上官璇峰，李毅搏，孫澤亞

(河南理工大學(xué)，焦作454000)

0 引 言

軸向磁通無鐵心永磁同步發(fā)電機(jī)擁有比傳統(tǒng)電機(jī)更加高效的優(yōu)勢(shì)［1］。另外，高度的緊湊性以及盤式結(jié)構(gòu)，使得這種電機(jī)非常適合直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)。通常來說，發(fā)電機(jī)提供給負(fù)載的電壓波形應(yīng)該接近正弦波形［2］。永磁電機(jī)中，氣隙磁場(chǎng)諧波含量較高，如果磁路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理，諧波含量會(huì)更高，使得電動(dòng)勢(shì)中諧波含量很大，從而導(dǎo)致定子繞組感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形發(fā)生嚴(yán)重畸變，因此對(duì)發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)波形的優(yōu)化就顯得很有必要［3］。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)新型算法在電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用都做出相當(dāng)多的研究。Mahmoudi A 等人通過遺傳算法，以最高功率密度為目標(biāo)，優(yōu)化了電機(jī)的尺寸［4］。Wang H T 等學(xué)者將Taguchi 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法應(yīng)用在無刷直流電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以達(dá)到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩、優(yōu)化扭矩、增強(qiáng)電機(jī)穩(wěn)定性的目標(biāo)［5］。李立毅等以永磁體、環(huán)形繞組的尺寸為變量，以推力體積比、電機(jī)常數(shù)、電機(jī)波動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，利用多種群遺傳算法進(jìn)行無鐵心永磁直線同步電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［6］。Wang R J，Kamper M J 等學(xué)者在僅考慮磁密基波的情況下，對(duì)定子疊繞組和定子集中式非疊繞組的繞組電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行了詳細(xì)解析計(jì)算，最后得出結(jié)論，對(duì)于多極對(duì)數(shù)電機(jī)，定子集中式非疊繞組的優(yōu)勢(shì)更加明顯［7］。Jabbar M A 等學(xué)者將曲面響應(yīng)的方法應(yīng)用在永磁同步電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，確定了與電動(dòng)機(jī)性能相關(guān)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃驮O(shè)計(jì)參數(shù)［8］。

本文采用響應(yīng)曲面的方法，在永磁體體積及線圈邊截面積一定的情況下，對(duì)永磁體的極弧系數(shù)以及線圈邊寬度進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到電動(dòng)勢(shì)基波幅值最大，諧波含量最小的優(yōu)化目標(biāo)。

1 基波與諧波情況下的電動(dòng)勢(shì)計(jì)算

軸向磁通無鐵心永磁同步發(fā)電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱AFPMSG)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示，顯然這種電機(jī)具有很明顯的扁平結(jié)構(gòu)，適用于一些特殊場(chǎng)合。

圖1 定子無鐵心AFPMSG 的結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 所示為定子無鐵心AFPMSG 的轉(zhuǎn)子部分結(jié)構(gòu)示意圖。永磁體充磁方向?yàn)檩S向，同一轉(zhuǎn)子盤上永磁體采用N -S 極交替布置，不同轉(zhuǎn)子盤上相對(duì)的兩塊永磁體為同一充磁方向。三維磁場(chǎng)解析計(jì)算的坐標(biāo)系也在圖2 中給出了標(biāo)示。

圖2 定子無鐵心AFPMSG 的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 基波磁場(chǎng)下線圈電動(dòng)勢(shì)計(jì)算

每個(gè)線圈中感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)ec通過傅里葉級(jí)數(shù)展開可表示［8］:

式中:m 表示定子繞組相數(shù);θe=ωet，ωe為電機(jī)電角速度。

文獻(xiàn)［9］指出，線圈電動(dòng)勢(shì)各次諧波的幅值Ecm:

式中:ωe表示電機(jī)轉(zhuǎn)子的電角速度;Nc表示線圈匝數(shù);h 表示繞組軸向厚度;Kwcm(r)表示半徑r 處的m次諧波的繞組系數(shù)。Bz(r，0，z)表示三維坐標(biāo)系下某一點(diǎn)的z 軸方向的磁密大小;式(2)中其他參數(shù)在圖3 中給出了明確標(biāo)示。通過繞組函數(shù)法可得到定子集中式非疊繞組的繞組系數(shù)的計(jì)算公式［10］:

