楊靜，胡俊美

（1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部，北京100101；2.石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，河北石家莊050043）

布朗運(yùn)動與隨機(jī)積分的起源

楊靜1，胡俊美2

（1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部，北京100101；2.石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，河北石家莊050043）

布朗運(yùn)動是隨機(jī)過程理論的一個特殊而重要的隨機(jī)過程。通過考察和梳理隨機(jī)積分理論誕生的發(fā)展過程，發(fā)現(xiàn)對于布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)研究是隨機(jī)積分理論的起源，并且隨機(jī)積分論的發(fā)展與布朗運(yùn)動的深入研究密切相關(guān)。從這個層面再次說明了布朗運(yùn)動的重要性。

布朗運(yùn)動；隨機(jī)分析；隨機(jī)積分

隨機(jī)分析學(xué)，誕生于20世紀(jì)50年代，它是在隨機(jī)過程一般理論及現(xiàn)代鞅論的產(chǎn)生和發(fā)展過程中逐漸形成的，是一個生命力很強(qiáng)的概率論分支。隨機(jī)分析學(xué)不僅是研究概率論及隨機(jī)過程的有力工具，而且在許多數(shù)學(xué)分支（如偏微分方程、調(diào)和分析、微分幾何）、濾波與控制、通訊與動態(tài)系統(tǒng)及金融經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都大有用武之地。什么是隨機(jī)分析學(xué)？它的創(chuàng)始人伊藤清（Kiyosi It?,1915—2008）曾說過：“隨機(jī)分析學(xué)是添加了隨機(jī)風(fēng)趣的分析學(xué)，是概率論的一個新分支?！茖W(xué)的目的是以已知推斷未知。如果從已得到的資料能做出唯一正確的推斷，則可以建立確定性模式，分析學(xué)為此提供數(shù)學(xué)手段。當(dāng)現(xiàn)象極其復(fù)雜，不可能做唯一推斷時，只好從已知來求未知的平均，然后再求偏離平均的平均，為此應(yīng)建立隨機(jī)性模式，隨機(jī)分析學(xué)為此提供數(shù)學(xué)手段。”其中，隨機(jī)積分是對某些隨機(jī)過程適當(dāng)定義的各種積分的總稱，它們在隨機(jī)過程與隨機(jī)微分方程的研究與應(yīng)用中有著深刻影響。

1827年英國植物學(xué)家布朗（Robert Brown，1773—1858）在觀察液體中某種植物的花粉顆粒時，觀察到它在不斷地作無規(guī)則運(yùn)動。他做了大量的實(shí)驗來尋求顆粒運(yùn)動的原因，故這種運(yùn)動后來被命名為“布朗運(yùn)動”。隨機(jī)積分的歷史始于布朗運(yùn)動，因此我們首先回顧一下歷史上最早出現(xiàn)的布朗運(yùn)動的3個理論模型，每一種嘗試都是獨(dú)立做出的。

1 布朗運(yùn)動的理論模型

第一個嘗試來自丹麥的天文學(xué)家蒂勒（T.N. Thiele，1838—1910），他對天文學(xué)、保險精算、數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)都做出過重要的貢獻(xiàn)，由于這些富有創(chuàng)造力的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超前于他所處的時代，以至于他的大部分工作不能被同時代的人所理解。蒂勒的視力曾受到過嚴(yán)重的損害，這使得他不能再進(jìn)行天文觀測，于是他把對天文的興趣轉(zhuǎn)移到計算工作中來。1880年，蒂勒最小二乘法的論文（Sur la compensation dequelques erreurs quasi-systématiques par la method des moindres carrés）發(fā)表，他在研究時間序列數(shù)據(jù)時，有效地創(chuàng)建了一個布朗運(yùn)動模型。一段時間內(nèi)星星的運(yùn)動、室外的溫度等都是時間序列數(shù)據(jù)。由于望遠(yuǎn)鏡精度的有限性，觀測過程是存在誤差的。蒂勒的目的是給出一個模型，可以描述一系列觀測過程所帶來的觀測誤差，從而預(yù)測真實(shí)值。他所考慮的過程本質(zhì)就是微粒的布朗運(yùn)動。他推導(dǎo)出的布朗運(yùn)動具有獨(dú)立的、服從正態(tài)分布的增量，方差與時間成比例[1]。雖然蒂勒也發(fā)表了這篇論文的法語版本，但是在當(dāng)時人們并沒有認(rèn)識到它的重要性，很長一段時間里幾乎沒有影響。

