鄒 寧徐爭光冉建華李朝陽

①(武漢船舶通信研究所 武漢 430079)

②(華中科技大學電子與信息工程系 武漢 430074)

基于帶通欠采樣的脈沖超寬帶信號重建算法性能研究

鄒 寧*①徐爭光②冉建華①李朝陽①

①(武漢船舶通信研究所 武漢 430079)

②(華中科技大學電子與信息工程系 武漢 430074)

從脈沖超寬帶(PPM-UWB)信號解調的角度，該文探討了PPM-UWB帶通欠采樣信號處理的信號重建算法，并將零化濾波算法和ESPRIT算法進行了仿真對比。ESPRIT算法與零化濾波算法相比需要的最小帶寬要求較大，但是在同等帶寬條件下，ESPRIT算法具有更好的抗噪聲性能。

脈沖超寬帶(PPM-UWB)；帶通欠采樣；零化濾波；ESPRIT算法

1 引言

帶通欠采樣是對脈沖超寬帶(Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band, PPM-UWB)信號的低于奈奎斯特采樣率的采樣方法，對PPM-UWB數(shù)字接收機的研究具有重要的實用價值[1]。PPMUWB數(shù)字接收機的應用主要有室內(nèi)高速通信、測距與定位、遙感以及汽車雷達等[2-4]。PPM信號是一類脈沖寬度特別窄，占空比非常小的信號。近幾年來，對PPM-UWB的帶通欠采樣信號處理的研究正在逐步深入。首先，新息率概念的提出，即單位時間內(nèi)信號的特征數(shù)，通常這個數(shù)值與信號速率相關，使得非帶限脈沖信號的欠采樣成為可能[5]；其次，按照新息率進行采樣和重建的零化濾波算法可以在沒有噪聲的情況下準確重建原始非帶限脈沖信號[6]；然后，在提高采樣率的情況下的零化濾波算法具有一定程度上的抗噪聲性能[7-9], 使用總體最小二乘(Total Least Squares, TLS)解調方法比最小二乘(Least Squares, LS)解調方法具有更好的抗噪聲性能[10]；最近，采用旋轉不變性技術而進行的信號參數(shù)估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法，能夠在低信噪比的條件下重建算法的性能[11-13]。零化濾波算法和ESPRIT算法在PPMUWB的信號重建方面的研究主要集中于采樣率對性能的影響，本文提出在滿足最低要求的信號新息率采樣的條件下，增大采樣率并不能提高系統(tǒng)的性能，影響其性能的因素是帶通濾波器的帶寬。本文探討了PPM-UWB信號的重建算法，對ESPRIT算法進行了TLS解的補充，并且對零化濾波算法和ESPRIT算法進行了性能分析。

本文首先在PPM-UWB信號處理中分析了零化濾波算法的可行性，并引入了LS和TLS解，然后分析了ESPRIT算法的可行性，同時也引入了LS解和TLS解，最后以仿真的形式對ESPRIT算法與零化濾波算法進行了性能對比。

2 零化濾波算法

沖激串信號x(t)的傅里葉變換X[k]為p個信號的指數(shù)和，令其中f是信號0的頻率分辨率，即頻域信號的最小頻率間隔，此間隔只與所取的信號長度有關，與采樣率無關。

為了從沖激串頻域信號X[k]中估計其幅度di和時移ti，定義

由于當帶通濾波器的帶寬剛好等于信號新息率時，容易受到噪聲的影響[3]，本文都是討論帶通濾波器帶寬大于信號新息率時的情形。將沖激串頻域信號X[k]代入零化濾波器中，得到一組超定方程組Pa=-Q(當帶通濾波器的帶寬剛好等于信號新息率時，得到的是正定方程組)，其中P是由X[k]組成的一個行數(shù)大于列數(shù)的矩陣，a是由零化濾波器系數(shù)組成的向量，Q是由X[k]組成的向量。求解這個超定方程組有兩種不同的方法：LS和TLS。

(1) LS解法

此時方程組中的矩陣P為J×p維，為了更好地區(qū)分兩種求解超定方程組的方法，LS解法中方程組中的P和Q都用下標1進行標注(TLS解法中用下標2進行標注)，在LS解法中，通過對矩陣進行奇異值分解，來求解零化濾波器的系數(shù)a。