圖3 非重疊集中繞組的繞組函數(shù)

式中:θm表示繞組單個(gè)線圈所跨的電角度;θr表示半徑r 處有效導(dǎo)體圓周方向所占的電角度。

1.2 諧波磁場(chǎng)下的線圈電動(dòng)勢(shì)

通常情況下，取磁場(chǎng)的基波即磁密曲線為標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線來計(jì)算電機(jī)電動(dòng)勢(shì)。1.1 節(jié)中只考慮基波磁場(chǎng)下的線圈電動(dòng)勢(shì)及繞組系數(shù)。而實(shí)際情況下，軸向磁場(chǎng)永磁同步發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)中，圓周方向的磁密波形是含有大量諧波的。但是對(duì)于無鐵心電機(jī)，空氣磁阻較大，漏磁增多，磁密曲線會(huì)更加趨近正弦曲線。將磁場(chǎng)的諧波分量考慮到電動(dòng)勢(shì)計(jì)算中，可以更好地優(yōu)化發(fā)電機(jī)的整體輸出性能。

假定磁密分布為非標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線，則用傅里葉級(jí)數(shù)表示氣隙磁密:

將磁密的q 次諧波考慮進(jìn)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算中:

不同半徑處Kwcmq不同，設(shè)定平均半徑處有效導(dǎo)體所占機(jī)械角度為θre，將線圈邊寬度用θre表示。為方便起見，取平均半徑處的Kwcmq=Kwcmq(θre)，不同軸向位置處Bzq的幅值不等，取平均位置處的幅值Bzqe，線圈電動(dòng)勢(shì)幅值:

q 次磁密諧波對(duì)應(yīng)的線圈電動(dòng)勢(shì):

式中:θe=ωet ，ωe為電機(jī)電角速度?？紤]磁密諧波后，線圈電動(dòng)勢(shì)為各次磁密對(duì)應(yīng)的線圈電動(dòng)勢(shì)的疊加:

磁密諧波以及線圈諧波共同影響了線圈電動(dòng)勢(shì)波形，q 次諧波磁密與m 次繞組系數(shù)配合下線圈電動(dòng)勢(shì)的諧波繞組系數(shù):

圖4 諧波繞組系數(shù)隨著pθre的變化趨勢(shì)

當(dāng)q=1 時(shí)，m 取1，3，5，7，9，11，θm取5τ /6 電角度(即150°電角度)，為了表示方便，p 對(duì)極的電機(jī)中，以電角度pθre為橫坐標(biāo)軸，并且0 ＜pθre＜θm/2。對(duì)應(yīng)的諧波繞組系數(shù)隨pθre的變化趨勢(shì)如圖2 所示。由圖4 可以看出，基波磁密條件下諧波繞組系數(shù)Kwcmq隨著pθre的變化規(guī)律已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜。若q ＞1，諧波繞組系數(shù)變化趨勢(shì)會(huì)更加復(fù)雜。基波繞組系數(shù)隨著線圈邊寬度的增加而降低，為使基波繞組系數(shù)較大，同時(shí)諧波繞組系數(shù)較小，需要選擇合適的θre。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了削弱繞組電動(dòng)勢(shì)諧波含量，將繞組電動(dòng)勢(shì)諧波含量作為響應(yīng)，極弧系數(shù)、線圈邊長度作為自變量?？紤]到電機(jī)運(yùn)行時(shí)存在著許多非線性因素，使用解析法很難求出響應(yīng)與變量之間的關(guān)系，本文使用曲面響應(yīng)法來求出響應(yīng)與自變量之間的函數(shù)關(guān)系式。在響應(yīng)曲面建模中，通常假定響應(yīng)與變量存在如下關(guān)系:

通常應(yīng)用上式的一階或二階泰勒展開式作為相對(duì)較小區(qū)域內(nèi)對(duì)真正函數(shù)的逼近形式，本文適當(dāng)簡(jiǎn)化，使用典型的兩變量二次多項(xiàng)式建立近似數(shù)學(xué)模型:

