王銀珠，黃 麗

（太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原030024）

0 引 言

是H 上 的 純 態(tài)．設(shè)H ＝H1?H2?… ?Hm，dimH≤＋∞，｜ψ〉∈H 稱為全可分的，如果

眾所周知，量子糾纏態(tài)是一種很重要的物理資源［1］．目前對于糾纏態(tài)的識別問題已有很多著名的結(jié)果［2－7］，但是仍無法有效地鑒別所有的量子態(tài)．記S（H）表示空間H 上的全體量子態(tài)組成的集合．設(shè)ρ∈S（H），如果ρ2＝ρ，則ρ為純態(tài)，否則稱ρ為混合態(tài)．一般地，純態(tài)用Hilbert空間中的復(fù)單位向量表示，記為｜ψ〉，ρ＝｜ψ〉〈ψ｜是其對應(yīng)的密度算子．而混合態(tài)一般可表示為純態(tài)的凸組合形式，即ρ＝∑ipiρi，這里pi≥0，∑ipi＝1，ρi

首先給出一些符號．設(shè)H1，H2分別是與量子系統(tǒng)1，2相結(jié)合的可分復(fù)Hilbert空間，dimHi＝di（i＝1，2，），M 是量子系統(tǒng)H1?H2上的可觀測量算子．設(shè)ρ是H1?H2上的量子態(tài)，記〈M〉ρ＝Tr（ρM）表示可觀測量M 在量子態(tài)ρ 上的平均值，δ2ρ〈M〉＝〈M2〉p－〈M〉2p表示可觀測量M 在量子態(tài)ρ 上的 方 差．設(shè)｛M（i）k ｝d2ik＝1分別為d2i個作用在Hi

上的不可交換的可觀測量，它們組成了可觀測量空 間 的 一 組 正 交 歸 一 基， 可 以 證 明Tr（M（i）kM（i）i）＝δkl，這里δ是特征函數(shù)，Tr（·）是跡運(yùn)算，且這里另 外 注 意 到當(dāng)且僅當(dāng)ρi 是M（i）

k 的本征態(tài)．許多

觀測量（LOOs）．2003年，Hofmann H F 引入局域不確定關(guān)系（Local uncertainty relations），提出了一個兩體量子態(tài)的糾纏判據(jù)［8］．文獻(xiàn)［8］給出了如下的局域不確定關(guān)系，描述為：設(shè)｛M（i）k｝d2ik＝1分

別為d2i個作用在Hi上的不可交換的可觀測量，則一定存在ui＞0，使得

對每一個i＝1，2成立．進(jìn)一步根據(jù)文獻(xiàn)［9］，這里的ui可取為di－1，故進(jìn)一步，文獻(xiàn)［8］提出了一個兩體量子態(tài)的糾纏判據(jù)，其描 述 為：令且如果ρ∈S（H）可分，則，其中一般地，當(dāng)M（i）k形式較復(fù)雜時給出這樣的ui比較困難． 對 于 單 量 子 比 特 情 形， 可 取作為系統(tǒng)的一組局域正交可觀測量，這里σx，σy，σz為Pauli矩陣，I2為二階單位矩陣，注意到

2009年，Ma Zhihao等基于局域正交可觀測量所定義的斜信息提出了與局域測不準(zhǔn)關(guān)系判據(jù)對偶的糾纏判據(jù)［10］，描述為：設(shè)

眾所周知，識別多體量子態(tài)的糾纏性越來越引起國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，最近利用局域正交可觀測量以及斜信息探測量子態(tài)的糾纏性問題也取得了一些值得關(guān)注的結(jié)果，2014 年，Yu［12］和Saboia［13］分別利用斜信息以及不確定關(guān)系研究了量子態(tài)的關(guān)聯(lián)性．2015年，作者Guo［14］使用不確定關(guān)系研究了XY 自旋鏈的關(guān)聯(lián)性．本文主要利用多體復(fù)合系統(tǒng)的局域正交可觀測量得到了多體量子態(tài)全可分的若干必要條件，推廣了文獻(xiàn)［9－10］的有限維兩體量子系統(tǒng)的相應(yīng)結(jié)果．

為了給出本文的主要結(jié)果，作如下定義：如果1≤k≤d2i，｛M（i）k｝d2ik＝1分別為d2i個作用在Hi上的不可交換的可觀測量（i＝1，2，…，m），如果d2i＜k≤n，n＝max｛d2i，i＝1，2，…，m｝，｛M（i）k｝取為零算子．令

1 主要結(jié)果

證畢．

例1 設(shè)H ＝HA?HB?HC，dimHA＝dimHB＝dimHC＝2，考慮三量子比特的Werner態(tài)取HA，HB，HC的局部正交可觀測量集合為記

例2 設(shè)H ＝HA?HB?HC，dimHA＝dimHB＝dimHC＝2，考慮三量子比特的Werner態(tài)和GHZ態(tài)的組合（［1］）：ρt＝t｜GHZ〉〈GHZ｜＋取HA，HB，HC的 局 部 正 交 可 觀 測 量 集 合 為可以獲得注意到當(dāng)0≤t≤1，總有

證畢．

例3 仍然考慮例2給出的態(tài)ρt，取HA，HB，HC的 局 部 正 交 可 觀 測 量 集 合 為

在Hi上的不可交換的可觀測量（i＝1，2，…，m），

證畢．

引 理1［9］設(shè)為d2個 作 用 在H 上 的 不可交換的可觀測量，則

式中：I（ρi，Mk）（i＝1，2）的定義如式（4）．

證明 設(shè)ρ＝∑spsρs 為一混合態(tài)且全可分，設(shè)注意到根據(jù)引理1，有

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