王棪 伏瑞敏 廖志波

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

隨著對高分辨率遙感數(shù)據(jù)需求的迫切性，增大光學(xué)遙感器口徑是滿足需求的有效手段。而口徑增大帶來了一系列設(shè)計、裝調(diào)與檢測問題，其中大口徑光學(xué)系統(tǒng)檢測是檢驗裝調(diào)精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同時也是指導(dǎo)裝調(diào)的重要手段，在遙感器光學(xué)系統(tǒng)研制過程中具有重要作用。

在大口徑光學(xué)系統(tǒng)檢測過程中，一般利用干涉儀和大口徑標(biāo)準(zhǔn)平面鏡組成自準(zhǔn)直光路，檢測鏡頭波像差。大口徑標(biāo)準(zhǔn)平面鏡作為參考標(biāo)準(zhǔn)鏡有兩方面要求：1）口徑要大于待測鏡頭入瞳直徑，以實現(xiàn)全口徑全視場測試[1-3]；2）對表面精度有極高的要求[4-5]。隨著相機(jī)口徑的逐漸增大，系統(tǒng)測試所使用的標(biāo)準(zhǔn)平面鏡的口徑也隨之增大，大口徑平面鏡制造的難度和成本也隨之呈指數(shù)級提高。為了保障大口徑、超大口徑相機(jī)裝調(diào)的順利實施，在傳統(tǒng)的全口徑檢測手段之外，發(fā)展低成本、高效的替代檢測方案成為必需的選擇。子孔徑拼接和稀疏孔徑反演是解決大口徑光學(xué)系統(tǒng)檢測的兩種主要方案。

子孔徑拼接雖然只需要一塊小口徑平面鏡[6-8]，但是該技術(shù)需要復(fù)雜的運動機(jī)構(gòu)，同時測試周期長，效率低，易受到環(huán)境的影響。因此，基于測試復(fù)雜程度、成本以及兼容性考慮，采用稀疏孔徑反演的光學(xué)系統(tǒng)檢測技術(shù)成為較優(yōu)選擇。例如，預(yù)計于2018年發(fā)射的詹姆斯·韋伯望遠(yuǎn)鏡，口徑達(dá)6.5m，通過對多種檢測方案的評估，研究團(tuán)隊最終采用稀疏孔徑反演檢測技術(shù)[9-14]；通過大量仿真分析和實驗研究，使得該技術(shù)的可行性在相機(jī)上得到驗證。國內(nèi)尚無該項技術(shù)應(yīng)用于大口徑光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)檢測的研究，僅有針對大口徑元件面形檢測以及大口徑光學(xué)系統(tǒng) MTF測試的一些理論研究[15-16]。當(dāng)前，我國大口徑光學(xué)遙感器的需求方興未艾，大口徑光學(xué)系統(tǒng)波前檢測技術(shù)的瓶頸亟待突破，因此開展稀疏孔徑檢測技術(shù)研究極具工程價值。本文從稀疏孔徑檢測光學(xué)系統(tǒng)波前的原理入手，針對波前重構(gòu)算法建立數(shù)學(xué)模型，并編制了相關(guān)算法，最后利用仿真手段進(jìn)行了分析和驗證，通過比對稀疏孔徑和全口徑兩類檢測模型測得的Zernike多項式系數(shù)和波像差RMS值，證明了算法的可行性。

