姬聰云 南 英 安 彬 陳昊翔

南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京210016

進(jìn)入21世紀(jì)，以火星，小行星為牽引的探測(cè)計(jì)劃即將拉開(kāi)序幕?；鹦鞘堑厍虻慕?，它的特征在很多方面都與地球極為相似，是太陽(yáng)系八大行星之一，按離太陽(yáng)由近及遠(yuǎn)的次序排列為第4。火星對(duì)于人類有一種特殊的吸引力，因?yàn)樗翘?yáng)系中最近似地球的天體，它的赤道平面與公轉(zhuǎn)軌道平面交角非常接近于地球，這使它也有類似地球的四季交替，同時(shí)，火星的自轉(zhuǎn)周期為24小時(shí)37分，火星上的一天幾乎和地球上一樣長(zhǎng)。

有人認(rèn)為，火星的現(xiàn)在就是地球的未來(lái)。因而開(kāi)展火星探測(cè)和研究，對(duì)于認(rèn)識(shí)人類居住的地球環(huán)境，特別是認(rèn)識(shí)地球的長(zhǎng)期演化過(guò)程，具有十分重要的意義［1］。從1965年的“水手4號(hào)”探測(cè)器到2012年的“好奇號(hào)”火星探測(cè)器登陸火星，美國(guó)在火星探測(cè)方面已具有很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。而軌跡優(yōu)化是星際往返問(wèn)題(火星探測(cè))中至關(guān)重要的一步，牽涉到飛行器各種功能的實(shí)現(xiàn)和指標(biāo)任務(wù)的達(dá)成，NASA已經(jīng)確定了把軌跡優(yōu)化技術(shù)作為下一代多級(jí)重復(fù)使用航天器能否成功的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)［2］。

關(guān)于地球-火星往返軌跡優(yōu)化的論文并不多見(jiàn)，由文獻(xiàn)［3-4］可以看出，這些論文都只對(duì)由地球到火星的單程飛行軌跡進(jìn)行優(yōu)化，而且性能指標(biāo)也比較單一(飛行時(shí)間或者燃料消耗量)，但是在真實(shí)飛行環(huán)境下，必須考慮使飛行時(shí)間最短和燃料消耗量最少的控制條件。另外，隨著深空探測(cè)技術(shù)的日趨成熟，未來(lái)還要考慮探測(cè)器返回地球的軌跡優(yōu)化。美國(guó)近四十年的實(shí)驗(yàn)研究與實(shí)踐已積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)未來(lái)的飛行器設(shè)計(jì)已經(jīng)擁有較為具體的藍(lán)本;我國(guó)在本世紀(jì)初開(kāi)始了火星探測(cè)的規(guī)劃，并已經(jīng)實(shí)施。因此，本文以美國(guó)NASA火星探測(cè)器為飛行器模型，結(jié)合我國(guó)的航天任務(wù)需求，起飛地點(diǎn)等實(shí)際情況，采用一種組合優(yōu)化算法對(duì)整個(gè)火星探測(cè)的飛行軌跡(包括從地球到火星的飛行軌跡和從火星返回地球的飛行軌跡)進(jìn)行了全局一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)。該組合算法包括靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化方法。靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化采用遺傳算法，動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化采用原始自然算法。

1 問(wèn)題描述

2015年4月1日至2017年4月1日，將火星探測(cè)器從地球發(fā)射，在盡可能短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)火星，在火星探測(cè)工作1至2年時(shí)間，然后返回地球。

航天器的初始質(zhì)量m=1500kg，推進(jìn)器比沖Isp=3000s，推進(jìn)的速度方向可以任意設(shè)定，推進(jìn)器的開(kāi)關(guān)時(shí)間和次數(shù)沒(méi)有限制。

航天火星探測(cè)軌跡優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化目標(biāo)主要有:1)在火星駐留時(shí)間最長(zhǎng);2)飛行過(guò)程中所耗的燃料最省;3)往返飛行時(shí)間最短。航天器深空探測(cè)任務(wù)中在火星周圍駐留的時(shí)間越長(zhǎng)，能夠使航天器上的有效載荷工作時(shí)間最長(zhǎng)，獲得更多的有用信息數(shù)據(jù);航天器飛行過(guò)程中所消耗的燃料越少，所耗費(fèi)的成本越少，航天器之后也能進(jìn)行更多的其它探索任務(wù);往返飛行時(shí)間短可以使航天器所獲得的數(shù)據(jù)盡快傳送到地面研究人員手中，盡可能縮短人類探索太空的時(shí)間。

但是，顯然以上3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)并不能同時(shí)達(dá)到，需要優(yōu)化設(shè)計(jì)一整套飛行程序，使得以下綜合性能指標(biāo)式(4)～(10)達(dá)到最優(yōu)［5-7］，即:

