賈隨軍，劉明君，葉蓓蓓，曹春艷

（1.浙江外國(guó)語學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310012；2.西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

20世紀(jì)以來中學(xué)數(shù)學(xué)教材中“負(fù)負(fù)得正”法則解釋方式的研究

賈隨軍1，劉明君2，葉蓓蓓2，曹春艷2

（1.浙江外國(guó)語學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310012；2.西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

摘要：選取20世紀(jì)以來國(guó)內(nèi)外34個(gè)版本的中學(xué)數(shù)學(xué)教材，利用內(nèi)容分析法探究教材中解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的方式、角度及目的.研究發(fā)現(xiàn)，各版本教材中的解釋可以分為“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”、“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”、“隱性運(yùn)用分配律”、“顯性運(yùn)用分配律”、“運(yùn)用減法運(yùn)算”、“運(yùn)用變換”等6種方式，6種方式分別從現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)兩個(gè)角度展開，6種方式的解釋都是基于教學(xué)的而不是基于科學(xué)的，保持運(yùn)算律是從數(shù)學(xué)角度解釋法則合理性的主要依據(jù).不同版本教材解釋法則的目的各有側(cè)重.最后得到的教材編寫及教學(xué)建議如下：數(shù)學(xué)教材及教學(xué)要說理，要溝通“負(fù)負(fù)得正”法則與現(xiàn)實(shí)及學(xué)生已有認(rèn)知的聯(lián)系，要設(shè)置“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題.

關(guān)鍵詞：負(fù)負(fù)得正；解釋方式；中學(xué)數(shù)學(xué)教材

1　引 言

“負(fù)負(fù)得正”是有理數(shù)乘法的一條重要法則，如何解釋這條法則的合理性？如何給“負(fù)負(fù)得正”這條法則賦予意義？這是任何一位初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必然面臨的一個(gè)問題.鞏子坤的研究表明，97%的學(xué)生會(huì)利用“負(fù)負(fù)得正”進(jìn)行運(yùn)算，但僅有不超過12%的學(xué)生能夠解釋它的合理性[1].這充分說明理解這條法則的合理性是學(xué)生學(xué)習(xí)該法則的難點(diǎn)所在.研究者在職前數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)及職后數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)中發(fā)現(xiàn)，許多職前或職后數(shù)學(xué)教師對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋也很不理想.

教材是教師最主要的教學(xué)資源，教材會(huì)對(duì)教師教什么，如何教等產(chǎn)生重要影響.同時(shí)教材也是學(xué)生最主要的學(xué)習(xí)資源。那么，教材是否解釋了“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性？如果解釋了，到底是如何解釋的？通過對(duì)國(guó)內(nèi)外不同時(shí)期各版本教材的考察，梳理各版本教材中解釋“負(fù)負(fù)得正”法則合理性的角度與方式，分析各版本教材中解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的目的，部分地回答絕大多數(shù)學(xué)生不能夠解釋其合理性的原因，為中學(xué)數(shù)學(xué)教師“負(fù)負(fù)得正”法則的教學(xué)提供可參考素材，為“負(fù)負(fù)得正”法則的教材編寫及教學(xué)提供參考建議.

2　文獻(xiàn)綜述

目前，國(guó)內(nèi)外有眾多文獻(xiàn)研究“負(fù)負(fù)得正”法則.這些研究主要從以下4個(gè)角度展開：其一，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的角度[2]，主要研究教師在教學(xué)中使用哪些方式向?qū)W生解釋“負(fù)負(fù)得正”，其中哪些方式是學(xué)生喜歡的和容易接受的；其二，學(xué)生理解的角度[3]，主要研究學(xué)生如何解釋“負(fù)負(fù)得正”法則；其三，數(shù)學(xué)史的角度[4~5]，主要研究歷史上數(shù)學(xué)家如何解釋“負(fù)負(fù)得正”法則，數(shù)學(xué)史上的解釋對(duì)教學(xué)有什么啟發(fā)；其四，教材的角度[6]（該文獻(xiàn)主要以“負(fù)負(fù)得正”、“三角形的內(nèi)角和”、“分?jǐn)?shù)的除法”、“圓的面積”、“分配律”、“冪的乘法”、“不規(guī)則圖形的面積”等為載體，研究澳大利亞9個(gè)版本教材中的推理模式，“負(fù)負(fù)得正”僅僅是透視推理模式的其中一個(gè)素材），主要研究澳大利亞2000年左右9個(gè)版本的教材如何引入“負(fù)負(fù)得正”法則.目前，中國(guó)從教材的角度系統(tǒng)梳理“負(fù)負(fù)得正”法則解釋方式的文獻(xiàn)并不多見，鑒于此，研究者對(duì)20世紀(jì)以來各版本教材中“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋方式進(jìn)行了詳細(xì)考察.