式中:y 為表征電機(jī)電動(dòng)勢(shì)基波幅值或THD 的響應(yīng)函數(shù);β 為待定系數(shù);ε 為擬合誤差;x1，x2為分別為永磁體極弧系數(shù)αp和線圈邊寬度θre對(duì)應(yīng)編碼值。

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

永磁電機(jī)的永磁材料價(jià)格比較貴，因此單位輸出功率所需永磁體體積通常是衡量電機(jī)設(shè)計(jì)優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一［12］。功率一定的電機(jī)，永磁體的用量是基本恒定的。因此，保持永磁體體積不變，通過改善永磁體極弧系數(shù)和永磁體形狀來改善氣隙磁密波形，進(jìn)而優(yōu)化發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)波形。對(duì)于軸向磁通永磁電機(jī)，永磁體內(nèi)外徑與功率大小有直接關(guān)系，功率一定，永磁體內(nèi)外徑基本確定。因此，繞組匝數(shù)基本確定，保持繞組匝數(shù)不變，即線圈邊截面積大小不變，由式(8)和式(9)可知，知改變線圈邊寬度，可以削弱電動(dòng)勢(shì)的諧波含量。

本文采用雙邊永磁轉(zhuǎn)子(N-S)、中間定子的結(jié)構(gòu)，單邊轉(zhuǎn)子20 極，中間定子24 槽的配合方式［13］。有限元模型參數(shù)如表1 所示。

永磁體體積保持恒定，以極弧系數(shù)為0.6，永磁體厚度hm=8 mm 時(shí)的永磁體體積為該電機(jī)所需永磁體體積，永磁體極弧系數(shù)αp=0.6，0.75，0.9 對(duì)應(yīng)永磁體厚度hm=8 mm，6.4 mm，5.3 mm。繞組匝數(shù)100 匝，F(xiàn)EM 模型中，線圈邊截面積設(shè)定為120 mm2，線圈邊寬度θre=2.3°，3.8°，5.3°對(duì)應(yīng)線圈邊軸向厚度hw=17.6 mm，10.6 mm，7.6 mm。對(duì)模型的估計(jì)采用最小二乘法，考慮到變量量綱等因素，運(yùn)算時(shí)先將自變量都做一個(gè)線性變換，使其因子區(qū)域都轉(zhuǎn)化為中心點(diǎn)在原點(diǎn)的立方體［14］:

表1 電機(jī)有限元模型參數(shù)

式中:αpmax，αpmin和θremax，θremin分別為自變量αp和θre范圍的上下限。編碼完成后進(jìn)行試驗(yàn)的響應(yīng)面設(shè)計(jì)，本文采用中心組合設(shè)計(jì)，編碼后的自變量取值水平為-1，0，+1，如圖5 四個(gè)頂點(diǎn)(+1，+1)，(+1，-1)，(-1，-1)，(-1，+1);四個(gè)中點(diǎn)(0，+1)，(-1，0)，(0，-1)，(+1，0);一個(gè)中心點(diǎn)(0，0)。響應(yīng)設(shè)計(jì)變量值與編碼轉(zhuǎn)換值如表2 所示。

表2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案

圖5 中心組合設(shè)計(jì)示意圖

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.2.1 軸向氣隙磁密波形

氣隙磁密的波形與極弧系數(shù)變化有著直接的聯(lián)系，圖6 為永磁體極弧系數(shù)為0.6，0.75，0.9，線圈邊寬度θre=3.8°時(shí)的氣隙磁密波形。從圖6 中可以看出，隨著極弧系數(shù)的增大，兩極之間的磁場(chǎng)畸變程度減小。在等永磁體體積情況下，隨著極弧系數(shù)增大，每極磁通面積增大，永磁體厚度減小。因此，軸向磁密幅值減小，而每極磁通量變化不大。

永磁體極弧系數(shù)為0.75 時(shí)，不同線圈邊寬度情況下的，氣隙磁密波形如圖7 所示。對(duì)于無鐵心繞組，兩外轉(zhuǎn)子鐵軛之間部分磁導(dǎo)率是基本均勻的，因此隨著線圈邊寬度的增加(線圈邊的軸向厚度減小，同時(shí)兩外轉(zhuǎn)子之間區(qū)域軸向厚度減小，漏磁減少)磁密幅值增大。