飛行器最大可用推力:TMax=0.2N;飛行器離開(kāi)行星時(shí)的最大可用速度差:ΔVMax=1.21 km/s，在離開(kāi)地球和火星時(shí)，飛行器加速需要消耗一定的燃料，本問(wèn)題中不作考慮，由其它子系統(tǒng)提供;ΔVM，f與ΔVE，f分別是到達(dá)火星與地球時(shí)相對(duì)火星與地球的速度 限 制［8-9］，ΔVM，f，Max=4.0km/s，ΔVE，f，Max=11.0km/s。

由式(1)可得，要使性能指標(biāo)最大，航天器與火星交會(huì)時(shí)的誤差(dr，dv)最小，航天器返回地球時(shí)的剩余質(zhì)量mf最大，任務(wù)飛行時(shí)間t1最短，同時(shí)航天器留在火星探測(cè)的時(shí)間t2最長(zhǎng)。

在J2000坐標(biāo)系中，地球和火星繞太陽(yáng)運(yùn)行采用多體動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程:

2018年作為改革開(kāi)放40周年，從青磚黛瓦到高樓大廈，從綠皮火車到高鐵飛機(jī)，在中國(guó)擁抱世界的這四十年間，讓中國(guó)各行業(yè)翻開(kāi)新的篇章。作為一名工業(yè)媒體人， 更是感嘆我國(guó)從工業(yè)化水平低到世界制造大國(guó)，完成現(xiàn)代化工業(yè)的華麗轉(zhuǎn)身。在飛速發(fā)展的階段，總會(huì)有一些契機(jī)，來(lái)讓我們思考未來(lái)的方向。

式中，(Vx，Vy，Vz)為探測(cè)器的飛行速度，(x，y，z)為探測(cè)器的3個(gè)直角坐標(biāo)，(xi，yi，zi)為第 i顆行星的3 個(gè)直角坐標(biāo)，(Δxi，Δyi，Δzi)為第 i顆行星與探測(cè)器的坐標(biāo)值之差;r為探測(cè)器與太陽(yáng)間的距離，Δri為飛行器與第i顆行星的距離;T(Tx，Ty，Tz)為探測(cè)器的控制推力，m為探測(cè)器的質(zhì)量，Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖，g0=9.81m/s2;ns是所涉及到的行星個(gè)數(shù)，μs是太陽(yáng)引力常數(shù)，μi是第i顆行星的引力常數(shù)。

2 軌跡優(yōu)化方法

軌跡優(yōu)化算法采用組合優(yōu)化算法，優(yōu)化算法的組合方式參見(jiàn)文獻(xiàn)［10-12］，關(guān)于組合優(yōu)化算法優(yōu)化程序中用到的靜態(tài)參數(shù)與動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化算法分別是:1)靜態(tài)參數(shù)的迭代優(yōu)化算法為改進(jìn)遺傳算法，計(jì)算步驟參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］;

2)動(dòng)態(tài)參數(shù)的迭代優(yōu)化算法為原始的自然算法［14］。

原始的自然算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算步驟共分N+1步，在文獻(xiàn)［14］的物質(zhì)普適性算法基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化，與文獻(xiàn)［14］的計(jì)算步驟類同，具體的算法步驟如下:

第1步:計(jì)算t=t0～t1的軌跡，求從第0時(shí)段到第1時(shí)段最優(yōu)控制u*(0)，從起點(diǎn)X(0)=X0出發(fā)，求第1時(shí)段最優(yōu)控制u*(1)

在自然計(jì)算的飛行仿真過(guò)程中，淘汰大量飛行方案，繼承進(jìn)化了許多相對(duì)“優(yōu)化”的方案，詳細(xì)的計(jì)算步驟與邏輯框圖參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］。

3 仿真結(jié)果及分析

針對(duì)所提出的問(wèn)題式(1)～(11)，采用飛行軌跡的組合優(yōu)化算法，經(jīng)過(guò)大規(guī)模的飛行優(yōu)化數(shù)值仿真，得到一套最優(yōu)的地-火往返飛行方案如下。

3.1 飛行仿真的結(jié)果

3.1.1 探測(cè)器從地球飛向火星

飛行器從地球出發(fā)到達(dá)火星的最優(yōu)4-D飛行軌跡、速度—飛行時(shí)間、飛行器質(zhì)量—飛行時(shí)間、推力控制—飛行時(shí)間分別見(jiàn)圖1～4。

圖1 探測(cè)器從地球到火星的最優(yōu)飛行軌跡

3.1.2 經(jīng)過(guò)近500d在火星上的探測(cè)，探測(cè)器從火星返回地球

飛行器從火星返回地球的最優(yōu)4-D飛行軌跡、速度—飛行時(shí)間、飛行器質(zhì)量—飛行時(shí)間和推力控制—飛行時(shí)間分別見(jiàn)圖5～8。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖2 探測(cè)器出發(fā)后速度隨時(shí)間的變化