3　研究方法

運(yùn)用內(nèi)容分析法研究各版本教材中對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋.內(nèi)容分析法是一種主要以各種文獻(xiàn)為研究對(duì)象的研究方法，該方法一般包括選取研究樣本，提煉分析單位或統(tǒng)計(jì)單位，依據(jù)分析單位對(duì)樣本進(jìn)行分類，通過分類統(tǒng)計(jì)分析單位對(duì)樣本進(jìn)行定量與定性描述.

選取的研究樣本為20世紀(jì)以來國(guó)內(nèi)外各個(gè)時(shí)期的34個(gè)版本的中學(xué)數(shù)學(xué)教材.從1900年起，每10年隨機(jī)選取兩個(gè)版本的國(guó)內(nèi)教材，共選取了24個(gè)版本的國(guó)內(nèi)教材.在20世紀(jì)初，中國(guó)使用的部分中學(xué)數(shù)學(xué)教材是對(duì)國(guó)外教材的翻譯或編譯[7]，但考慮到這些教材確實(shí)應(yīng)用于中國(guó)的中學(xué)教育實(shí)踐，因此把布利氏新式算數(shù)[8]（1933）、查理斯密初等代數(shù)學(xué)[9]（1919）、初等代數(shù)學(xué)[10]（1908）、初等代數(shù)[11]（1906）等20世紀(jì)初翻譯或編譯的教材也納入國(guó)內(nèi)教材的范疇.由于獲取國(guó)外教材的途徑有限，所以選取的樣本相對(duì)較小，樣本主要由兩部分構(gòu)成，其一，國(guó)外原版教材，如，California Mathematics[12]（2008），Algebra Readiness[13]（2008），Pre-Algebra[14]（2008），新加坡[15]（2007），新加坡[16]（2001）等；其二，在20世紀(jì)60年代至80年代，中國(guó)翻譯了一些國(guó)外教材，如西德（1980）[17]，SMP英國(guó)（1975）[18]，法國(guó)（1964）[19]，日本（1963）[20]，德意志民主共和國(guó)[21]（1963）等，但翻譯這些教材的目的僅僅是為中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫提供借鑒，這些教材沒有直接應(yīng)用于中國(guó)的中學(xué)教學(xué)實(shí)踐，因此把這些教材納入國(guó)外教材的范疇.具體選取的作為樣本的中學(xué)數(shù)學(xué)教材版本見表1.

