朱小飛， 檀結(jié)慶， 張 旭

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

非線性方程和非線性方程組的數(shù)值解法［1－3］是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，它在解決很多實(shí)際問(wèn)題中起到了重要作用。Newton迭代方法是最經(jīng)典的迭代方法，具有二階收斂性。Halley迭代法和Chebyshev迭代法是三階收斂的，文獻(xiàn)［4－5］利用Adomian分解法分別給出了三階收斂和四階收斂的迭代方法，文獻(xiàn)［6－7］根據(jù)求積公式分別提出了具有四階收斂和五階收斂的迭代方法。

1 迭代方法

考慮非線性方程組F（x）＝0，其中函數(shù)F（x）：D?Rn在凸集D?Rn上p階可微，且ξ是非線性方程組的一個(gè)實(shí)數(shù)根，對(duì)函數(shù)F（x）進(jìn)行Taylor展開(kāi)［8］得：

當(dāng)p＝1時(shí)，可得：

利用左矩形積分公式可得：

將（3）式帶入（2）式，并令F（x）＝0得：

進(jìn)而得到如下迭代格式：

（5）式為經(jīng)典的Newton迭代格式。對(duì)于（2）式中的積分部分，若利用不同的數(shù)值積分公式則可以得到不同的迭代方法。文獻(xiàn)［9］提出了2點(diǎn)Newton－Cotes公式，即閉－開(kāi)求積公式和開(kāi)－閉求積公式：

文獻(xiàn)［10］利用（6）式的2種積分公式來(lái)近似（2）式中的積分部分，得到：

相應(yīng)地得到了2種改進(jìn)的兩步求解非線性方程組的迭代方法，即

文獻(xiàn)［11］給出了1種改進(jìn)的求解非線性方程組的迭代方法，即

文獻(xiàn)［12］給出了1種改進(jìn)的求解非線性方程組的兩步Newton迭代方法，即

其中，y（m）＝x（m）－F′（x（m））－1F（x（m））為著名的二階收斂的Newton迭代方法。

文獻(xiàn)［7］根據(jù)以上公式得到了相應(yīng)的3種求解非線性方程組的迭代方法，并證明其是一階收斂的，即

本文在上述三步五階迭代方法的基礎(chǔ)上再加一步，得到了相應(yīng)的3種新的求解非線性方程組的迭代方法，并證明其是五階收斂的。（1）新方法一。

（2）新方法二。

（3）新方法三。

（8）～（17）式中m＝0，1，2，…。

2 收斂分析

定理1 設(shè)F（x）：D?Rn→Rn在凸集D 上p階可微，且非線性方程組F（x）＝0在凸集D上存在根η，則上面提出的3種迭代方法（15）～（17）式都是八階收斂的，且滿足誤差等式：

其中

證明 先證明方法一，即（15）式具有八階收斂。分別將F（x（m））、F′（x（m））、F′（y（m））在點(diǎn)η處運(yùn)用Taylor公式展開(kāi)得：

由（18）式和（15）式的預(yù)測(cè)一可得：

由（21）式可得：

其中，

由（22）式可得：

其中，

因?yàn)椋?］

所以［7］

其中，R5＝L5／2＋C42；R6＝L6／2＋P6／2；R7＝L7／2＋P7／2；R8＝L8／2＋P8／2。

所以有：

其中，

T6＝2C2R6＋34C3C42； T7＝2C2R7＋32C22C3L4； T8＝2C2R8＋34C3L24＋3C22C3C5。

由（24）式可得：

綜上可得：

即證得新方法一（15）式具有八階收斂，同樣可證得新方法二、新方法三都具有八階收斂。

3 數(shù)值實(shí)例

分別用牛頓迭代公式（Newton）、文獻(xiàn)［7］提出的算法（方法一和方法三）以及本文提出的3種新方法（取其中的新方法一和新方法三）求解幾個(gè)非線性方程組，并比較這些不同的方法在每次迭代后得到的近似解。所有的結(jié)果都是在Matlab R2010b環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的。

例1 解非線性方程組：

取初始值為［2.5，5］T，數(shù)值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1所列。

例2 解非線性方程組：

取初始值為［0.5，2，3］T，數(shù)值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2所列。

表1 例1不同方法迭代3次后的計(jì)算結(jié)果

表2 例2不同方法迭代3次后的計(jì)算結(jié)果

以上數(shù)值實(shí)例表明，本文提出的3種求解非線性方程組的方法都是可行的，且所需的迭代次數(shù)較少，收斂速度較快。

效率指數(shù)如圖1所示，由圖1可以得到，當(dāng)?shù)螖?shù)n＜3.5時(shí)，本文的方法效果相對(duì)較好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了3種新的解非線性方程組的方法，并證明其具有八階收斂性；數(shù)值實(shí)例表明這3種方法都是可行的，且本文方法迭代的次數(shù)較少，收斂速度較快，本文方法效率指數(shù)也相對(duì)較好。

圖1 效率指數(shù)圖

［1］ 李慶揚(yáng)，莫孜中，祁力群，等.非線性方程組的數(shù)值解法［M］.北京：科學(xué)出版社，1987：25－108.

［2］ 同濟(jì)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)教研室.現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算［M］.北京：人民郵電出版社，2009：10－90.

［3］ 陳小惠，唐 爍.解非線性方程的一類多參數(shù)迭代格式［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，34（2）：309－312.

［4］ Darvishi M T，Barati A.Super cubic iterative methods to solve systems of nonlinear equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，188（2）：1678－1685.

［5］ Babajee D K R，Dauhoo M Z，Darvishi M T，BaratiA.A note on the local convergence of iterative methods based on Adomian decomposition method and 3－node quadrature rule［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，200（1）：452－458.

［6］ 代璐璐，檀結(jié)慶.兩種解非線性方程組的四階迭代方法［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2012，33（2）：121－128.

［7］ 張 旭，檀結(jié)慶.三步五階迭代方法解非線性方程組［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2013，35（3）：297－304.

［8］ Ortega J M，Rheinboldt W C.Iterative solution of nonlinear equations in several variables［M］.New York and London：Academic Press，1970：30－268.

［9］ Podisuk M，Chundang U，Sanprasert W.Single step formulas and multi－step formulas of the integration method for solving the initial value problem of ordinary differential equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，190（2）：1438－1444.

［10］ Noor M A，Waseem M.Some iterative methods for solving a system of nonlinear equations［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，57（1）：101－106.

［11］ Khirallah M Q，Hafiz M A.Novel three order methods for solving a system of nonlinear equations［J］.Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards，2012，1（2）：1－14.

［12］ Cordero A，Hueso J L，Martinez E，Torregrosa J R.Increasing the convergence order of an iterative method for nonlinear systems ［J］.Applied Mathematics Letters，2012，25（12）：2369－2374.