1 波前重構(gòu)算法

1.1 稀疏孔徑檢測

稀疏孔徑反演是一種基于自準(zhǔn)直檢測的技術(shù)，通過搭建由干涉儀、待測光學(xué)系統(tǒng)、標(biāo)準(zhǔn)反射鏡構(gòu)成的光路檢測光學(xué)系統(tǒng)的波像差，波像差由Zernike多項式表征[17-18]。根據(jù)Zernike多項式系數(shù)計算光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)量以指導(dǎo)裝調(diào)，其獨到之處在于采用若干塊小口徑平面反射鏡替代一塊大口徑平面反射鏡，按照一定的結(jié)構(gòu)進(jìn)行排列、安裝組成稀疏孔徑陣列。采用稀疏孔徑陣列檢測反射式光學(xué)系統(tǒng)的波像差（如圖1），干涉儀發(fā)出球面波通過光學(xué)系統(tǒng)次鏡、主鏡變?yōu)槠矫娌?，?jīng)稀疏孔徑陣列反射后回到干涉儀并與參考光形成干涉。采用該技術(shù)的優(yōu)點是：1）與子孔徑拼接相對比，無需多次調(diào)整、檢測，只需在檢測前安裝調(diào)整各反射鏡進(jìn)行一次檢測，檢測效率得到明顯提升，且可降低時變因素的干擾；2）避免了制造大口徑標(biāo)準(zhǔn)鏡所帶來的高昂成本、技術(shù)風(fēng)險。由于稀疏孔徑陣列并未覆蓋全口徑，因此采集的信息不完整，需要對檢測結(jié)果進(jìn)行處理以重構(gòu)整個全口徑的波像差。因此，實現(xiàn)波前（或波像差）重構(gòu)是稀疏孔徑反演技術(shù)的關(guān)鍵。本文提出的算法，解決的正是如何由若干組子孔徑的Zernike系數(shù)計算全口徑Zernike系數(shù)的問題。

圖1 稀疏孔徑原理Fig.1 The schematic of sparse aperture

1.2 算法數(shù)學(xué)模型

采用常規(guī)手段和稀疏孔徑反演檢測光學(xué)系統(tǒng)波像差，實質(zhì)上都是一個利用采集到的離散點光程差擬合光學(xué)系統(tǒng)波像差函數(shù)的過程，但兩種手段在數(shù)據(jù)采集和處理方法上存在不同。采用常規(guī)的全口徑標(biāo)準(zhǔn)鏡檢測，是針對全口徑進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，得到分布于整個光瞳內(nèi)若干點的光程差，同時，在以全口徑中心O為原點的坐標(biāo)系下（如圖2），任一采樣點Q對應(yīng)坐標(biāo)（x，y），根據(jù)若干采樣點的坐標(biāo)值和光程差值通過一定算法擬合得到 Zernike多項式表征的波像差函數(shù)，即直接得到光學(xué)系統(tǒng)的波像差；采用稀疏孔徑檢測，由于標(biāo)準(zhǔn)鏡不再是一塊覆蓋全口徑的標(biāo)準(zhǔn)鏡，而是若干小口徑的反射鏡，因此只在各反射鏡覆蓋到的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和處理，對于任意一個反射鏡對應(yīng)的子孔徑（如圖3），采集該子孔徑區(qū)域內(nèi)的若干點的光程差，同時，在以子孔徑區(qū)域中心O'為原點的坐標(biāo)系下，任一采樣點Q'對應(yīng)坐標(biāo)（x'，y'）。根據(jù)若干采樣點的坐標(biāo)和光程差值擬合得到該子孔徑的波像差函數(shù)。因此，常規(guī)的全口徑檢測得到的是全口徑的波像差，而對于由多塊反射鏡組成的稀疏孔徑陣列，對多個子孔徑進(jìn)行采樣，檢測得到的是各個反射鏡對應(yīng)的若干子孔徑的波像差函數(shù)，而不是整個光學(xué)系統(tǒng)的波像差。因此，需要將各子孔徑波像差函數(shù)統(tǒng)一至同一坐標(biāo)系，把多組子孔徑Zernike系數(shù)轉(zhuǎn)化為一組全口徑Zernike系數(shù)，從而得到由Zernike多項式表征的波像差函數(shù)，實現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)波像差重構(gòu)。

圖2 全口徑坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of full aperture

圖3 子孔徑坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of sub-aperture

本文算法采用Fringe Zernike多項式對波像差進(jìn)行描述，該多項式是標(biāo)準(zhǔn)形式的子集，其每一項有明確物理含義對應(yīng)不同的像差，包括初級像差和高級像差。由于裝調(diào)只考慮初級像差，因此取初級像差的對應(yīng)項（見表1）構(gòu)成多項式描述波像差，則光學(xué)系統(tǒng)的波像差函數(shù)可表示為

式中 (ρ,)θ表示為采樣點極坐標(biāo)；W(ρ,)θ表示波像差；n為多項式項數(shù)；cn表示Zernike多項式第n項系數(shù)；Zn表示Zernike多項式（詳見表1）。子孔徑與全口徑間的Zernike系數(shù)轉(zhuǎn)換即在式（1）的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