表1　考察“負(fù)負(fù)得正”解釋方式的教材版本

在運(yùn)用內(nèi)容分析法時(shí)，常常需要把文本分解成小的統(tǒng)計(jì)單位進(jìn)行編碼與統(tǒng)計(jì).統(tǒng)計(jì)單位為各版本教材中對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的解釋.其中，浙江（1996）、江蘇（1971）、新中華教本（1929）3個(gè)版本的教材沒有對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性進(jìn)行解釋，直接給出了法則，然后安排一些練習(xí)讓學(xué)生熟悉法則.但有個(gè)別教材給出了兩個(gè)或兩個(gè)以上的解釋，因此剩下31個(gè)版本的教材中總共有37個(gè)解釋.有許多解釋從表面看似乎不同，如，借助“蝸牛的爬行”、“水庫水位的上升與下降”[21]、“倉庫進(jìn)貨與出貨”[33]等現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行的解釋，但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，這些方法都是運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型解釋“負(fù)負(fù)得正”的合理性，實(shí)質(zhì)上都屬于同一種解釋方式.鑒于此，研究者在與一些數(shù)學(xué)教育專家反復(fù)研討的基礎(chǔ)上對(duì)37個(gè)解釋進(jìn)行了分類，總共分為“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”、“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”、“隱性運(yùn)用分配律”、“顯性運(yùn)用分配律”、“運(yùn)用減法運(yùn)算”、“運(yùn)用變換”6種方式.當(dāng)然在下文會(huì)給出每一種解釋方式的界定及具體例子.在統(tǒng)計(jì)分析階段，主要統(tǒng)計(jì)37個(gè)解釋分別屬于哪一類解釋方式，每一方式所對(duì)應(yīng)的解釋數(shù)量及所占的百分比.同時(shí)，研究者還統(tǒng)計(jì)了各版本教材中有無“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，以便分析各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的目的.

4　研究結(jié)果

4.1教材中解釋“負(fù)負(fù)得正”法則方式的界定及例子

“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”就是通過生活中的實(shí)例或模型，憑借學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)直觀地找到“負(fù)負(fù)相乘”的結(jié)果，從而解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性.如，人教（2007）中以“蝸牛爬行”為模型引入“負(fù)負(fù)得正”，規(guī)定“向左為負(fù)，向右為正，現(xiàn)在前為負(fù)，現(xiàn)在后為正，蝸?，F(xiàn)在恰好在原點(diǎn)O處.”如果蝸牛一直以每分鐘2 cm的速度向左爬行，那么3分鐘前它所在的位置就是(-2)′(-3)=+6cm.

總共有14個(gè)解釋是屬于“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”類型的.具體涉及到的模型有“蝸牛爬行”、“倉庫進(jìn)貨出貨”、“溫度上升下降”[20]、“存款與虧空”[34]、“逆水行舟”[37]、“水庫水位上升與下降”、“火車的運(yùn)行”[35]、“物體的放置與拿走”[13]等.

“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”就是通過觀察(+a)(+b)=+(ab) （1）及(+a)(-b)=-(ab)（2）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)因子不變，另一個(gè)因子換為原來因子的相反數(shù)時(shí)，積也變?yōu)樵瓉矸e的相反數(shù).利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論結(jié)合（2）式可知(-a )(-b)=-(-ab)=ab .在各版本教材中，a、b均為具體數(shù)字.如，Algebra Readiness （2008）中引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式就使用了相反數(shù)的性質(zhì)，見圖1.

圖1　Algebra Readiness（2008）引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式

“隱性運(yùn)用分配律”就是研究者通過對(duì)一個(gè)負(fù)因子乘以一組正等差數(shù)列的結(jié)果的考察發(fā)現(xiàn)，它們的乘積也為等差數(shù)列，把發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)果應(yīng)用到一個(gè)負(fù)因子乘以一組含有負(fù)數(shù)的等差數(shù)列的情形，就可得到“負(fù)負(fù)得正”法則.如，Pre-Algebra(2008)就采用了這種方式，如圖2所示.

圖2　Pre-Algebra（2008）引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式

通過圖2可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)因子不變，當(dāng)另一個(gè)因子減少1時(shí)，乘積增加4.為什么有這樣的規(guī)律呢？事實(shí)上，這一規(guī)律可表述為(-4)(n-1)=-4n+4，即這一規(guī)律的實(shí)質(zhì)為乘法分配律.因此，這種引入方式從表面上看是找規(guī)律，而其本質(zhì)是利用乘法分配律.

“顯性使用分配律”就是在承認(rèn)或驗(yàn)證了乘法分配律的前提下，利用乘法分配律引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式.如，北京（1969）就采用了這種方式，如圖3所示.

圖3　北京（1969）引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式

“運(yùn)用減法運(yùn)算”就是把負(fù)負(fù)相乘轉(zhuǎn)化為減法，利用減法運(yùn)算賦予“負(fù)負(fù)相乘”意義，從而引入“負(fù)負(fù)得正”的運(yùn)算法則.如，小代數(shù)學(xué)（1913）就采用了這種方式，如圖4所示.