圖6 線圈邊寬度θre =3.8°時(shí)平均半徑處氣隙磁密波形

圖7 永磁體αp =0.75 時(shí)平均半徑處圓周方向氣隙磁密波形

圖8 不同軸向位置平均半徑處圓周方向磁密波形

圖8 表明，無鐵心電機(jī)漏磁較大，不同軸向位置磁密諧波含量不同，線圈軸向中間位置磁密波形更加趨近正弦，因此，繞組軸向長度的大小對(duì)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)的諧波含量也有較大的影響。

2.2.2 線圈電動(dòng)勢(shì)波形

電動(dòng)勢(shì)(EMF)波形與磁密波形有著直接聯(lián)系，圖9 表明，繞組軸向厚度相同、永磁體體積相等的情況下，極弧系數(shù)雖然不同，但是通過線圈的磁通量大致相同，因此，繞組的電動(dòng)勢(shì)波形相差不大。

圖10 表明，同一極弧系數(shù)下，線圈邊軸向厚度不同的情況下，由于雙邊永磁轉(zhuǎn)子之間空氣域的軸向距離隨著繞組軸向厚度的增大而增大，漏磁增多，平均氣隙磁密減小。因此，EMF 的幅值隨著繞組軸向厚度的減小而增大。θre=3.8°，5.3°時(shí)，線圈邊軸向厚度相差較小，因此θre= 3.8°，5.3°的EMF波形幅值相差不大。

圖9 θre =3.8°時(shí)，不同αp對(duì)應(yīng)的EMF 波形

圖10 永磁體αp =0.75 時(shí)，不同θre對(duì)應(yīng)的EMF 波形

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)2.2 中實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。將電動(dòng)勢(shì)波形進(jìn)行傅里葉分解，獲得每個(gè)方案電動(dòng)勢(shì)的基波幅值以及總諧波失真度(THD)值如表3 所示。

表3 電動(dòng)勢(shì)基波幅值與THD 值

圖11 電動(dòng)勢(shì)基波幅值隨極弧系數(shù)的變化趨勢(shì)

圖12 電動(dòng)勢(shì)基波幅值隨θre的變化趨勢(shì)

圖11、圖12 中，極弧系數(shù)為0.75 時(shí)，由于磁密諧波含量較少，電機(jī)電動(dòng)勢(shì)基波幅值較αp=0.6，0.9 時(shí)都大。另外，隨著θre增大，繞組軸向厚度減小，漏磁減小，使得電動(dòng)勢(shì)基波幅值增大?？傻贸鼋Y(jié)論，氣隙磁密波形和線圈邊寬度θre對(duì)發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)基波幅值影響較大，磁密諧波含量越小，θre越大，電動(dòng)勢(shì)基波幅值越大。

圖14 電動(dòng)勢(shì)THD 值隨線圈邊寬度變化趨勢(shì)

圖13 表示電動(dòng)勢(shì)THD 值隨著極弧系數(shù)增加的變化趨勢(shì)。隨著θre增大，繞組軸向厚度減小，不同軸向位置與繞組交鏈的磁密諧波含量增大，電動(dòng)勢(shì)THD 增大。同時(shí)αp=0.75 左右時(shí)，諧波含量最低。圖14 中，αp=0.75 時(shí)，電動(dòng)勢(shì)THD 最小，隨著線圈邊寬度的增加，電動(dòng)勢(shì)的THD 值迅速增加。因?yàn)棣羛=0.75 時(shí)磁密諧波含量較少，另外θre=3.8°時(shí)，繞組系數(shù)的基波含量相對(duì)于諧波含量較大。因此，αp=0.75，θre=3.8° 時(shí)，電動(dòng)勢(shì)THD 值最小。

2.4 變量優(yōu)化結(jié)果

依據(jù)表3 的9 個(gè)實(shí)驗(yàn)方案對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)，可在Minitab 中利用響應(yīng)曲面的方法，尋找最優(yōu)的極弧系數(shù)與繞組線圈邊寬度的最佳配合。

應(yīng)用最小二乘法估計(jì)得關(guān)于基波幅值的數(shù)學(xué)模型:

其中，x1、x2分別表示變量αp和θre。轉(zhuǎn)化為編碼前:

關(guān)于THD 的數(shù)學(xué)模型:

轉(zhuǎn)化為編碼前:

最優(yōu)化永磁體極弧系數(shù)為0.706，θre=3.8°，電動(dòng)勢(shì)波形波形基波幅值可以獲得最大基波幅值45.926 2 V、THD 最小值0.0202。建立相應(yīng)有限元模型，計(jì)算得出的EMF 基波幅值為45.899 V，THD 值為0.022 31。有限元結(jié)果很好地驗(yàn)證了對(duì)于軸向磁通永磁同步電機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化方面應(yīng)用響應(yīng)曲面方法的可靠性和優(yōu)越性。

3 結(jié) 語

本文分析了影響發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)諧波含量大小的因素，推導(dǎo)出了基于諧波磁密的繞組系數(shù)，通過響應(yīng)曲面的方法，以發(fā)電機(jī)的輸出電動(dòng)勢(shì)基波幅值最大、諧波含量最小為目標(biāo)，優(yōu)化了發(fā)電機(jī)的極弧系數(shù)與線圈邊寬度。最后，通過有限元的計(jì)算驗(yàn)證了響應(yīng)曲面方法在軸向磁通無鐵心永磁同步發(fā)電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的可靠性。適當(dāng)?shù)臉O弧系數(shù)能夠大大降低電機(jī)氣隙磁密的諧波含量，適當(dāng)?shù)木€圈邊寬度可以在增加電動(dòng)勢(shì)基波幅值的同時(shí)，降低電動(dòng)勢(shì)的諧波含量。因此，對(duì)于軸向磁通永磁電機(jī)設(shè)計(jì)過程中，需選擇合理的極弧系數(shù)和線圈邊寬度。

［1］ WANG R J，KAMPER M J，Van der Westhuizen K，et al.Optimal design of a coreless stator axial flux permanent - magnet generator［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，41(1):55 -64.

［2］ RISNIDAR C，DAUT I，SYAFRUDDIN H. Relationships between Harmonic Characteristics and Different Types of Voltage Source［J］.Telkomnika，2012，10(2):219 -228.

［3］ 劉明基，韓志，裴亞偉，等.基于田口法的永磁發(fā)電機(jī)氣隙磁通密度優(yōu)化［J］.微特電機(jī)，2014，42(3):29 -35.

［4］ MAHMOUDI A，KAHOURZADE S，PING H W，et al.Design optimization and analysis of AFPM synchronous motor considering electrical and thermal parameters［C］//2013 1st International Future Energy Electronics Conference (IFEEC).IEEE，2013:562 -567.

［5］ WANG H T，LIU Z J，CHEN S X.Application of Taguchi method to robust design of BLDC motor performance［J］. IEEE Transactions on Magnetics，1999，35(5):3700 -3702.

［6］ 李立毅，唐勇斌，劉家曦，等.多種群遺傳算法在無鐵心永磁直線同步電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(15):69 -77.

［7］ KAMPER M J，WANG Rong -Jieg，ROSSOUW F G. Analysis and performance of axial flux permanent magnet machine with air -cored nonoverlapping concentrated stator windings［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2008，44(5):1495 -1504.

［8］ JABBAR M A，LIU Qinghua;JOLLY L. Application of response surface methodology (RSM)in design optimization of permanent magnet synchronous motors［C］//2004 IEEE Region 10 Conference，2004，3:500 - 503.

［9］ 董劍寧，黃允凱，金龍，等.定子無鐵心軸向磁場(chǎng)永磁電機(jī)的解析設(shè)計(jì)［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，28(3):43 -49.

［10］ LIPO T A. Analysis of synchronous machines［M］. Boca Raton，F(xiàn)lorida，US:CRC Press，2012.

［11］ BRADLEY N. The response surface methodology［D］.US:Indiana University South Bend，2007:36 -46.

［12］ 唐任遠(yuǎn)，現(xiàn)代永磁電機(jī)理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1997:57 -60.

［13］ 陳益廣，潘玉玲，賀鑫. 永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)槽集中繞組磁動(dòng)勢(shì)［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2010，25(10):30 -36.

［14］ 虞毅，劉劍峰，鮑軍芳. 永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩的最優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.航空精密制造技術(shù)，2013，(4):30 -33.