王 琦， 楊志林

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的全球化和消費(fèi)者需求的個(gè)性化，零售市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈。在沃爾瑪、家樂福、聯(lián)華超市等大型賣場(chǎng)，貨架展示量是影響消費(fèi)者選擇的重要因素和零售商競(jìng)爭(zhēng)的重要手段。貨架展示量的效應(yīng)是可替代產(chǎn)品種類和貨架展示量越多，越能刺激消費(fèi)者的購買欲望，并能影響消費(fèi)者在同類產(chǎn)品中的選擇。合作廣告也是制造商與零售商用于提高銷售量的一種有效策略。供應(yīng)鏈上下游企業(yè)間的合作廣告指的是制造商通過合作廣告形式誘使零售商將地方性廣告投入增加到制造商的滿意水平，從而使得零售商銷售額有額外的增加，進(jìn)而導(dǎo)致制造商利潤(rùn)的額外增加。

文獻(xiàn)［1－2］研究了需求依賴于貨架展示量供應(yīng)鏈之間的競(jìng)爭(zhēng)模型，考察了隨機(jī)需求下2條供應(yīng)鏈的貨架展示量競(jìng)爭(zhēng)與鏈內(nèi)協(xié)調(diào)問題，但均沒有考慮合作廣告對(duì)需求的影響；文獻(xiàn)［3］研究了隨機(jī)需求條件下需求受合作廣告的影響，得出Nash合作博弈下的最優(yōu)廣告水平、訂貨量和整條供應(yīng)鏈利潤(rùn)均優(yōu)于以制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的最優(yōu)量；文獻(xiàn)［4］考察了相乘型需求下需求受廣告合作和價(jià)格的影響，運(yùn)用4種博弈模型進(jìn)行分析，得出合作博弈的最優(yōu)選擇均高于非合作博弈下的最優(yōu)選擇，但均沒有考慮需求也受貨架展示量的影響；文獻(xiàn)［5］考慮了貨架展示量與廣告影響需求的供應(yīng)鏈模型，但沒有考慮需求受合作廣告的影響和隨機(jī)需求條件下的模型；文獻(xiàn)［6－7］討論了供應(yīng)鏈中需求受零售商貨架展示量努力的影響；文獻(xiàn)［8］研究了需求依賴于零售商的貨架展示量和價(jià)格的2個(gè)競(jìng)爭(zhēng)供應(yīng)商和零售商的協(xié)調(diào)定價(jià)模型，但均沒有考慮合作廣告對(duì)需求的影響。

本文假設(shè)在隨機(jī)需求條件下，需求受到零售商貨架展示量與合作廣告的雙重影響，建立了Nash合作博弈、制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈和零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈模型；分別得到最優(yōu)廣告水平、貨架展示量水平、訂貨量以及供應(yīng)鏈各方的利潤(rùn)，并對(duì)均衡結(jié)果進(jìn)行綜合比較；最后，給出數(shù)值算例對(duì)模型進(jìn)行仿真計(jì)算與分析。

1 基本模型描述

考慮單一制造商與單一零售商組成一個(gè)單周期產(chǎn)品的2級(jí)供應(yīng)鏈。在隨機(jī)需求條件下，需求不僅受到零售商的地方性廣告水平與制造商的全國性廣告水平的影響，而且受到零售商的貨架展示量水平的影響。

設(shè)c為制造商的產(chǎn)品成本；w為制造商的批發(fā)價(jià)格；q為零售商的訂購量；p為零售商的零售價(jià)格；s為單位產(chǎn)品的銷售殘值（假定p＞w＞c＞s）；g為因缺貨造成的信譽(yù)成本；A為制造商的全國性廣告水平；a為零售商的地方性廣告水平；t為制造商分擔(dān)零售商的廣告費(fèi)率比率，且0≤t≤1；b為零售商的貨架展示量水平。

借鑒文獻(xiàn)［3，9－10］在合作廣告研究中的市場(chǎng)需求函數(shù)，本文假設(shè)市場(chǎng)需求函數(shù)為：

其中，D0為市場(chǎng)飽和需求量；α為共同需求影響因子；β、γ分別為零售商與制造商的廣告彈性；δ為零售商的貨架展示量彈性，且D0、α、β、γ、δ均為正常數(shù)。隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)為f（x），分布函數(shù)為F（x）。顯然，D（a，A，b，ε）是一個(gè)關(guān)于a、A、b的增函數(shù)。β值越大，零售商地方性廣告水平對(duì)需求的影響越大；γ值越大，制造商全國性廣告水平對(duì)需求的影響越大；δ值越大，零售商貨架展示量水平對(duì)需求的影響越大。