圖4　小代數(shù)學(xué)（1913）引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式

“運(yùn)用變換”就是指借助數(shù)軸利用圖示的方法來解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性，(-2)′(-3)相當(dāng)于先把有向線段(-2)以原點(diǎn)為中心作反射變換得到(+2)的有向線段，然后把有向線段(+2)再伸長(zhǎng)3倍得到(+6)的有向線段，這種方法的本質(zhì)為反射變換與伸縮變換的復(fù)合.如，西德（1980）就采用了這種方式，如圖5所示.

圖5　西德（1980）引入“負(fù)負(fù)得正”法則的方式

4.2各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”的方式與角度

各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”的方式見表2.

表2　各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”的方式

注：人教（1951）教材通過“溫度的升高下降”及“存錢與虧空”兩種模型解釋“負(fù)負(fù)得正”法則.

布利氏新式算數(shù)（1933）教材通過“杠桿的旋轉(zhuǎn)勢(shì)”模型及“運(yùn)用變換”兩種方式解釋“負(fù)負(fù)得正”法則.

初中代數(shù)（1942）教材中關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”有3種解釋方式，其中有兩種分別通過“經(jīng)商獲利”、“逆水行舟”的模型進(jìn)行解釋，第三種是通過相反數(shù)的性質(zhì)來解釋的.

Pre-Algebra（2008）教材通過“拿走與放回”模型及“隱性運(yùn)用分配律”兩種方式解釋“負(fù)負(fù)得正”法則.

從表2發(fā)現(xiàn)，31個(gè)版本的教材都試圖利用各種方式解釋“負(fù)負(fù)得正”法則，為了更好地把握各版本教材對(duì)法則的解釋狀況，就有必要統(tǒng)計(jì)每一解釋方式所對(duì)應(yīng)的解釋數(shù)量并計(jì)算百分比.結(jié)合表2，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3.

表3　每一解釋方式所對(duì)應(yīng)的解釋數(shù)量及百分比

從表3可以看出，“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”、“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”、“隱性運(yùn)用分配律”、“運(yùn)用減法運(yùn)算”、“運(yùn)用變換”是各版本教材中解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的主要方式.而以“顯性運(yùn)用分配律”方式進(jìn)行解釋的比例比較低.同時(shí)結(jié)合表2可以發(fā)現(xiàn)，“運(yùn)用減法運(yùn)算”的方式主要出現(xiàn)在中國(guó)20世紀(jì)初的教材中.

仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，6種解釋方式分別從兩個(gè)角度展開，“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”就是從現(xiàn)實(shí)角度進(jìn)行的解釋，而“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”、“隱性運(yùn)用分配律”、“顯性運(yùn)用分配律”、“運(yùn)用減法運(yùn)算”及“運(yùn)用變換”都是借助數(shù)學(xué)本身的相關(guān)理論解釋法則的合理性，因此，后5種方式都是從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行的解釋.解釋的角度具體見表4.

表4　解釋角度及屬于每一角度的解釋所占的百分比

從表4可以看出，從現(xiàn)實(shí)角度解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋個(gè)數(shù)大約占4成，而從數(shù)學(xué)角度解釋的個(gè)數(shù)大約占6成.

4.3各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的目的

絕大多數(shù)的教材都在解釋法則而不僅僅是呈現(xiàn)法則本身.而解釋法則的目的無非就是兩個(gè)方面，第一，使學(xué)生理解法則并能熟練運(yùn)用法則；第二，使學(xué)生能夠以法則的解釋方式為工具解決問題.那么各版本教材解釋法則的目的更偏重于哪一方面呢？考察學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法的“學(xué)習(xí)目標(biāo)”是解決這一問題的理想途徑.但僅有個(gè)別教材呈現(xiàn)了“學(xué)習(xí)目標(biāo)”，如，“我將理解與運(yùn)用有理數(shù)乘法法則”[23]，大多數(shù)教材均沒有陳述有理數(shù)乘法的“學(xué)習(xí)目標(biāo)”.教材中的習(xí)題是滲透“學(xué)習(xí)目標(biāo)”的最重要載體，因此，對(duì)習(xí)題的考察是探尋各版本教材解釋“負(fù)負(fù)得正”法則目的的重要方面.這里將主要考察各版本教材中有無“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，如，“利用代數(shù)塊（algebra title）模型發(fā)現(xiàn)(-2)′(-2)的結(jié)果”[13]，“利用杠桿旋轉(zhuǎn)勢(shì)求(-3)′(-4)的結(jié)果”[8]，“數(shù)學(xué)寫作：確定-2，-3與-4的乘積的符號(hào)，解釋你的推理”[12]等就屬于“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題.具體考察的結(jié)果見表5.