首先考慮單個子孔徑和全口徑間的Zernike系數(shù)的關(guān)系，在以全口徑中心O為原點的全口徑坐標(biāo)系下（如圖2），全口徑波像差為

表1 Zernike系數(shù)對應(yīng)的初級像差Tab.1 Primary aberration corresponding to Zernike coefficients

在以子孔徑中心O'為原點的子孔徑坐標(biāo)系（如圖3）下，子孔徑波像差為

式中 (ρ′,θ′)為采樣點在子孔徑坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)；W ′(ρ ′,θ′)表示子孔徑波像差；為子孔徑Zernike多項式系數(shù)；為子孔徑Zernike多項式。對于子孔徑內(nèi)的任意一點Q，其光程差在兩個坐標(biāo)系下對應(yīng)的值是恒定的，因此有

結(jié)合波像差和Zernike多項式理論推導(dǎo)，可得矩陣k，使得式（5）成立，

結(jié)合式（4）~（5），全口徑Zernike系數(shù)與單個子孔徑Zernike系數(shù)間存在關(guān)系：

式中 矩陣k為坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換因子。

稀疏孔徑陣列由若干反射鏡構(gòu)成，對應(yīng)多個子孔徑，因此在式（6）的基礎(chǔ)上可構(gòu)建多個子孔徑與全口徑間的Zernike系數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。假設(shè)稀疏孔徑含m塊反射鏡，建立方程：

每個子孔徑對應(yīng)一個轉(zhuǎn)換因子 ki（i∈[1，m]）以及一組Zernike系數(shù)矩陣Ci（i∈[1，m]），Ci包含對應(yīng)子孔徑的9項Zernike系數(shù)，由若干反射鏡對應(yīng)的ki、Ci組成矩陣K和C。式（7）中Zernike系數(shù)矩陣c，包含9個未知數(shù)，其求解流程為：1）檢測若干塊反射鏡對應(yīng)的子孔徑波像差，得到包含若干組Zernike系數(shù)的矩陣C；2）計算各反射鏡對應(yīng)的轉(zhuǎn)換因子ki，組成包含若干組轉(zhuǎn)換因子的變換矩陣K；3）建立方程，求解全口徑Zernike系數(shù)矩陣c。

上述算法的實現(xiàn)是建立在稀疏孔徑的誤差（包括平移和傾斜）得到有效控制的基礎(chǔ)之上，因此，實際應(yīng)用中，需首先將各反射鏡的平移和傾斜控制在可接受范圍內(nèi)，減小誤差對計算精度的影響。控制誤差方法主要包括：以大口徑參考球面鏡或者拋物鏡為基準(zhǔn)（即參考鏡保持不動），對稀疏孔徑陣列的各反射鏡進(jìn)行調(diào)整，使單個子孔徑的平移、傾斜分量控制在可接受范圍內(nèi)。而對于離焦，由于檢測光學(xué)系統(tǒng)的是平面鏡陣列，其相互間的離焦很小，可以忽略不計。

本算法是一種針對大口徑光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的復(fù)原全口徑波像差方法，當(dāng)待測系統(tǒng)口徑達(dá)到m級以上，采用稀疏孔徑技術(shù)進(jìn)行檢測，有望在規(guī)避諸多技術(shù)風(fēng)險的同時高效地解決問題。

2 仿真及分析

2.1 仿真模型

本文采用的稀疏孔徑檢測模型按照反射鏡數(shù)量分為3ACF（auto-collimating flat）結(jié)構(gòu)和4ACF結(jié)構(gòu)。根據(jù)轉(zhuǎn)換因子k和光學(xué)系統(tǒng)的遮攔大小進(jìn)行分析計算，當(dāng)子孔徑和全口徑半徑的比值為0.33（子孔徑半徑為533mm）和0.39（子孔徑半徑為 635mm）時計算精度較高。按照子孔徑相對位置和半徑大小，將3ACF和4ACF結(jié)構(gòu)再分別細(xì)分為三種構(gòu)型，如圖4~5所示。圖中大圓表示全口徑，小圓表示稀疏孔徑陣列各反射鏡對應(yīng)的子孔徑，所有結(jié)構(gòu)均為對稱結(jié)構(gòu)，各子孔徑對稱地分布于全口徑內(nèi)。

