階段，逐漸的產(chǎn)生了奇點(diǎn)理論、邊值解、形式級數(shù)解、自守函數(shù)論，這使得常微分方程已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)的分支，所處的階段也由實(shí)域解析變?yōu)閺?fù)域解析。19世紀(jì)后半葉開始，常微分方程再次得到良好的發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)步，并且逐漸的建立了微分動力系統(tǒng)。從常微分方程誕生發(fā)展至現(xiàn)在，一直具有強(qiáng)大的生命力和活力，并且將其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展的更為豐富。

二、常微分方程的思想方法

(一)方程的思想方法

在函數(shù)出現(xiàn)之前，方程就已經(jīng)出現(xiàn)并且得到了良好的發(fā)展，而且在符號化和變元思想的發(fā)展方面起到了有效的推動作用，促使數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)展。在17世紀(jì)，笛卡爾提出了變量思想和坐標(biāo)思想方法，這促使方程跨向新的發(fā)展領(lǐng)域，并且具有極好的發(fā)展活力。人們在研究物體運(yùn)動的過程中創(chuàng)立了微積分，并形成了微分方程的思想。最初，微分方程出現(xiàn)的方式為數(shù)學(xué)模型，目的是解決問題，這也是方程思想的基本點(diǎn)。在微分方程思想中，將所求的問題歸為未知量，之后與已知量建立等量關(guān)系式，從而未知量的解求出。實(shí)際上，在整個常微分方程的過程中，都貫穿著方程思想。

(二)數(shù)學(xué)模型

在各個學(xué)科中，都有數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而其中最主要的應(yīng)用便于數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用。實(shí)際上，常微分方程就是模型的產(chǎn)物，而且這一特征在最初的實(shí)域解析理論階段表現(xiàn)的更為明顯，比如波動理論、二體問題、三體問題等問題的提出和研究。隨后，在發(fā)展的過程中，常微分方程與其他學(xué)科之間的聯(lián)系變得越來越多，其理論也逐漸的發(fā)展豐富起來。現(xiàn)今，在各行各業(yè)中都應(yīng)用了數(shù)學(xué)模型思想，而且隨著現(xiàn)代的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型也變得更為現(xiàn)代化。

(三)化歸與逼近思想方法

在日常生活中，當(dāng)人遇到問題需要解決時，都會不自覺地應(yīng)用化歸思想方法。在常微分方程數(shù)學(xué)思想方法中，化歸思想方法是非常重要的一種，比如討論方程求解及解的性質(zhì)問題，這是常微分方程中的基本問題，化歸思想方法從始至終都參與到了討論過程中。所謂化歸方法，是指利用聯(lián)系、變化的觀點(diǎn)，有意識的將問題化繁為簡，比如講一階線性方程組化為一階線性方程問題。同時，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，利用化歸思想方法還可以有效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

(四)抽象化、符號化思想

這種思想是數(shù)學(xué)一直具備的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)從最初的簡單逐步的深化到復(fù)雜，這個過程就是抽象化，而常微分發(fā)展的過程也是抽象化的過程中。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，這種思想表現(xiàn)的更為強(qiáng)烈，數(shù)學(xué)變得更加的形式化、符號化，從而使數(shù)學(xué)更為容易的抽象統(tǒng)一。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，符號化思想方法起了非常重要的推動作用，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

三、常微分方程思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用

(一)理論結(jié)合實(shí)際

教師在利用常微分方程思想方法教學(xué)時，應(yīng)注重理論聯(lián)系實(shí)際。在實(shí)際教學(xué)的過程中，將實(shí)際問題引入教學(xué)課堂中，讓學(xué)生充分的了解常微分方程的來源與應(yīng)用背景，從而引導(dǎo)學(xué)生充分的認(rèn)識到常微分方程思想方法的重要性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生實(shí)際應(yīng)用常微分思想方法解決實(shí)際問題的能力。比如在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)水池一邊放水一邊注水，多長時間能注滿水的問題，在解決這類型問題時，教師可以將數(shù)學(xué)模型思想方法引入到教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)模型思想方法，學(xué)生可以快速的掌握解決問題的方法，而且，當(dāng)學(xué)生再次遇到類型題時，可以輕松地利用數(shù)學(xué)建模解決問題。

(二)整合教學(xué)內(nèi)容

教師在進(jìn)行教學(xué)的過程中，不要只局限于教材內(nèi)容的教授，將課外的相關(guān)例題引入教學(xué)中，以便于拓寬學(xué)生的知識面，增加學(xué)生的知識儲備量，同時，還可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。另外，學(xué)生解決實(shí)際問題的能力也得到相應(yīng)的提高，在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力也會相應(yīng)的得到提升。

(三)利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，提高教學(xué)效果

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種現(xiàn)代化的教學(xué)手段被發(fā)明出來并應(yīng)用到教學(xué)過程中，不僅有效的提高了課堂教學(xué)的效率，而且教學(xué)質(zhì)量也得到了全面提升。常微分方程思想方法中，有些思想方法在解決問題時，解題過程比較繁瑣，如果只依靠教師的講解和板書無法讓學(xué)生直接的觀看解題過程，這時，如果教師在教學(xué)過程中利用多媒體輔助教學(xué)，就可以很好的演示出常微分方程思想解題的過程，而且，在演示的過程中，學(xué)生也可以很好的掌握和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，從而有效的提高自身的解決實(shí)際問題的能力。比如在應(yīng)用化歸思想方法解決常系數(shù)線性微分方程時，利用化歸思想方法，可以降低常系數(shù)現(xiàn)行微分方程的難度，并減少運(yùn)算的過程，有效的提高了運(yùn)算的速度，但是在演示化歸思想方法時，如果教師只是單純的教授，那么教學(xué)效果將會大打折扣，但是經(jīng)過多媒體的演示之后，學(xué)生就可以很好地掌握化歸的要領(lǐng)，進(jìn)而學(xué)會正確的解題技巧。

結(jié)論

常微分方程誕生于17世紀(jì)，在長時間的發(fā)展過程中，逐漸的發(fā)展完善，并蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。一般來說，常微分方程的思想方法是用來解決實(shí)際問題的，近年來逐漸的應(yīng)用到了教學(xué)中，在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師要充分的理解常微分方程的思想方法，并將其融入到教學(xué)過程中，通過制定科學(xué)、合理的教學(xué)方法，有效地提高學(xué)生解決實(shí)際的能力以及運(yùn)用常微分方程思想方法的能開，并切實(shí)的提高學(xué)生的成績及教學(xué)效果。

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