圖3 探測(cè)器出發(fā)后質(zhì)量隨飛行時(shí)間的變化

經(jīng)過(guò)大規(guī)模(靜態(tài)參數(shù)與動(dòng)態(tài)參數(shù)組合優(yōu)化的迭代)數(shù)值仿真，優(yōu)選出一套最優(yōu)飛行方案，該方案達(dá)到了在火星上探測(cè)時(shí)間的長(zhǎng)度、往返的飛行時(shí)間、所耗發(fā)動(dòng)機(jī)燃料的綜合性能指標(biāo)最優(yōu)，同時(shí)也滿足全部的約束條件。另外，由于多個(gè)性能指標(biāo)是通過(guò)加權(quán)系數(shù)來(lái)綜合一體優(yōu)化的，實(shí)際飛行任務(wù)中如果只需其中一個(gè)性能指標(biāo)最優(yōu)，就可設(shè)置其它性能指標(biāo)的權(quán)系數(shù)為0。

1)由仿真結(jié)果可以得到詳細(xì)的飛行時(shí)間窗口

飛行器從地球飛往火星時(shí)所選擇的時(shí)間窗口與逃離速度，縮短了飛往火星的飛行時(shí)間;同時(shí)飛行器從火星返回地球時(shí)所選擇的時(shí)間窗口與逃離速度，也縮短了返回地球的飛行時(shí)間，并使總的往返飛行時(shí)間最短，全部往返飛行時(shí)間為

圖4 探測(cè)器出發(fā)后控制量隨時(shí)間的變化

圖5 探測(cè)器從火星到地球的最優(yōu)飛行軌跡

同時(shí)，以上時(shí)間窗口的選擇滿足了飛行器在火星上的探測(cè)時(shí)間，即飛行器在火星上探測(cè)時(shí)間為:

2)燃料消耗量也同時(shí)得到了最小化

從圖4和圖8可以看出，探測(cè)器在整個(gè)飛行任務(wù)中燃料消耗了850kg，包括地球飛往火星消耗的燃料和完成火星探測(cè)后返回地球飛行消耗的燃料。

3)滿足各種約束條件

圖6 探測(cè)器返回時(shí)速度隨時(shí)間的變化

圖7 探測(cè)器返回時(shí)質(zhì)量隨時(shí)間的變化

滿足控制變量約束:從圖4和圖8可以看出，整個(gè)飛行任務(wù)過(guò)程中控制變量u小于0.2N。

滿足飛行狀態(tài)的終端約束:探測(cè)器從地球出發(fā)飛往火星，到達(dá)火星(離火星球心距離4485km)時(shí)飛行器相對(duì)火星的速度為ΔVM，f=2.5km/s，即滿足ΔVM，f≤4.0km/s;探測(cè)器從火星返回地球，到達(dá)地球(離地心距離6491km)時(shí)飛行器相對(duì)地球的速度為 ΔVE，f=5.12km/s，即滿足 ΔVE，f≤ 11.0km/s。

4)隱含了借力飛行

從圖2與圖6可以看到，在飛行器靠近火星或地球時(shí)，飛行速度大小在增大，距離目標(biāo)星的相對(duì)距離在減小，這隱含了飛行器借力飛行。

圖8 探測(cè)器返回時(shí)控制量隨時(shí)間的變化

4 結(jié)論

針對(duì)探測(cè)器在地球與火星之間往返飛行軌跡的全局一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，采用一種航天器軌跡優(yōu)化的組合算法，即靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化+動(dòng)態(tài)優(yōu)化相互迭代的數(shù)值優(yōu)化算法。在滿足全部各種約束條件下，經(jīng)過(guò)大規(guī)模的數(shù)值飛行仿真，得到了在地球與火星之間的全局一體的最優(yōu)往返飛行軌跡，其中包括探測(cè)器分別離開(kāi)地球與火星時(shí)的最優(yōu)發(fā)射時(shí)間窗口與逃逸速度等。該飛行器沿著最優(yōu)4-D軌跡飛行，可獲得最小的燃料消耗量，最短的往返飛行時(shí)間(即有限時(shí)間內(nèi)在火星上探測(cè)時(shí)間最長(zhǎng));另外，飛行器在達(dá)到火星或地球時(shí)，分別達(dá)到行星的相對(duì)速度均滿足約束條件。這里指出，本文是基于多體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行的軌跡優(yōu)化，即隱含了借力飛行等因素，該飛行仿真結(jié)果具有實(shí)際的理論與工程價(jià)值，對(duì)未來(lái)我國(guó)火星探測(cè)飛行任務(wù)具有參考價(jià)值。

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