張邦基,黃訓(xùn)浩,張 農(nóng),謝慶喜

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

局域共振聲子晶體失諧梁的減振特性研究

張邦基,黃訓(xùn)浩?,張 農(nóng),謝慶喜

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

通過(guò)把聲子晶體中的局域共振特性應(yīng)用到梁上形成一種局域共振梁，在局域共振周期梁的基礎(chǔ)上，引入晶格參數(shù)失諧，提出一種新型的局域共振失諧梁.對(duì)失諧梁和周期梁分別進(jìn)行正弦激勵(lì)響應(yīng)和頻率響應(yīng)分析，并改進(jìn)能量法，可得出結(jié)論：通過(guò)選擇合適的失諧參數(shù)，可使失諧梁較傳統(tǒng)周期梁具有更好的減振特性.

失諧梁；正弦激勵(lì)響應(yīng)分析；頻率響應(yīng)分析；能量法

隨著機(jī)械工程的快速發(fā)展，人們對(duì)舒適性的要求越來(lái)越高.因此，必須注重對(duì)減振特性技術(shù)的研究，尤其是工程結(jié)構(gòu)的減振特性.梁類(lèi)結(jié)構(gòu)作為工程中的一種基本的結(jié)構(gòu)，是產(chǎn)生振動(dòng)的主要載體，因此梁類(lèi)結(jié)構(gòu)成為了減振特性的主要研究對(duì)象.

通過(guò)對(duì)聲子晶體的研究[1-2]，發(fā)現(xiàn)聲子晶體具有帶隙的特性[3]，落在帶隙中的彈性波是禁止傳播的.類(lèi)比聲子晶體的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，將聲子晶體中的局域共振特性應(yīng)用到梁上形成一種局域共振梁[4].然而由于實(shí)際工程中，振動(dòng)和噪聲的傳遞是呈現(xiàn)倍頻成分的，單振子就不能滿(mǎn)足工程要求，而周期排列的振子在工程中會(huì)有一定的減振的性能[5].

為了尋找更好的減振技術(shù)，本文引入晶格參數(shù)失諧[6]，也就是說(shuō)通過(guò)改變相鄰振子的間距，使共振單元的排列無(wú)規(guī)律，控制失諧量的大小范圍，提出一種新型的局域共振聲子晶體失諧梁.再對(duì)失諧梁進(jìn)行正弦激勵(lì)響應(yīng)和頻率響應(yīng)的仿真并和周期梁進(jìn)行響應(yīng)幅值的比較，并結(jié)合能量法分別計(jì)算兩者的能量，發(fā)現(xiàn)并確定失諧梁比周期梁具有更好的減振特性，為減振技術(shù)的研究提供了一種新的方法.

1 局域共振失諧梁減振實(shí)質(zhì)

本文所提出的局域共振失諧梁實(shí)際上也是一種新型的多振子共振梁，在周期梁的基礎(chǔ)上引入晶格失諧參數(shù)，它可以簡(jiǎn)化為彈簧-質(zhì)量模型[7]，相當(dāng)于一種新型的動(dòng)力吸震器.多個(gè)彈簧-質(zhì)量模型分布在細(xì)長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)上可以產(chǎn)生縱向振動(dòng)的局域共振帶隙，禁止彈性波的能量的傳播，如圖1所示.它和傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器減振技術(shù)相比，局域共振失諧梁減振實(shí)質(zhì)：它是利用多振子共振梁結(jié)構(gòu)的帶隙特性來(lái)抑制結(jié)構(gòu)中的彈性波傳播，來(lái)達(dá)到減振的目的.

圖1 局域共振失諧梁簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)

假設(shè)梁僅作對(duì)稱(chēng)彎曲振動(dòng),取梁的軸線(xiàn)水平方向作為x軸，并且振動(dòng)過(guò)程中梁僅有y方向橫向位移u(x,t).同樣假設(shè)局域共振單元的間距遠(yuǎn)大于截面尺寸，滿(mǎn)足歐拉—伯努利梁條件.則單個(gè)周期內(nèi)沿x軸傳播的彎曲彈性波方程滿(mǎn)足如下波動(dòng)方程[8]：

(1)

式中w(x,t)為橫向振動(dòng)位移；ρ為密度；E為彈性模量；A為梁的截面積；I為抗彎截面系數(shù).

(2)

基于能量法從相對(duì)能量率的角度來(lái)計(jì)算彈性波在傳播過(guò)程中的能量.能量與幅值的平方是成正比的，即E∝A2，定義時(shí)域的能量為：

(3)

式中kt為比例系數(shù)；A(t)為拾取點(diǎn)t時(shí)刻的幅值；t0為采樣時(shí)間.

由于失諧梁與周期梁同一位置的A(t)不同，彈性波在共振梁傳播過(guò)程中的能量也會(huì)產(chǎn)生差異.