對于3ACF結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2子孔徑半徑相同，為533mm，其中結(jié)構(gòu)1的各子孔徑與全口徑相切，結(jié)構(gòu)2的子孔徑間相對距離更近；結(jié)構(gòu)3中的子孔徑半徑為635mm，各子孔徑與全口徑相切。4ACF結(jié)構(gòu)的3種構(gòu)型與3ACF結(jié)構(gòu)的類似，反射鏡數(shù)量增加為4個。

圖4 3ACF結(jié)構(gòu)Fig.4 3ACF structure

圖5 4ACF結(jié)構(gòu)Fig.5 4ACF structure

利用光學(xué)軟件和MATLAB建模分析某口徑為3.2m的反射式光學(xué)系統(tǒng)的波像差，驗證算法可行性。首先建立如圖6所示的全口徑檢測模型，為光學(xué)系統(tǒng)加入失調(diào)誤差，進(jìn)行全口徑檢測，提取Zernike系數(shù)中初級像差的對應(yīng)項。全口徑檢測完成后，建立多種不同結(jié)構(gòu)的稀疏孔徑檢測模型（圖7為一種包含三塊自準(zhǔn)直鏡的稀疏孔徑陣列檢測模型），分別對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行波像差檢測。利用算法由檢測得到的各反射鏡對應(yīng)的子孔徑Zernike系數(shù)推導(dǎo)全口徑Zernike系數(shù)。將兩種方法得到的全口徑系數(shù)進(jìn)行對比，然后由計算得到的全口徑Zernike系數(shù)反演全口徑波像差，并與全口徑直接測得的波像差RMS值進(jìn)行對比，若差值在 0.001λ（λ=656nm，為波長）以內(nèi)，則算法滿足精度要求。同時若各種結(jié)構(gòu)其重構(gòu)精度存在差異，則需分析其重構(gòu)精度差異性的原因。檢測過程中，忽略各反射鏡、標(biāo)準(zhǔn)平面鏡的面形以及稀疏孔徑的結(jié)構(gòu)誤差。

圖6 全口徑檢測Fig.6 Full aperture test

圖7 稀疏孔徑檢測Fig.7 Sparse aperture test

2.2 仿真結(jié)果及分析

依據(jù)圖4~5所示的稀疏孔徑結(jié)構(gòu)建模，對光學(xué)系統(tǒng)波像差進(jìn)行檢測。

2.2.1 3ACF結(jié)構(gòu)

首先建立全口徑檢測模型，對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行波像差檢測，獲取全口徑 Zernike系數(shù)，然后分別采用三種3ACF結(jié)構(gòu)對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行波像差檢測，提取各結(jié)構(gòu)中若干子孔徑的Zernike系數(shù)，經(jīng)過算法處理得到全口徑Zernike系數(shù)，對比三種稀疏孔徑結(jié)構(gòu)測試和全口徑測試得到的Zernike系數(shù)。由于本算法針對的是光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)，光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)量是利用像散、慧差、球差對應(yīng)的五項 Zernike系數(shù)進(jìn)行解算的，因此本文著重對這幾項Zernike系數(shù)進(jìn)行分析。圖8為多項式項數(shù)為4~9項時三種結(jié)構(gòu)計算得到的Zernike系數(shù)與直接測得的全口徑Zernike系數(shù)的差值曲線。由圖8可看出，三種結(jié)構(gòu)的重構(gòu)精度存在差異，其中結(jié)構(gòu)3對應(yīng)的系數(shù)與全口徑系數(shù)最為接近。