P1的奇異值分解為P1=U1∑1V1H，系數(shù)的解為a=-V1∑1U1HQ1。

(2) TLS解法

若將方程組中的信號采樣矩陣進行如下處理，此時方程組中的P2矩陣為?！羛維：其中Γ為矩陣P2的行數(shù)，Γ＞p：

式中∑2是由矩陣奇異值構成的?！?p+1)維矩陣，且對角線上的元素按照降序排列：

則方程組的TLS解為：

當使用上述的任意一種方法求解出零化濾波器系數(shù)a后，將零化濾波器φ(z)作因式分解，求解濾波器的零點ui，通過即可求出時移ti，再由即可計算出信號的幅度di。

零化濾波算法在計算過程中要經(jīng)過矩陣的奇異值分解和多項式求根，在LS求解的過程中經(jīng)過了3次矩陣乘法和1次矩陣求逆運算，在TLS求解過程中，僅經(jīng)過了1次排序和向量乘法運算。在計算復雜度上，TLS要比LS簡單。

3 ESPRIT算法

也就是下一個頻率采樣值是當前頻率采樣值的相移的結果。這個相移可以表示為：在單位圓上的一個的轉動。由沖激串頻域信號X[k]組成的矢量信號X[k]可以分解為由時移頻率響應成分S[k]和噪聲成分w[k]組成的頻率窗口矢量模型：

這里，矩陣S的p個列：S=[s(t1)s(t2) ...s(tp)]是長為M的頻率窗口時間復指數(shù)矢量。矢量d由復指數(shù)的幅度di組成。另一方面，矩陣φ是表示S[k]的單獨復指數(shù)分量的相鄰頻率采樣值之間相位移動的對角矩陣：

ESPRIT的實質在于其在交錯的子空間之間的轉動特性，這些子空間被調用以得到式(1)中時移ti的估計。在離散頻域信號的情況下，這個特性依賴于在兩個頻率上交錯的相同區(qū)間上的信號觀測值[14]。

首先對未知的時移頻率響應矩陣S進行分析，考慮在長為M的頻率窗矢量中，兩個交疊的、長為M-1的子窗口。這個子窗口的運算如圖1所示。

圖1 ESPRIT算法采用的頻率交錯、重疊窗Fig. 1 Interleaving and overlap window used for ESPRIT algorithm

考慮由復指數(shù)的和組成的信號：

這里，sM-1[k]是s[k]的長為M-1的子窗口，即：

除了它的頻率窗口時間矢量的長度是M-1外，矩陣SM-1和S以相同的方式構造，記為sM-1(t)：

s[k]是在頻率kf0由復指數(shù)的和構成的標量信號。定義矩陣：

這兩個窗口頻率矢量的矩陣有如下關系：S2=S1φ，兩個矩陣各自生成一個雖然不同、但相互聯(lián)系的M-1維子空間。

圖2是描述ESPRIT算法進行PPM-UWB信號時移估計的流程方框圖。

圖2 由數(shù)據(jù)矩陣開始經(jīng)時移估計的ESPRIT算法流程方框圖Fig. 2 The block diagram of ESPRIT algorithm process (Time shift estimate from data matrix)

ESPRIT算法的計算流程如下：

(1) 由沖激串頻域信號X[k]，構造一個Hankel矩陣：

數(shù)據(jù)矩陣H有長為M的頻率窗口矢量信號X[k]的N個數(shù)據(jù)記錄。

(2) 對矩陣H進行奇異值分解：H=U∑VH。

(3) 對矩陣V進行信號子空間和噪聲子空間的分解：V=[Vs|Vn]。

這里，Vs是對應p個最大奇異值的右奇異矢量的矩陣。由于信號部分由用頻率窗時間矢量s(t)作為模型的復指數(shù)的和構成，所以，矩陣S和Vs生成相同的子空間。因此，存在一個可逆變換T將Vs映射為S，即：S=VsT。

(4) 將信號子空間分成Vs兩個較小的M-1維的子空間：

這里，V1和V2分別對應非交錯的和交錯的子空間。由于S1和S2對應相同的子空間，映射關系對這些子空間同樣成立：S1=V1T,S2=V2T。

(5) 求解V1和V2之間的關系矩陣ψ。

矩陣S的非交錯的和交錯的分量通過子空間旋轉φ相關聯(lián)。由于矩陣V1和V2同樣分別生成這些相關的子空間，一個相似的聯(lián)系V1和V2的(旋轉)關系肯定存在：V2=V1ψ。求解矩陣ψ有如下兩種方法：LS和TLS。