因此，通過(guò)合理地調(diào)整晶格失諧參數(shù)，便可實(shí)現(xiàn)失諧梁比周期梁具有更好的減振特性.

2 局域共振失諧梁模型的建立

2.1 周期梁模型

本文選用的周期梁模型如圖2所示，梁的總長(zhǎng)設(shè)計(jì)為600mm，共有6個(gè)局域共振單元，其中每一個(gè)共振單元的長(zhǎng)度為25mm，相鄰兩個(gè)共振單元之間的間隔為75mm.梁的材料是樹(shù)脂[9]，密度1 180kg/m3,楊氏模量0.435×1010Pa，泊松比0.367 9；中間層的材料為硫化橡膠，密度1 300kg/m3,楊氏模量1×106Pa，泊松比0.470 6；最外層的材料為鉛，密度11 600kg/m3,楊氏模量4.08×10-10Pa，泊松比0.369 1.梁的半徑為5mm，中間層的橡膠外徑為8mm，最外層的鉛外徑為10mm.

圖2 周期梁及其截面圖

2.2 失諧梁模型

本文在周期梁的基礎(chǔ)上直接引入20%的晶格參數(shù)失諧，提出一種全新的局域共振梁，如圖3所示.晶格參數(shù)失諧的程度用失諧量來(lái)表示.選用的材料參數(shù)以及梁和局域共振單元的幾何參數(shù)與周期梁完全相同，與周期梁的區(qū)別是：局域共振單元不再周期排列，相對(duì)于周期梁的共振單元有軸向平移.

圖3 失諧梁和周期梁共振單元間距圖

Δ=-(a+l)×β～(a+l)×β

(4)

式中a為周期梁兩個(gè)局域共振單元間的距離，a=75mm；l為共振單元的長(zhǎng)度，l=25mm；β為失諧百分比，β=20%；Δ為允許的失諧范圍.

通過(guò)式(4)計(jì)算可知失諧范圍為-20mm～20mm.

此處失諧梁共振單元的失諧量分別取為 -5mm,15mm,10mm,5mm，-15mm，-10mm.

取軸的最左端的坐標(biāo)為0，失諧梁和周期梁的共振單元的位置坐標(biāo)如表1所示.di表示失諧梁和周期梁第i個(gè)共振單元的間距，如圖3所示.d1=5 mm，d2=10 mm，d3= 20 mm，d4=25 mm，d5=10 mm，d6=0 mm.

表1 失諧梁和周期梁的共振單元的位置坐標(biāo)

3 基于能量法的減振特性分析

3.1 正弦激勵(lì)響應(yīng)分析

建立周期梁和失諧梁的有限元模型.設(shè)置接觸條件，材料參數(shù)以及屬性，對(duì)梁的一端進(jìn)行固定.在梁的自由端施加垂直于梁的軸線(xiàn)方向的正弦激勵(lì)x(t)=sin (250 πt)mm，激勵(lì)時(shí)間為一個(gè)信號(hào)周期0.008s.分別在距離失諧梁和周期梁的固定端軸向距離5mm處拾取響應(yīng)，采樣時(shí)間為0.04s.失諧梁的激勵(lì)點(diǎn)和拾取點(diǎn)如圖4所示,周期梁的激勵(lì)點(diǎn)和拾取點(diǎn)在相同位置.仿真分析后將失諧梁和周期梁的響應(yīng)曲線(xiàn)放在一起進(jìn)行比較，得到的正弦激勵(lì)響應(yīng)曲線(xiàn)如圖5所示.

圖4 失諧梁響應(yīng)激勵(lì)點(diǎn)和拾取點(diǎn)

時(shí)間/s

通過(guò)對(duì)比失諧梁和周期梁的響應(yīng)曲線(xiàn)可知，失諧梁響應(yīng)在采樣時(shí)間內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)幅值的絕對(duì)值要明顯小于周期梁，即失諧梁能更好地抑制彈性波的傳播.

為了更可靠地驗(yàn)證失諧梁的減振特性效果確實(shí)要優(yōu)于周期梁，基于能量法從相對(duì)能量率的角度來(lái)驗(yàn)證.

根據(jù)式(3)，失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對(duì)能量率η可由下式計(jì)算：

(5)

式中EΔ為失諧梁中彈性波傳播過(guò)程的總能量；ET為周期梁中彈性波傳播過(guò)程的總能量；A(t)Δ為失諧梁拾取點(diǎn)t時(shí)刻的幅值；A(t)T為周期梁拾取點(diǎn)t時(shí)刻的幅值.

經(jīng)過(guò)計(jì)算得相對(duì)能量率η=-32.87%.施加正弦激勵(lì)后產(chǎn)生的彈性波經(jīng)過(guò)失諧梁傳播的能量要比周期梁下降32.87%，能量減少比較明顯.因此，失諧梁在抑制彈性波傳播時(shí)效果要比周期梁好.