圖8 Zernike系數(shù)對比Fig.8 Comparison of Zernike coefficients

根據(jù)測得的Zernike系數(shù)反演全口徑波像差，三種結(jié)構(gòu)以及全口徑對應(yīng)的波像差RMS如表2所示。

表2 3ACF結(jié)構(gòu)對應(yīng)的波像差RMS值Tab.2 RMS of 3ACF structure

結(jié)合圖8和表2可知，三種構(gòu)型中結(jié)構(gòu)3的波像差RMS值與全口徑差值小于0.001λ，滿足算法精度要求。對比結(jié)構(gòu) 1與結(jié)構(gòu) 2，兩者重構(gòu)精度因各反射鏡相對位置不同而存在差異；同理，對比結(jié)構(gòu) 1與結(jié)構(gòu)3發(fā)現(xiàn)，反射鏡的口徑同樣對重構(gòu)精度存在影響。因此，波前重構(gòu)算法的重構(gòu)精度受反射鏡的口徑和相對位置的影響。

2.2.2 4ACF結(jié)構(gòu)

分別采用圖7所示的三種4ACF結(jié)構(gòu)建模對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行波像差檢測，獲取全口徑Zernike系數(shù)，然后分別采用三種4ACF結(jié)構(gòu)對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行波像差檢測。三種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的Zernike系數(shù)差值曲線如圖9所示，該圖顯示結(jié)構(gòu)3與全口徑值差異最小。

圖9 Zernike系數(shù)對比Fig.9 The comparison of Zernike coefficients

根據(jù)算法處理得到的三種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的 Zernike系數(shù)反演全口徑波像差，并與直接測得的全口徑波像差RMS進(jìn)行對比，結(jié)果見表3。

表3 4ACF結(jié)構(gòu)對應(yīng)的全口徑波像差RMS值Tab.3 RMS of 4ACF structure

由表3可知，結(jié)構(gòu)3對應(yīng)RMS差值小于0.001λ，滿足精度要求。與3ACF結(jié)構(gòu)類似，4ACF結(jié)構(gòu)的各對照組也顯示出重構(gòu)精度的差異，反射鏡的口徑大小和反射鏡間的相對位置均會對重構(gòu)精度造成影響。

2.2.3 對比分析

對上述仿真結(jié)果進(jìn)行綜合比對發(fā)現(xiàn)，利用算法重構(gòu)全口徑波像差是可行的，但并非所有結(jié)構(gòu)都能滿足精度要求，各個結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于反射鏡數(shù)量、口徑大小、相對位置，因此，檢測特定的光學(xué)系統(tǒng)，首先需結(jié)合待測系統(tǒng)指標(biāo)進(jìn)行分析，明確稀疏孔徑反射鏡數(shù)量、口徑、間距，根據(jù)這些指標(biāo)選取合適的反射鏡搭建、調(diào)整稀疏孔徑結(jié)構(gòu)使之與待測系統(tǒng)匹配，然后再對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行檢測。

就本文研究的幾種結(jié)構(gòu)而言，3ACF的結(jié)構(gòu)3和4ACF的結(jié)構(gòu)3均具有較高的重構(gòu)精度，而在實際使用中，為了縮短稀疏孔徑陣列安裝的時間，提高效率，稀疏孔徑陣列的反射鏡數(shù)量越少越好，因此，對于該光學(xué)系統(tǒng)而言，采用3ACF的結(jié)構(gòu)3作為稀疏孔徑陣列是最佳方案。

3 結(jié)束語

在未來的空間遙感領(lǐng)域，大口徑光學(xué)系統(tǒng)將會得到更多的應(yīng)用，因此研制大口徑光學(xué)系統(tǒng)是當(dāng)下的一個重要課題，同時為保證光學(xué)系統(tǒng)具有良好的成像品質(zhì)，有必要發(fā)展和建立一套完善的地面波前檢測方法。本文以大口徑光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)檢測作為切入點，提出了一種可行的稀疏孔徑波前重構(gòu)算法，用以實現(xiàn)由若干子孔徑波前重構(gòu)光學(xué)系統(tǒng)波前，是解決常規(guī)手段所面臨的效率、成本、技術(shù)風(fēng)險等難題的一種新思路。采用若干反射鏡組成稀疏孔徑標(biāo)準(zhǔn)鏡取代單塊的全口徑反射鏡，降低了制造加工的成本和周期以及潛在的技術(shù)風(fēng)險，同時也無需多次檢測，提升了效率，該技術(shù)是突破大口徑光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)技術(shù)瓶頸的一種有效途徑。

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