表5　編排有“解釋方式”應(yīng)用習(xí)題的教材版本數(shù)量及百分比

從表5可以看出，僅有9個(gè)（占所研究教材的3成）版本的教材編排有“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，從習(xí)題的角度來說，這9個(gè)版本的教材注重以法則的解釋方式為工具解決問題.而其它版本的教材解釋法則主要是讓學(xué)生理解法則并能熟練運(yùn)用法則.

5　結(jié) 論

5.1注重對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋是絕大多數(shù)教材所秉持的基本理念

在前面研究過的34個(gè)版本的教材中，僅有3個(gè)版本的教材直接給出了法則而沒有解釋法則的合理性.其它31個(gè)版本的教材通過各種方式與角度闡述了“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性，甚至個(gè)別教材提供了兩個(gè)或3個(gè)對(duì)法則的解釋，如，人教（1951）、布利氏新式算數(shù)（1933）、西德（1980）、Pre-Algebra（2008）等教材都呈現(xiàn)了兩個(gè)解釋，初中代數(shù)（1942）呈現(xiàn)了3個(gè)解釋.呈現(xiàn)多個(gè)解釋的目的是為了讓具有不同認(rèn)知特點(diǎn)的學(xué)生更好地理解法則的合理性.這31個(gè)版本的教材企圖向?qū)W習(xí)者表明，數(shù)學(xué)是建立在推理基礎(chǔ)之上的，它絕不僅僅是一些法則的集合.

5.2從數(shù)學(xué)本身入手是解釋法則合理性的重要角度

體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一[42].但在教學(xué)實(shí)踐中有部分教師對(duì)這個(gè)目標(biāo)有誤解，他們認(rèn)為小學(xué)或初中階段的幾乎所有數(shù)學(xué)概念、法則等的引入都必須從生活情境入手.通過對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)各版本教材的考察發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)本身解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的比例大約占了6成.事實(shí)上，數(shù)學(xué)本身是情境問題的重要來源，隨著年級(jí)的升高，情境將更多的來源于數(shù)學(xué)本身[43~46].同時(shí)，對(duì)于概念或法則的現(xiàn)實(shí)解釋并不一定比來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的解釋更加容易理解.從數(shù)學(xué)本身入手是解釋法則合理性的重要角度，這個(gè)角度決不能忽視.

5.3對(duì)于法則的解釋都是基于教學(xué)的而不是基于科學(xué)的

Siepinska把數(shù)學(xué)中的解釋分為基于科學(xué)的解釋與基于教學(xué)的解釋兩種類型.所謂基于科學(xué)的解釋就是指能夠被數(shù)學(xué)共同體所能接受的解釋；基于教學(xué)的解釋就是指借助模型、實(shí)例或形象化的比喻等手段，以促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)事實(shí)為目的的解釋[47].

數(shù)學(xué)家是不能夠接受憑借數(shù)學(xué)以外的手段來解釋數(shù)學(xué)命題的正確性的，因此，“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”僅僅是教師或?qū)W生在數(shù)學(xué)課堂中常常使用的解釋方式之一.“隱性運(yùn)用分配律”、“顯性運(yùn)用分配律”的方式都是以承認(rèn)分配律為前提的，而實(shí)際上，引入負(fù)數(shù)后，乘法對(duì)加法的分配律是否成立是需要重新審視的[48]，這兩種方式只能是基于教學(xué)的解釋.“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”、“運(yùn)用減法運(yùn)算”的方式都是把“正正相乘”、“正負(fù)相乘”兩種情形中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用到“負(fù)負(fù)相乘”的情形，這兩種解釋方式是合情推理，它們沒有經(jīng)過演繹推理的檢驗(yàn)，也只能算是基于教學(xué)的解釋而已.