第二個嘗試來自法國的數(shù)學(xué)家巴施利耶（L. Bachelier，1870—1946）。在他19歲那年，父母相繼去世，他不得不中斷學(xué)業(yè)謀生，同時照顧妹妹和弟弟。在積攢了一些錢之后，1892年他開始在巴黎的索爾邦大學(xué)學(xué)習(xí)，1898年獲得理學(xué)學(xué)士學(xué)位，1900年獲得博士學(xué)位。由于巴施利耶曾在巴黎的股票交易所工作過，所以他的博士論文選擇了用數(shù)學(xué)來研究股票市場，博士論文的題目是《投機(jī)理論》。文中在推導(dǎo)巴黎股票市場的動態(tài)行為時，創(chuàng)建了一個布朗運(yùn)動的模型。巴施利耶試圖將巴黎股票交易所的市場噪音（市場波動）建立模型。他意識到市場噪音（市場波動）應(yīng)該沒有記憶，利用中心極限定理的思想，他推斷股票價格的增量應(yīng)該是獨(dú)立的、正態(tài)分布的。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主經(jīng)濟(jì)學(xué)家莫頓（Robert C.Merton，1944—）曾指出，大多數(shù)金融數(shù)學(xué)的起源都可追溯到《投機(jī)理論》，另外，他認(rèn)為這篇文章標(biāo)志著連續(xù)時間隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)理論的誕生，及連續(xù)時間期權(quán)經(jīng)濟(jì)的誕生。然而，巴施利耶并沒有獲得同時代人的認(rèn)可和重視。巴施利耶的悲劇在于他研究的內(nèi)容并不屬于他所處的時代，而是屬于過去和未來。屬于過去，是因為他研究的概率論起源于賭博，他通過考察賭博的延續(xù)形式——交易所，引進(jìn)連續(xù)隨機(jī)過程。屬于未來，是因為不論是從概率論上還是從經(jīng)濟(jì)學(xué)上，他都被稱為“鞅”這一概率概念的締造者。在理解有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)的不確定性方面，他的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越當(dāng)時的社會與文化背景[2]。

第三個嘗試則來自物理學(xué)家愛因斯坦（A Einstein，1879—1955）。1905年愛因斯坦發(fā)表了論文《關(guān)于熱分子運(yùn)動所要求的靜止液體中懸浮小粒子的運(yùn)動》（On the movement of small particles suspended in stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat），他試圖根據(jù)分子的運(yùn)動來解釋所觀測到的物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)，即從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn)動來說明物質(zhì)的宏觀性質(zhì)。至于這些微觀假設(shè)正確與否，還需要實(shí)驗的驗證，因此他更側(cè)重說明該假設(shè)是否符合實(shí)際，此外，在文章最后他還給出了阿伏伽德羅（Amedeo Avogadro，1776—1856）常數(shù)的第一個準(zhǔn)確測定公式[3]。這一公式在1908年被佩蘭（J Perrin，1870—1942）的實(shí)驗所驗證。

