武冠宏， 趙 韓， 吳占雨， 余 晗

（合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，安徽 合肥 230009）

隨著國內(nèi)外三坐標測量機的迅速發(fā)展，三坐標檢測技術已經(jīng)成為檢測齒輪精度的重要手段［1］。三坐標測量主要實現(xiàn)方法是在計量級三坐標測量機或齒輪測量機上，按照預定的遍布全齒面的網(wǎng)格測量網(wǎng)格結(jié)點處的齒面坐標，再通過適當?shù)能浖幚?，得到網(wǎng)格結(jié)點處的法向偏差，進而求得差曲面的幾何參數(shù)，并運用誤差相關性識別技術，求得最佳切齒修正方案［2－3］。

螺旋錐齒輪傳動嚙合齒面之間的接觸方式為空間點接觸，在考慮嚙合過程中齒面彈性變形的情況下，兩齒面間的接觸是以接觸點為中心形成的一個橢圓形接觸區(qū)［4］。且傳動效率與兩齒面間的接觸軌跡有直接關系，為了使齒面的動靜態(tài)性能良好，實際生產(chǎn)時螺旋錐齒輪齒面以經(jīng)過理論優(yōu)化的齒面為目標齒面，這樣可以在實際生產(chǎn)中重復制造出經(jīng)過幾何精度控制技術和實踐檢驗而設計出的齒面。因此，基于三坐標測量機的齒面幾何精度控制技術和齒面接觸分析已成為現(xiàn)代螺旋錐齒輪加工精度技術的發(fā)展趨勢，未來的應用會更加廣泛。

1 基于嚙合原理的齒面方程理論

建立螺旋錐齒輪的齒面數(shù)學模型是三坐標測量的基礎，在此基礎上，齒面幾何建模、齒面網(wǎng)格測量點計算以及真實齒面建模等步驟可以有章可循，為研究真實齒面接觸分析、斷裂分析和建立調(diào)整機床加工參數(shù)與齒面誤差之間的方程提供了必要準備。

小輪加工中使用了刀傾機構，因此在具體處理時會復雜得多，為了不失一般性，本文只建立左旋小輪的齒面模型。首先建立小輪的加工坐標系如圖1所示，其中，Sm1＝｛om1：xm1ym1zm1｝，Sq＝｛oq：xqyqzq｝，為機床和工件坐 標系并 與床身固連。Sc＝｛oc：xcyczc｝、S1＝｛o1：x1y1z1｝分別為與搖臺、齒輪固連的可運動坐標系；St1＝｛ot1：xt1yt1zt1｝為與刀具固連的坐標系；Sb＝｛ob：xbybzb｝為刀具刀傾刀轉(zhuǎn)前與搖臺固連的坐標系；Sn＝｛on：xnynzn｝為輔助坐標系并與機床固連［5］。

圖1 機床與刀具關系

由文獻［6］可知齒面方程建立所需參數(shù)。小輪刀盤圓錐面方程可表示為：

其中，rc為刀尖半徑；α為刀具齒形角，αp＝－α；sp為刀刃與輪坯嚙合點到刀頂?shù)木嚯x。

刀盤坐標系St1到固連于搖臺的坐標系Sc的坐標變換為：

固連于搖臺的坐標系Sc到固連于機床的坐標系Sm1的坐標變換為：

固連于機床的坐標系Sm1到工件坐標系S1的坐標變換為：

以切削面為第1曲面，小輪為第2曲面，設小輪在坐標系Sm1下的角速度為：

則小輪加工時產(chǎn)形輪在坐標系Sm1下的角速度為，令

根據(jù)齒輪嚙合原理有：

則嚙合方程可表示為：

將（15）式寫成sp的表達式，小輪齒面方程在齒輪坐標系S1中可簡寫成曲面坐標函數(shù)的形式：

2 齒面網(wǎng)格劃分、節(jié)點測量及誤差修正

螺旋錐齒輪的齒面是復雜空間曲面，為了最大范圍取得齒輪嚙合范圍的測量點，一般將齒面旋轉(zhuǎn)投影到軸截面上形成拓撲圖，選取平面映像與齒面點一一對應均勻的點。

在螺旋錐齒輪齒面的投影邊界被確定以后，就可以進行網(wǎng)格劃分，采用螺旋錐齒輪測量的相關標準，求得旋轉(zhuǎn)投影面上的網(wǎng)格節(jié)點函數(shù)后，將投影面上的節(jié)點坐標轉(zhuǎn)換到齒面上，實現(xiàn)真實齒面數(shù)字化表達。最后，設曲面上任一網(wǎng)格節(jié)點處到齒輪軸線的距離為S＝nr（θ，u），通過迭代和坐標變換即可求出節(jié)點坐標值。

三坐標測量步驟如下：

（1）齒輪定位，保證被測齒輪中心與轉(zhuǎn)臺中心重合。

（2）確定基準，建立坐標系。三坐標測頭在齒輪基準面上取點以確定基準面在三坐標測量機中的位置，進而可以確定齒輪在坐標測量機中的位置，然后建立齒輪坐標系。

（3）選取測針。測針的選擇原則是被測點的切平面與過該點的端平面的交線與測針的夾角必須大于0［7］，所以對于節(jié)錐角大的大輪，一般采用一根垂直測針來完成，節(jié)錐角小的齒輪則采用水平測針來完成。但利用點測量方法在描述真實齒面的過程中，精確度往往會降低，對誤差的合成產(chǎn)生影響。