由于受到學(xué)生知識(shí)范圍及認(rèn)知水平的制約，中學(xué)數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)科學(xué)有很大的不同，基于教學(xué)的解釋確保了中學(xué)數(shù)學(xué)課程對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性及推理的強(qiáng)調(diào)沒有超出其應(yīng)有的邊界.

5.4各版本教材解釋法則的目的各有側(cè)重

從對(duì)習(xí)題的研究發(fā)現(xiàn)，大約七成的教材中沒有編排“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，這些教材解釋法則的主要目的在于讓學(xué)生理解法則并熟練應(yīng)用法則；而只有三成的教材編排了“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，它們對(duì)于法則的解釋除了上述目標(biāo)外，還注重以法則的解釋方式為工具解決問題.

如果教材中沒有編排“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題，學(xué)生只要熟練記憶法則本身，就可以順利完成教材中的習(xí)題，教學(xué)中不涉及法則合理性的解釋，似乎對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)不會(huì)產(chǎn)生什么影響.這也能夠部分地解釋為什么97%的學(xué)生會(huì)利用“負(fù)負(fù)得正”進(jìn)行運(yùn)算，但僅有不超過12%的學(xué)生能夠解釋它的合理性這一現(xiàn)象.

5.5保持運(yùn)算律是從數(shù)學(xué)角度解釋法則合理性的主要依據(jù)

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的乘法分配律僅限于非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，引入負(fù)數(shù)后，乘法分配律是否成立需要重新檢驗(yàn).對(duì)于負(fù)數(shù)乘法法則的規(guī)定，最理想的情況就是要保證在原來范圍內(nèi)成立的分配律在更大的范圍內(nèi)仍然成立；同樣，“相反數(shù)的性質(zhì)”、“乘法與減法的轉(zhuǎn)化”（“運(yùn)用減法運(yùn)算”的方式涉及到了“乘法與減法的轉(zhuǎn)化”）是在負(fù)數(shù)乘以正數(shù)的情形下獲得的，教師也希望這樣的運(yùn)算律在負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘時(shí)仍得以保持.這樣，負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)的運(yùn)算盡可能地與已有運(yùn)算律相容，負(fù)負(fù)得正的結(jié)果才顯得更為合理.保持運(yùn)算律是數(shù)學(xué)中引入法則、定義等的主要依據(jù)之一，例如，零指數(shù)冪、有理指數(shù)冪的定義就是以盡量保持原有正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律為基礎(chǔ)的.

6　建 議

6.1數(shù)學(xué)教材及教學(xué)一定要說理

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的學(xué)科，理性精神要求所陳述的“每個(gè)觀點(diǎn)都必須有根據(jù)，除了邏輯的要求與實(shí)踐的檢驗(yàn)之外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的赦令，流行的風(fēng)尚傳統(tǒng)都是沒有用的”[49].理性精神說的樸素一點(diǎn)就是要說理，說理應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)教學(xué)的最基本要求，具體到“負(fù)負(fù)得正”法則，教材和教學(xué)不僅要陳述法則，而且要像一位睿智的長(zhǎng)者，把這一法則的合理性或依據(jù)娓娓道來，絕不能以權(quán)威自居，擺出一幅信不信由你的架勢(shì)來.學(xué)生理性精神的培養(yǎng)是一點(diǎn)一滴的，需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則合理性的解釋是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的良好載體，教師在教材編寫及教學(xué)中應(yīng)充分利用這一載體.