用數(shù)學(xué)語言來說，巴施利耶和愛因斯坦給出布朗運(yùn)動為：隨著時間t的改變，某個質(zhì)點(diǎn)的位置B(t)連續(xù)變化；但是對于t時刻之后的s時刻而言，質(zhì)點(diǎn)的位移B(s)-B(t)是一個在原點(diǎn)附近游動的正態(tài)隨機(jī)變量，其方差與時間間隔的長度成正比；而對于多個不相交的時間間隔，這些位移隨機(jī)變量相互獨(dú)立。因此，對于布朗運(yùn)動，根據(jù)它當(dāng)前的位置，我們并不能確切地知道它下一時刻的位置，而只能了解該位置的概率分布。愛因斯坦認(rèn)為原來意義下的布朗運(yùn)動就是這樣的運(yùn)動，同樣，巴施利耶認(rèn)為股票價格變動也應(yīng)屬于此類運(yùn)動[4]。

2 隨機(jī)積分理論基礎(chǔ)的奠定

其實(shí)，巴施利耶和愛因斯坦對布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述都不太嚴(yán)格。巴施利耶沒能得到布朗運(yùn)動的清晰圖景，其思想沒有得到當(dāng)時人的理解，這主要是因為布朗運(yùn)動的精確定義需要路徑空間上的測度，而這一點(diǎn)直到博雷爾關(guān)于伯努利實(shí)驗的經(jīng)典論文1909年發(fā)表才實(shí)現(xiàn)。只有博雷爾、勒貝格和丹尼爾的思想出現(xiàn)，布朗運(yùn)動才有可能建立在牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。1923年，維納（N Wiener，1894—1964）的《微分空間》（The differential space）一文問世，布朗運(yùn)動有了真正的數(shù)學(xué)描述，因此，作為一個隨機(jī)過程，數(shù)學(xué)上的布朗運(yùn)動也常常稱為“維納過程”。

1913年，維納到劍橋大學(xué)訪問期間追隨羅素（Bertrand Russell,1872—1970）學(xué)習(xí)。羅素意識到愛因斯坦相對論對科學(xué)哲學(xué)的重要意義，建議維納仔細(xì)研讀愛因斯坦1905年發(fā)表的3篇論文，其中包括論述布朗運(yùn)動的那一篇。1923年，維納的論文“微分空間”發(fā)表，其中不僅構(gòu)造了布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，而且它堪稱布朗運(yùn)動研究史上的一個里程碑。

愛因斯坦研究的是布朗運(yùn)動的統(tǒng)計性態(tài)，選擇的對象實(shí)際上屬于可測的物理量：一個或多個顆粒的位移以及一定層面顆粒的密度。維納則是把單個粒子的軌道看作一個集合中的一點(diǎn)，他選擇的對象是一個（或多個）布朗顆粒所有可能運(yùn)動的路線，并假定這些路線服從概率規(guī)律，進(jìn)而考察這些路線或函數(shù)的空間。他從愛因斯坦物理模型的基礎(chǔ)上抽去與實(shí)際相聯(lián)系的具體內(nèi)容，使之成為一個形式的軀殼，這樣布朗運(yùn)動就拋去了觀測對象的外衣，成為一個純粹的數(shù)學(xué)對象，由此得到了一種一般的隨機(jī)過程，而不再是一個特殊現(xiàn)象。這樣，維納就實(shí)現(xiàn)了布朗運(yùn)動從物理研究到數(shù)學(xué)研究的轉(zhuǎn)變。

由于布朗運(yùn)動的軌道樣本幾乎都是連續(xù)而處處不可微的，所以隨機(jī)微分方程更合適的記法是積分形式的方程。隨機(jī)微分方程中含有布朗運(yùn)動的積分，被稱為隨機(jī)積分。知道了隨機(jī)積分，就相當(dāng)于掌握了隨機(jī)微分方程的解?！拔⒎挚臻g”在隨機(jī)過程理論中占有舉足輕重的地位，是此方面最重要的著述之一,維納把隨機(jī)積分理解為所有連續(xù)軌道所在的“無限維空間”上的一種積分。為了討論隨機(jī)過程，需要函數(shù)空間上的測度和積分理論。20世紀(jì)20年代，除了維納，其他數(shù)學(xué)家只討論有限聯(lián)合分布。在討論依賴一個隨機(jī)過程的整體軌道的泛函平均值時，他們不加證明地將其定義為依賴有限個時間點(diǎn)的一列近似泛函的平均值。盡管布朗運(yùn)動的軌道處處不可微，維納還是定義了平方可積函數(shù)關(guān)于布朗運(yùn)動的積分，設(shè)（Bt）為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，f為(0，T)上的階梯函數(shù)，即