(a) LS解法

通過使用最小二乘(LS)準則解V2=V1ψ得到子空間的旋轉的估計：ψls=(V1HV1)-1V1HV2，這個LS解通過在一個最小二乘意義上從公式V2+E2=V1ψ最小化誤差得到，這里，E2是由V2和對應于S2的真實子空間之間的誤差構成的矩陣。這個LS公式假定誤差僅存在于對S2的估計中，而在V1和欲估計的相應于S1的真實子空間之間沒有誤差。

(b) TLS解法

由于V1也是一個估計的子空間，一個更合適的公式是V2+E2=(V1+E1)ψ。這里，E1是表示V1和對應于S1的真實子空間之間的誤差的矩陣。這個問題的解稱為“總體最小二乘”(TLS)解，是通過最小化兩個誤差矩陣的Frobenius范數(shù)：得到的。

將矩陣V1+E1和V2+E2并排放置后，可以得到方程[15]

其中σi表示矩陣[V1V2]的奇異值，及對角矩陣的元素。由于兩個誤差矩陣的最小Frobenius范數(shù)具有唯一解。交錯子空間并排放置矩陣[V1V2]所張成的與脈沖相移相關的信號子空間矩陣為

(6) 求解ψ的特征值

ESPRIT算法在計算過程中要經(jīng)過奇異值分解和矩陣特征值求解，在特征值求解的過程中存在行列式計算和多項式求根的過程，其復雜度要比零化濾波算法大；無論是LS和TLS求解的過程都要經(jīng)過1次矩陣乘法和1次矩陣求逆的運算，只是TLS求解過程中矩陣計算的階數(shù)是LS求解過程的兩倍，在計算復雜度上，LS過程要簡單一些。

4 仿真分析

本文對PPM-UWB信號的重建算法進行了仿真，發(fā)射脈沖波形選擇高斯2階脈沖，脈沖寬度為0.5 ns，帶通濾波器的中心頻率為fc=3.325 GHz，根據(jù)第2節(jié)和第3節(jié)中算法所需的頻域采樣點的多少，以及在相同時間長度下，頻率分辨率不隨采樣率變化的特征，對信號碼速率為20 Mbps和40 Mbps的波形進行了仿真；調制方式采用二進制的PPM調制，仿真過程中使用了106bit進行了誤碼率的統(tǒng)計，進行重建算法的時候，每次截取了10個脈沖長度的時間進行處理。

針對20 Mbps的信號碼速率，在零化濾波算法中，所需的最小的帶通濾波器帶寬為40 MHz；在ESPRIT算法中，若將噪聲子空間的維度設為5，那么所需的最小的帶通濾波器的帶寬為50 MHz。針對40 Mbps的信號碼速率，所需的最小的帶通濾波器帶寬為80 MHz。在性能方面，本文針對不同的帶通濾波器的帶寬，對兩種算法的不同解在-3 dB的信噪比下進行了誤碼率性能對比，圖3和圖4是兩種不同速率下的帶寬性能對比結果。

從圖3和圖4中可以看出，盡管ESPRIT算法所需的帶通濾波器的最小帶寬要比零化濾波算法大，但是在能夠允許的相同帶通濾波器的帶寬下，ESPRIT算法的誤碼率性能要明顯好于零化濾波算法，并且?guī)捲綄?，ESPRIT算法的性能就越好。根據(jù)圖3和圖4的帶寬性能，本文將20 Mbps的信號碼速率下的80 MHz帶寬的帶通濾波器和40 Mbps的信號碼速率下的160 MHz帶寬的帶通濾波器的數(shù)據(jù)進行了信噪比性能的仿真，圖5和圖6是仿真結果。

圖3 不同算法的帶通濾波器帶寬在20 Mbps的信號碼速率下的性能對比(信噪比為-3 dB)Fig. 3 Different algorithms performance on band-pass filter bandwidth with 20 Mbps symbol rate (SNR is -3 dB)

圖4 不同算法的帶通濾波器帶寬在40 Mbps的信號碼速率下的性能對比(信噪比為-3 dB)Fig. 4 Different algorithms performance on band-pass filter bandwidth with 40 Mbps symbol rate (SNR is -3 dB)