6.2數(shù)學(xué)教材及教學(xué)要溝通“負(fù)負(fù)得正”法則與現(xiàn)實(shí)及學(xué)生已有認(rèn)知的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)教學(xué)都要呈現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈，就拿“負(fù)負(fù)得正”法則來說，“來龍”體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，描述或解釋現(xiàn)實(shí)的需要，對(duì)“倉庫進(jìn)貨出貨”、“溫度上升下降”、“存款與虧空”、“杠桿的旋轉(zhuǎn)勢(shì)”、“水庫水位的變化”等現(xiàn)象的解釋或描述需要“負(fù)負(fù)得正”法則；其二，已有數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要或自然推廣，如，“負(fù)負(fù)得正”法則是自然數(shù)范圍內(nèi)成立的乘法分配律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然成立的必然要求；“負(fù)負(fù)得正”法則也是正負(fù)相乘情況下獲得的一些結(jié)論在“負(fù)負(fù)相乘”情況下的類比或推廣.

教材及教學(xué)只有把“負(fù)負(fù)得正”法則與現(xiàn)實(shí)及學(xué)生已有認(rèn)知相聯(lián)系，學(xué)生才能把“負(fù)負(fù)得正”法則穩(wěn)定地鑲嵌在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，為以后靈活應(yīng)用該法則奠定基礎(chǔ)，同時(shí)呈現(xiàn)“負(fù)負(fù)得正”法則與現(xiàn)實(shí)及學(xué)生已有認(rèn)知的聯(lián)系是數(shù)學(xué)教材與教學(xué)顯得自然、親切的有效途徑.

6.3數(shù)學(xué)教材及教學(xué)要設(shè)置“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題

設(shè)置關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”法則“解釋方式”應(yīng)用的習(xí)題是非常重要的.因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)就其本質(zhì)來講是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)[50~51].“負(fù)負(fù)得正”法則是代數(shù)內(nèi)容中培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納等合情推理能力的“關(guān)鍵點(diǎn)”，建議設(shè)置一些開放性的題目，如，“請(qǐng)你通過實(shí)例解釋為什么負(fù)負(fù)得正”，“利用現(xiàn)實(shí)模型解釋(-2)′(-2)的結(jié)果”，“確定-2，-3與-4的乘積的符號(hào)，解釋你的推理”，學(xué)生可以利用教材或課堂中使用過的“解釋方式”來解決，也可以嘗試用更加新穎的“解釋方式”來解決，學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、推理等活動(dòng)可以不斷地感悟數(shù)學(xué)的思維方式.

［參 考 文 獻(xiàn)］

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Research about Modes of Explanation of the Rule of Multiplication of Negative Integers in Mathematical Textbooks in Middle School Since 20thCentury

JIA Sui-jun1, LIU Ming-jun2, YE Bei-bei2, CAO Chun-yan2
(1. Educational Institute, Zhejiang International Studies University, Zhejiang Hangzhou 310012, China; 2. Educational Institute of Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Abstract:In order to explore the modes, angles and purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks by method of content analysis, 34 mathematical textbooks in middle school at home and abroad since 20th century were selected. The conclusion as follows: the different explanations in textbooks were grouped “deduction using a real-life model”“deduction using property of opposite number” “deduction using law of distribution implicitly” “deduction using law of distribution explicitly” “deduction using subtraction” “deduction using transform” and so on. We regard all kinds of modes of explanation as didactic in nature rather than scientific, the purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks were different, the most important basis of explanation of rules from mathematical angle was the laws of arithmetic. The Suggestions are as follows: deduction should be permeated in textbooks and teaching of mathematics, the relationship between the law of multiplication of negative integers and what students used to know should be emphasized, the exercises of application of modes of deduction should be arranged.

Key words:multiplication of negative integers; modes of explanation; mathematical textbooks in middle school

作者簡(jiǎn)介：賈隨軍（1974—），男，甘肅通渭人，副教授，理學(xué)博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目：全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度教育部重點(diǎn)課題——高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)課例研究（D H A 110240）；西北師范大學(xué)青年教師科研提升項(xiàng)目（NWNU-LKQN-12-26）；教師教育國(guó)家級(jí)精品資源共享課“中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材研究”建設(shè)階段性成果

收稿日期：2015-03-10

中圖分類號(hào)：G423.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-9894（2015）04-0076-06