李超兵 呂新廣 王志剛 鄧逸凡

1.北京航天自動控制研究所，北京100854

2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072

迭代制導(dǎo)方法［1-2］在運載火箭上升段入軌問題中已有成熟應(yīng)用［3］，相比攝動制導(dǎo)方法具有制導(dǎo)精度高、任務(wù)適應(yīng)性強、箭上飛行軟件簡單和對地面諸元準(zhǔn)備要求相對較低的特點［4］。國外有學(xué)者研究了更為復(fù)雜的運動模型和控制模型下的迭代制導(dǎo)最優(yōu)算法［5-7］;國內(nèi)學(xué)者茹家欣［8］、吳楠［9］、王煬［10］等針對迭代制導(dǎo)算法中的控制模型、終端約束、橫截條件等進行了改進。傅瑜等［4］給出了一種適用于大姿態(tài)角范圍的迭代制導(dǎo)方法，并推導(dǎo)了其雅可比矩陣的解析式。呂新廣［11］等在迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上論述了工程應(yīng)用中的可靠性設(shè)計方法，包括對迭代算法可靠性保障措施、迭代次數(shù)控制和迭代制導(dǎo)分段數(shù)選取。

本文將迭代制導(dǎo)方法應(yīng)用于空間變軌任務(wù)，提出一種適用于目標(biāo)軌道為圓軌道情形的改進迭代制導(dǎo)方法。直接以軌道要素為終端約束的邊界條件，不僅適應(yīng)空間變軌的大姿態(tài)變化，而且各個約束方程求解精度直接決定目標(biāo)軌道各個軌道要素的入軌精度，得到一種簡單有效、適應(yīng)大姿態(tài)角變化的迭代制導(dǎo)算法。

1 航天器空間變軌最優(yōu)控制問題

航天器點火后的空間變軌問題可描述為最優(yōu)控制問題。以航天器有限推力控制下的運動模型為狀態(tài)方程，初始狀態(tài)為導(dǎo)航系統(tǒng)提供的航天器當(dāng)前位置、速度，目標(biāo)集為目標(biāo)軌道要求給定的終端約束，控制域為所有推力方向，性能指標(biāo)為燃料最省，發(fā)動機秒流量固定時等效于飛行時間最短，建立航天器空間變軌數(shù)學(xué)模型，利用最優(yōu)控制理論進行求解。

(1)航天器運動方程

在發(fā)射慣性系下建立航天器運動方程，僅考慮地球引力和發(fā)動機推力，則航天器運動模型為

其中，r為航天器位置矢量;v為航天器位置矢量;g為地球引力加速度矢量;T為航天器的推力大小;m為航天器質(zhì)量，秒流量ms恒定時有m=m0-mst，m0為初始質(zhì)量;u為推力方向矢量。引力加速度建模為當(dāng)前點和終端點的引力加速度的平均值，即g=(g0+gf)/2，其中下標(biāo)“0”表示當(dāng)前點，下標(biāo)“f”表示終端點。

(2)最優(yōu)控制問題描述

建立航天器制導(dǎo)的最優(yōu)控制模型，取狀態(tài)變量為X=[r v]T，控制量即推力方向，U=u，則狀態(tài)方程為式(1)。性能指標(biāo)為燃料最省，亦即推力飛行時間最短，即

其中，θ為指標(biāo)函數(shù)的非積分部分，即tf;h為終端約束式;ξ為每個約束式對應(yīng)的乘子。式(16)展開為

2 基于軌道要素要求的終端約束條件

于是式(20)～(24)與式(18)和(31)組成所有7個橫截條件方程，結(jié)合協(xié)變量和最優(yōu)狀態(tài)量的表達式(7)和式(15)，則橫截條件方程組含λ0和tf共7個變量，可通過迭代求解，解得λ0和tf后，當(dāng)前時刻的控制量即為

整個算法的求解流程為:

1)參數(shù)裝訂:設(shè)計入軌點軌道要素a，i，Ω，ω+f，發(fā)動機推力T，秒流量ms，航天器初始質(zhì)量m0，飛行時間tf，協(xié)態(tài)變量λ的初始估計值;

2)導(dǎo)航輸入:航天器當(dāng)前時刻在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的位置、速度，計算得到慣性系下位置r、速度v;

3)計算設(shè)計入軌點位置并得到g，基于tf，λ0的初值，結(jié)合式(15)迭代求解式(18)、式(20)～(24)和式(30)組成的非線性方程組，得到tf，λ0的解。根據(jù)式(32)計算當(dāng)前時刻推力方向;

4)若tf小于某給定值，如5s，則制導(dǎo)終止，航天器保持當(dāng)前推力方向飛行完剩余時間后關(guān)機;否則轉(zhuǎn)流程5)。

5)將流程3)中解得的tf，λ0作為下一制導(dǎo)時刻的初值，轉(zhuǎn)流程2)。

3 仿真驗證

以航天器在橢圓停泊軌道近地點附近點火進入大橢圓軌道為例進行仿真。本文迭代制導(dǎo)方法得到的狀態(tài)量和控制量變化如圖1～3所示。

圖1 位置變化圖

變軌結(jié)果如表1所示。從表中可以看出，終端點的半長軸精度為km級，偏心率精度達到10-5量級，軌道傾角精度達到10-3(°)量級，升交點赤經(jīng)精度達到10-4(°)量級，近點角沒有約束，實際燃料消耗比設(shè)計值多3.6%。

圖2 速度變化圖

圖3 控制矢量變化圖

表1 變軌結(jié)果

4 結(jié)論

提出了一種適用于目標(biāo)軌道為圓軌道的以軌道要素為終端約束的迭代制導(dǎo)方法，以推力方向矢量為控制量適應(yīng)大姿態(tài)角的變化，以目標(biāo)圓軌道的軌道要素為終端約束。理論分析和仿真結(jié)果表明，所提出的迭代制導(dǎo)方法簡單有效，制導(dǎo)結(jié)果與設(shè)計的最優(yōu)值接近，能夠適用于空間變軌中的大姿態(tài)角變化情形，適應(yīng)性強，且計算簡單、易于實現(xiàn)。

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