以機載格里森螺旋錐齒輪為例，齒輪模數(shù)為3.5，螺旋角為14°07′47″，壓力角為20°00′00′，齒數(shù)為62。根據(jù)齒輪參數(shù)計算待測網(wǎng)格節(jié)點的三坐標值并把各節(jié)點坐標值存入數(shù)據(jù)庫中，為減少隨機誤差，一般選取齒輪的4個齒進行測量［8］；根據(jù)文獻［9］方法可知，該齒輪測量選用5×9的網(wǎng)格節(jié)點。因為網(wǎng)格過密則可能把測量誤差帶入測量結(jié)果，網(wǎng)格過疏又不能很好反映齒輪的齒面形狀，所以一般都取5×9的網(wǎng)格。最后，將三坐標測量機依次測量各個節(jié)點的實際坐標值存入數(shù)據(jù)庫中。至此，完成對1個齒的測量，另外3個齒的測量方法與之相同。

根據(jù)上述測量的齒面誤差數(shù)據(jù)計算出齒面誤差，通過改變刀具與輪坯的相對位置和相對速度調(diào)整機床參數(shù)使之滿足誤差平方和最?。?0］。因此，理論齒面方程可以理解為各個調(diào)整參數(shù)的函數(shù)，本文使用敏感系數(shù)矩陣作為測量網(wǎng)格點的法向誤差的主要參數(shù)。

機床參數(shù)調(diào)整引起微小變化的齒面法向誤差的疊加稱為齒面法向誤差［11］，即

其中，Δu為理論齒面i點的法向誤差值；Δξj為第j項機床調(diào)整參數(shù)的微小變化；λij為齒面i點誤差隨第j項機床調(diào)整參數(shù)變化的敏感系數(shù)，各敏感系數(shù)可以通過對各項機床調(diào)整參數(shù)求偏導和點乘對應點的法矢得到，即λij＝（?ui／?ξj）·ni。選取實例中理論齒面上取的點，分別求取各點法向誤差隨機床調(diào)整參數(shù)變化的敏感系數(shù)，建立敏感系數(shù)矩陣，則全齒面上點的法向總誤差為：

其中，λij為齒面點隨機床調(diào)整參數(shù)變化的敏感系數(shù)矩陣。

根據(jù)總誤差的敏感系數(shù)矩陣，調(diào)整（18）式中參數(shù)，即可進行對齒面誤差的修正。

3 實驗驗證

為驗證上述理論，對某型無人機主減速器的格里森螺旋錐齒輪進行三坐標檢測，并與普通齒輪測量儀檢測的結(jié)果進行對比。齒輪實物如圖2所示。參數(shù)如前所述。

圖2 實驗用螺旋錐齒輪

實驗結(jié)果見表1、表2所列，如圖3、圖4所示。表中，F(xiàn)a為齒廓總偏差；ffa為齒廓形狀偏差；fHa為齒廓斜率偏差；Ca為齒廓凸度。

表1 齒輪測量儀測量數(shù)據(jù)

從實驗結(jié)果可知，基于三坐標檢測的輪廓總偏差值和齒距累計總誤差值要遠小于普通齒輪檢測儀，避免了由誤差造成的測量精度不準的問題，因此可將此類數(shù)據(jù)應用于齒面修正和機床加工參數(shù)修正，提高螺旋錐齒輪加工精度。

表2 三坐標測量儀測量數(shù)據(jù)

圖3 普通齒輪測量儀檢測結(jié)果

圖4 三坐標檢測結(jié)果

4 結(jié)束語

本文根據(jù)基本嚙合原理建立了理想螺旋錐齒輪齒面方程，并劃分了測量網(wǎng)格，利用三坐標測量機成功進行螺旋錐齒輪參數(shù)的測量，驗證了齒面方程的正確性，并做了對比實驗。結(jié)果表明：三坐標檢測具有較小的齒面輪廓偏差、齒距累計誤差和較高的測量精度，提高了測量準確性，并可以將測量數(shù)據(jù)應用于真實齒面方程的改進，對機床加工參數(shù)修正有一定參考價值，對提高螺旋錐齒輪的齒面精度控制有積極作用。

［1］ 劉祚時，倪瀟娟.三坐標測量機（CMM）的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢［J］.機械制造，2004，42（48）：33－35.

［2］ 王 軍，王小椿，姜 虹，等.螺旋錐齒輪齒面的三坐標測量［J］.機械工程學報，2003，39（6）：151－155.

［3］ 聶恒敬.齒輪檢測設備誤差修正研究 ［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，1993，26（Z1）：10－14.

［4］ 沈小星，周云飛，李左章，等.螺旋錐齒輪點接觸齒面生成法［J］.中國機械工程，1999，16（7）：45－48.

［5］ 梁 艷.三維坐標測量機實現(xiàn)螺旋錐齒輪測量的研究［J］.科技信息，2009（19）：465－466.

［6］ 邢 彬.螺旋錐齒輪齒面三坐標測量機測量關鍵技術與測量數(shù)據(jù)應用研究［D］.長沙：中南大學，2010.

［7］ 梁 艷，張 琳，李仕春，等.弧齒錐齒輪齒面坐標法測量的研究［J］.工具技術，2006（40）：120－123.

［8］ 余曉芬，費業(yè)泰.齒形誤差測量最佳被測齒面的確定［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，1993，26（Z1）：23－26.

［9］ 呂罕聰.螺旋錐齒輪測量方法研究［D］.西安：西安理工大學，2007.

［10］ 蘇進展，方宗德，谷建功.螺旋錐齒輪齒面誤差修正［J］.農(nóng)業(yè)機械學報，2010，41（3）：200－204.

［11］ 唐進元，邢 彬.基于三坐標測量機的螺旋錐齒輪加工參數(shù)反 調(diào) 修 正 ［J］.北 京 工 業(yè) 大 學 學 報，2010，36（11）：1451－1456.