3.2 頻率響應(yīng)分析

有限元模型進(jìn)行同正弦激勵(lì)響應(yīng)分析一樣的前處理，對(duì)梁的一端進(jìn)行固定.在梁的另一端，也就是自由端，施加大小為1 000N的力，方向與桿的軸向垂直，頻率變化范圍為0～300Hz的信號(hào)激勵(lì)，分別在距離失諧梁和周期梁的固定端軸向距離5mm處拾取響應(yīng)，仿真分析后將失諧梁和周期梁的響應(yīng)曲線(xiàn)放在一起比較，得到的瞬態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖6所示.

頻率/Hz

通過(guò)對(duì)比失諧梁和周期梁的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)可知，失諧梁的頻響在0～20Hz的頻率范圍內(nèi)幅值的絕對(duì)值明顯要比周期梁小很多，在圖中其它頻率區(qū)間失諧梁較周期梁的振動(dòng)幅值的絕對(duì)值只是略小并不太顯著，可以通過(guò)兩者的頻率響應(yīng)函數(shù)dB的曲線(xiàn)來(lái)進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示.共振峰頻率是由局域共振結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)所決定的.我們可以發(fā)現(xiàn)在60～110Hz范圍內(nèi)，失諧梁相對(duì)于周期梁的分貝值差別不大.在0～60Hz以及大于110Hz的高頻范圍內(nèi)，減振特性效果非常顯著，而且頻率越高作用越大.

頻率/Hz

類(lèi)比時(shí)域，基于能量法計(jì)算頻域內(nèi)失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對(duì)能量率的大小.

定義頻域的能量為

(6)

式中kf為比例系數(shù)；Δf為頻率的變化范圍;A(f)為拾取點(diǎn)在激勵(lì)頻率為f時(shí)的幅值.

(7)

式中f0為激勵(lì)截止頻率，f0=300Hz；A(f)Δ為失諧梁的拾取點(diǎn)在激勵(lì)頻率為f時(shí)幅值；A(f)T為周期梁的拾取點(diǎn)在激勵(lì)頻率為f時(shí)幅值；η為失諧梁比周期梁少傳播彈性波的相對(duì)能量率.

由式(6)和(7)計(jì)算得相對(duì)能量率η=-35.35%.施加激勵(lì)后產(chǎn)生的彈性波經(jīng)過(guò)失諧梁傳播的能量要比周期梁下降35.35%，能量大大減少.所以，失諧梁在抑制彈性波傳播中時(shí)效果要比周期梁好.

4 結(jié) 論

經(jīng)過(guò)基于能量法的減振特性分析，無(wú)論是正弦激勵(lì)響應(yīng)分析還是頻率響應(yīng)分析，通過(guò)分別對(duì)比周期梁和失諧梁的幅值和能量，可以發(fā)現(xiàn)：

1)在一定的失諧參數(shù)下，彈性波在該失諧梁中傳播的幅值的絕對(duì)值要明顯小于周期梁，所以該失諧梁在抑制彈性波傳播的幅值時(shí)效果要比周期梁好.

2)失諧梁在0～60Hz以及大于110Hz的高頻范圍內(nèi)，減振效果非常顯著，而且頻率越高作用越大.

3)當(dāng)失諧梁有20%的晶格參數(shù)失諧時(shí)，正弦激勵(lì)響應(yīng)時(shí)彈性波的相對(duì)能量率為-32.87%；頻率響應(yīng)時(shí)彈性波的相對(duì)能量率為-35.35%.彈性波在該失諧梁中傳播時(shí)的能量要大大減小.因此該失諧梁在抑制彈性波傳播能量時(shí)效果要比周期梁好.

因此，可以得出結(jié)論：通過(guò)選擇合適的失諧參數(shù)，可使失諧梁較周期梁具有更好的減振特性.

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Research on Properties of Vibration Attenuation in Phononic Crystal Detuning Beam with Local Resonant Structure

ZHANG Bang-ji，HUANG Xun-hao?，ZHANG Nong，XIE Qing-xi

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082，China)

The characteristic of phononic crystals local resonance was applied to beam to form a local resonat beam. Based on local resonant beam, and by introducing analogy lattice parameter mismatch, a local resonance model of detuning beam was obtained. Through sine excitation response analysis and frequency response analysis of local resonance periodic beam and detuning beam respectively, and combined with the improved energy method, it can be concluded that, by choosing the appropriate detuning parameters，detuning beam is better than periodic beam in the characteristics of vibration reduction．

detuning beam; sine excitation response analysis; frequency response analysis; energy method

1674-2974(2015)02-0055-05

2013-11-22

國(guó)家自然科學(xué)基金聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(U1234208); 西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)課題資助(TPL1310)

張邦基(1967-)，男，湖南長(zhǎng)沙人，湖南大學(xué)副教授，博士?通訊聯(lián)系人，E-mail:huangxunhao123@126.com.

TH113.1

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