林記（阜陽師范學院　數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽　阜陽　236037）

(n+2)?角的平移

林記
（阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽236037）

摘要：以三角范疇的八面體公理為基礎(chǔ)，研究了三角范疇的(n+2)?角的平移性質(zhì)。當三角范疇T存在一個(n+2)?角時，利用數(shù)學歸納法證明了T的(n+2)?角平移后還是(n+2)?角。

關(guān)鍵詞：三角范疇；八面體公理；(n+2)?角；平移

0　引言及預備知識

GROTHENDIECK［1］和VERDIER［2］提出了導出范疇和三角范疇的概念并建立它們的理論體系，架設(shè)了一座代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁。HAPPEL［3］運用三角范疇的理論研究了代數(shù)閉域k上的有限維代數(shù)的表示理論，運用代數(shù)表示論的方法使得抽象的三角范疇有具體的模型和很好的實現(xiàn)。KELLY［4］于20世紀60年代提出了DG范疇的概念，借助于KELLER［5］定義的DG A-模的投射維數(shù)，林記給出了Db() A的A-整體維數(shù)的定義，并證明了Db() A的A-整體維數(shù)與代數(shù)A的整體維數(shù)相等［6］。

IYAMA等［7］提出了三角范疇中的(n+2) -角的概念，并證明了三角范疇的n-cluster傾斜子范疇存在AR(n+2) -角。事實上，可以用(n+2) -角定義KELLER意義下的DG A-模的投射維數(shù)，趙明［8］則利用(n+2) -角的概念給出了代數(shù)A的導出范疇Db(A)的n -擴張定義，并證明了代數(shù)A的導出范疇Db(A)的 n -擴張與代數(shù)A的n -擴張的一致性。在三角范疇中三角經(jīng)過左、右平移后仍是三角是三角范疇的一個重要性質(zhì)［3］。本文主要研究三角范疇的(n+2) -角的平移性質(zhì)。

文中約定T是三角范疇，［1］表示三角范疇T的平移函子；用fg表示態(tài)射f : A→B和g : B→C的合成。

定義1設(shè)T是三角范疇，n是正整數(shù)，如果在T中存在下面n個三角則稱復形

是T的一個(n+2) -角，也可用下面的交換圖表示該(n+2) -角

1　主要結(jié)果及證明

證明對n作歸納。當n=1時，命題對三角顯然成立。

假設(shè)命題對于n-1時成立，即有如下的(n+1) -角

其中δ′=d1d2[1]…dn-1[n-2]。由三角范疇的八面體公理得T中的交換圖

從而得到如下的(n+2) -角

其中δ=d0d1[1]d2[2]…dn-1[n-1]。

證明對n作歸納。當n=1時，結(jié)論對三角顯然成立。

當n=2時，由命題1和八面體公理得到下面交換圖

假設(shè)結(jié)論對(n+1) -角成立，即存在下面的(n+1) -角

其中Ci到Ci-1的態(tài)射是aibi(2≤i≤n-2)，α=d1d2[1]…dn-1[n-2]，τ=(-1)n-1bn[n-1]。

根據(jù)八面體公理，我們有如下交換圖

可以得到(n+2) -角

其中Ci到Ci-1的態(tài)射是aibi(1≤i≤n-2)，δ=d0d1[1]d2[2]…dn-1[n-1]，ρ=(-1)nbn[n]。

定理1設(shè)T是三角范疇，n是正整數(shù)，給定T的(n+2) -角

那么有T的復形

其中δ=d0d1[1]d2[2]…dn-1[n-1]，滿足任意相鄰的長度為n+2的序列都是T的(n+2) -角。

參考文獻(References)

［1］GROTHENDIECK A.Groups des calsses des catégories abeliennes et train gulées［C］//éxposé VIII Springer Lecture Notes 589 Heidelberg：Spinger-Verlag，1977：351-371.

［2］VERDIER J L. Catégories derives［M］. Berlin：Spinger-Verlag，1977：262-331.

［3］HAPPEL D. Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras［M］. Cambridge：Cambridge Uni?versity Press，1988：1-43.

［4］KELLY G M. Chain maps inducing zero homology maps［J］. Proc Cambridge Philos Soc，1965，61：847-854.

［5］KELLER B. Deriving DG categories［J］. Ann Sci école Norm Sup，1994：27.

［6］林記. Db() A的A -整體維數(shù)［J］.四川大學學報：自然科學版，2011，48（6）：1266-1268.

［7］IYAMA O，YOUSHINO Y. Mutation in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay modules［J］. Inventiones Mathemati?cae，2008，172（1）：117-168.

［8］趙明.導出范疇Db() A的n -擴張［D］.成都：四川大學，2010.

（責任編輯：胡燕梅）

Translation of (n+2)- Angle

LIN Ji
（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Teachers College，F(xiàn)uyang 236037，Anhui，China）

Abstract：The translation of (n+2)?angle in triangulated category is studied in this paper based on the octahedral axiom of triangulated category. Let T be a triangulated with an (n+2)?angle，proved that af?ter translation it is also an (n+2)?angle .

Keywords：triangulated category；octahedral axiom；(n+2)?angle；translation

作者簡介：林記（1981—），女，講師，碩士，研究方向：代數(shù)表示論。

基金項目：安徽省教研項目（2013JYXM139）；阜陽師范學院自然科學研究項目（2013FSKJ07）；阜陽師范學院優(yōu)秀教研室建設(shè)項目（2013JCJS03）；阜陽師范學院精品開放課程（資源共享課）（2012KFKC10）

收稿日期：2014-07-20

DOI：10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.01.005

中圖分類號：O154.3

文獻標志碼：A

文章編號：1673-0143（2015）01-0027-04