考慮廣告成本因素，根據(jù)文獻(xiàn)［10］，制造商的廣告費(fèi)用函數(shù)為C（A）＝kmA，零售商的廣告費(fèi)用函數(shù)為C（a）＝kra，其中km和kr分別為制造商和零售商的單位廣告成本，且km＞kr＞0?？紤]貨架展示量成本因素，貨架展示量的費(fèi)用函數(shù)為C（b）＝nb，其中n為貨架展示量的單位成本。

制造商的利潤(rùn)函數(shù)為：

零售商的利潤(rùn)函數(shù)為：

令z＝q－（D0－αa－βA－γb－δ），從而零售商的利潤(rùn)可以轉(zhuǎn)化為：

供應(yīng)鏈整體的利潤(rùn)為：

最優(yōu)訂貨量為

2 Nash合作博弈

當(dāng)制造商和零售商合作時(shí)，供應(yīng)鏈各成員為追求最大收益從而整體考慮最優(yōu)地方廣告水平a、最優(yōu)全國廣告水平A和最優(yōu)貨架展示量水平b。此時(shí)，供應(yīng)鏈整體的利潤(rùn)僅由a、A、b和z決定，不含有t。

供應(yīng)鏈整體的期望利潤(rùn)為：

易知E（π）是關(guān)于z的凹函數(shù)，由?E（π）／?z＝0，得F（z）＝（p＋g－c）／（p＋g－s），記ψ＝（p＋gc）／（p＋g－s），則

將（8）～（11）式代入q＊的表達(dá)式中，可得：

3 制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈

此時(shí)制造商占主導(dǎo)地位，零售商為跟從著。根據(jù)逆向歸納法，首先零售商最大化其收益選擇地方性廣告水平a和最優(yōu)貨架展示量水平b，然后制造商根據(jù)零售商的選擇，最大化其收益選擇最優(yōu)全國性廣告水平A和地方性廣告分擔(dān)率t。

零售商的期望利潤(rùn)為：

將（14）～（16）式代入（2）式中，制造商的問題可以表述為：

而當(dāng)（w－c）－（1＋β＋δ）（p－w）≤0時(shí)，t＝0，此時(shí)制造商不對(duì)零售商提供地方廣告分擔(dān)。

性質(zhì)1 制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈，只有（w－c）－（1＋β＋δ）（p－w）＞0時(shí)，制造商才會(huì)對(duì)零售商進(jìn)行地方性廣告分擔(dān)。且制造商對(duì)零售商地方性廣告分擔(dān)率隨著制造商所獲利潤(rùn)的增大而增大，隨著零售商所獲利潤(rùn)的增大而減小。

證明

?tMS＝（1＋δ）（p－w）＞0，?（w－c）［（w－c）－β（p－w）］2

?tMS＝－（1＋δ）（w－c）＜0。

?（p－w）［（w－c）－β（p－w）］2

將（18）式、（19）式代入（15）式、（16）式，可得：

將（14）式 （19）～（21）式代入q＊的表達(dá)式中，可得：

性質(zhì)2 在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下：

（1）由于?a／?t＞0，則制造商分擔(dān)零售商的地方性廣告費(fèi)用的意愿越強(qiáng)，相應(yīng)地零售商的地方性廣告投入也就越多。

（2）由于?a／?A＜0，則制造商全國性廣告投入越多，零售商地方性廣告投入就越少。

（3）由于?b／?t＜0，則制造商分擔(dān)零售商的地方性廣告費(fèi)用的意愿越強(qiáng)，零售商的貨架展示量投入就越少。

（4）由于?b／?A＜0，則制造商的全國性廣告投入越多，零售商的貨架展示量投入就越少。

4 零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈

此時(shí)零售商占主導(dǎo)地位，制造商為跟從著。根據(jù)逆向歸納法，首先制造商最大化其收益來選擇全國廣告水平A和地方性廣告費(fèi)分擔(dān)率t，然后零售商根據(jù)制造商的選擇來確定最優(yōu)地方廣告水平a和最優(yōu)貨架展示量水平b。顯然，制造商選擇的最優(yōu)地方廣告分擔(dān)率tRS＝0。