圖5 不同算法在20 Mbps的信號碼速率下的信噪比性能對比(帶通濾波器帶寬為80 MHz)Fig. 5 Different algorithms performance on SNR with 20 Mbps symbol rate (band-pass filter bandwidth is 80 MHz)

圖6 不同算法在40 Mbps的信號碼速率下的信噪比性能對比(帶通濾波器帶寬為160 MHz)Fig. 6 Different algorithms performance on SNR with 40 Mbps symbol rate (band-pass filter bandwidth is 160 MHz)

從圖5和圖6中可以看出，ESPRIT算法的誤碼率性能比TLS解的零化濾波算法要高出2 dB，比LS解的零化濾波算法要高出4 dB。在圖3～圖6中，我們發(fā)現(xiàn)ESPRIT算法在LS解和TLS解方面的性能差別幾乎沒有，原因是在零化濾波算法中，TLS解同時考慮了不同時刻信號的噪聲，LS解只考慮了某一時刻信號的噪聲；在ESPRIT算法中則進行了噪聲維度的設定，在設定噪聲維度的時候就考慮了不同時刻信號的噪聲。從第3節(jié)中的ESPRIT的LS和TLS的計算過程上看，LS解的計算量要明顯少于TLS解，因此，ESPRIT算法的LS解的應用前景較大。

5 結論

本文基于PPM-UWB帶通欠采樣信號進行了重建算法的探討和分析，從頻率分辨率的角度，在滿足信號新息率的條件下，得出提高采樣率并不能增加固定帶通帶寬內(nèi)的頻域采樣點數(shù)，即不能提高系統(tǒng)性能。本文隨后給出了零化濾波算法和ESPRIT算法的濾波器帶寬和信噪比的性能，仿真結果表明，ESPRIT算法所需的最小帶通濾波器的帶寬比零化濾波算法略高，但是其具有在同等條件下明顯高于零化濾波算法的性能，綜合算法性能和計算過程來看，ESPRIT算法的LS解在工程中具有較大的應用前景。

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鄒 寧(1985-)，男，湖北武漢人，2013年在華中科技大學獲得工學博士學位，現(xiàn)在武漢船舶通信研究所數(shù)據(jù)通信部工作(全職)，職稱為工程師；研究方向為通信信號處理。

E-mail: dahuangcun@163.com

徐爭光(1982-)，男，講師，研究方向為通信信號處理。

冉建華(1971-)，男，高級工程師，研究方向為通信系統(tǒng)建模。

Performance of Reconstruction Algorithm Based on Sub-Nyquist Bandpass Sampling in the Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band System

Zou Ning①Xu Zheng-guang②Ran Jian-hua①Li Chao-yang①

①(Wuhan Maritime Communication Research Institute,Wuhan430079,China)

②(Huazhong University of Science and Technology,Wuhan430074,China)

The signal reconstruction algorithm with sub-Nyquist bandpass sampling in Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band (PPM-UWB) signal processing is analyzed based on PPM-UWB signal demodulation. Then, the reconstruction method based on the annihilating filter and the Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques (ESPRIT) algorithm are compared using simulations. The total least squares ESPRIT algorithm, which requires high bandwidth, has better anti-noise performance than the reconstruction method based on the annihilating filter.

Pulse Position Modulation-Ultra Wide Band (PPM-UWB); Sub-Nyquist band-pass sampling; Annihilating filter; ESPRIT algorithm

TN911

A

2095-283X(2015)02-0185-07

10.12000/JR14103

鄒寧, 徐爭光, 冉建華, 等. 基于帶通欠采樣的脈沖超寬帶信號重建算法性能研究[J]. 雷達學報, 2015, 4(2): 185-191. http://dx.doi.org/10.12000/JR14103.

Reference format:Zou Ning, Xu Zheng-guang, Ran Jian-hua,et al.. Performance of reconstruction algorithm based on sub-Nyquist bandpass sampling in the pulse position modulation-ultra wide band system[J].Journal of Radars, 2015, 4(2): 185-191. http://dx.doi.org/10.12000/JR14103.

2014-07-14收到，2015-03-17改回；2015-04-27網(wǎng)絡優(yōu)先出版

國家部委基金資助課題

*通信作者： 鄒寧 dahuangcun@163.com