制造商的利潤(rùn)函數(shù)為：

由?πM／?A＝0，可得：

將（24）式代入（13）式，零售商的期望利潤(rùn)為：

將（27）式、（28）式代入（24）式，可得：

將（26）～（29）式代入q＊的表達(dá)式，可得：

性質(zhì)3 在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下，由于?a／?b＜0，則零售商的地方性廣告投入越多，零售商的貨架展示量投入就越少。

5 結(jié)果分析

性質(zhì)4 無論是Nash合作博弈還是制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈，制造商最優(yōu)全國性廣告水平與零售商最優(yōu)地方性廣告水平的比率為一常數(shù)，并且這一常數(shù)等于γkr／βkm。

性質(zhì)4說明，只有當(dāng)（w－c）－（1＋β＋δ）×（p－w）＞0時(shí)，在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下，制造商才會(huì)對(duì)零售商進(jìn)行地方性廣告分擔(dān)。

性質(zhì)5 無論是Nash合作博弈還是零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈，零售商的地方性廣告水平與零售商的貨架展示量水平的比率為一常數(shù)，即βn／δkr。

證明 根據(jù)（9）式、（10）式，可得：

根據(jù)（27）式、（28）式，同理可得：

性質(zhì)6 在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的最優(yōu)地方性廣告水平大于在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的地方性廣告水平，即aMS＞aRS；但在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的最優(yōu)全國性廣告水平小于在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的全國性廣告水平，即AMS＜ARS。

證明 根據(jù)（20）式、（27）式、（19）式、（29）式，可比較aMS和aRS、AMS和ARS的大小，具體有：

同理可得：AMS／ARS＜1。

6 數(shù)值算例

某易逝品（如報(bào)童類產(chǎn)品）的制造商與零售商進(jìn)行廣告合作，該市場(chǎng)需求是不確定性的，且市場(chǎng)需求滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。敏感性分析結(jié)果見表1～表3所列。主要的參數(shù)分別設(shè)定如下：

D0＝100，α＝10，β＝0.2，γ＝0.5，δ＝0.3，p＝180，w＝150，c＝100，s＝80，g＝300。

表1 Nash合作博弈下關(guān)于合作廣告單位成本與貨架展示量單位成本的敏感性分析

表2 制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下關(guān)于合作廣告單位成本與貨架展示量單位成本的敏感性分析

表3 零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下關(guān)于合作廣告單位成本與貨架展示量單位成本的敏感性分析

由表1～表3可得如下結(jié)論：

（1）在相同條件下，Nash合作博弈下制造商全國性廣告水平、零售商地方性廣告水平、貨架展示量水平、訂貨量以及供應(yīng)鏈整體利潤(rùn)都分別大于在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下和在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的對(duì)應(yīng)值，即Nash合作博弈具有Pareto優(yōu)勢(shì)；隨著合作廣告單位成本或貨架展示量單位成本的下降，3種博弈情形下的q、E（πM）、E（πR）、E（π）均增大。

（2）當(dāng)制造商全國性廣告單位成本km減小或零售商地方性廣告單位成本kr減小時(shí)，制造商全國性廣告投入水平A和零售商地方性廣告投入水平a將分別增大，說明制造商或零售商在單位廣告成本下降時(shí)，為了追求更多的利益將各自努力提高自身的廣告投入水平；隨著零售商貨架展示量的單位成本n的下降，貨架展示量水平b增大。

比較表2和表3可知，在相同條件下，制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的零售商地方性廣告水平、貨架展示量水平、訂貨量和制造商利潤(rùn)以及供應(yīng)鏈整體利潤(rùn)均大于零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的對(duì)應(yīng)值，但制造商的全國性廣告水平和零售商利潤(rùn)均小于零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的對(duì)應(yīng)值。

7 結(jié)束語

合作廣告是制造商和零售商的一種營(yíng)銷合作策略，考慮在隨機(jī)需求條件下，需求受到零售商貨架展示量和合作廣告的雙重影響，構(gòu)建了3種博弈模型。在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下，全國性廣告水平小于在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的對(duì)應(yīng)值；在零售商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下，地方性廣告水平小于在制造商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈下的對(duì)應(yīng)值。最后，數(shù)值算例對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行了實(shí)際論證。

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