其中0=t0＜t1＜...＜tn=T，則令

于是E(f.B)T=0，。從而映射f?(f.B)T可以等距擴(kuò)張為L2((0,T])到L2(Ω,F,P)中的線性映射。我們稱(f.B)T為維納積分，記為。這是一均值為零、方差為的高斯隨機(jī)變量。如果T變動，則我們得到隨機(jī)過程f.B，它是維納不定積分[5]。維納通過把平均值定義成丹尼爾積分，進(jìn)而把布朗運(yùn)動理論建立在一個牢固的基礎(chǔ)之上。雖然他在文中研究了布朗運(yùn)動，但是他的方法成為現(xiàn)代隨機(jī)過程理論的一個典范。

隨機(jī)積分的基礎(chǔ)工作的下一步是由柯爾莫戈洛夫（A N Kolmogorov，1903—1987）完成的。隨機(jī)積分理論研究的起點(diǎn)與馬爾科夫過程理論交織在一起，并且受到其推動，柯爾莫戈洛夫在其中起到了重要作用。1931年，柯爾莫戈洛夫發(fā)表了《論概率論中的分析方法》（On analytic methods in probability theory）一文，提到并簡要解釋了巴施利耶對布朗運(yùn)動的構(gòu)造。在這篇論文中，他研究了一類連續(xù)馬爾科夫過程，后來稱之為擴(kuò)散過程，給出了大部分他的有關(guān)馬爾科夫過程的理論。值得注意的是，柯爾莫戈洛夫在文中證明了擴(kuò)散過程本質(zhì)上只依賴兩個參數(shù)：一個是漂移速度，另一個是純粹隨機(jī)部分（擴(kuò)散部分）的大小。然后，他就可以把過程的概率分布與偏微分方程的解聯(lián)系起來，現(xiàn)在稱作“柯爾莫戈洛夫方程”。柯爾莫戈洛夫推導(dǎo)用的是半群及其無窮小生成元，以及由此生成的偏微分方程。

柯爾莫戈洛夫研究的擴(kuò)散過程滿足如下條件（以一維為例）：

其中b(t,x)為漂移系數(shù)，a(t,x)為擴(kuò)散系數(shù)。假定擴(kuò)散過程的轉(zhuǎn)移概率P(s,x,t,?)有密度函數(shù)p(s,x,t,y)，并假定p(s,x,t,y)有適當(dāng)?shù)墓饣?，柯爾莫戈洛夫證明了p(s,x,t,y)滿足如下兩個方程[5]（分別稱為“柯爾莫戈洛夫后向方程”和“柯爾莫戈洛夫前向方程”）：

3 隨機(jī)積分的創(chuàng)立

隨機(jī)分析學(xué)研究的最初動機(jī)為通過布朗運(yùn)動直接構(gòu)造出擴(kuò)散過程，伊藤清就是通過定義布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分，進(jìn)而發(fā)展出一套理論。

通常的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動可以用下列微分形式的微分方程來描述：

方程的左端表示質(zhì)點(diǎn)的（微分）位移，右端表示這個位移依賴于時刻t，質(zhì)點(diǎn)在時刻t的位置X(t)以及時間本身的（微分）流動dt。

如果質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動受到一個布朗運(yùn)動B(t)的干擾，那么這個微分方程就演變?yōu)橄铝行问剑?/p>

這就是伊藤清嘗試在給擴(kuò)散過程建造模型時構(gòu)造的隨機(jī)微分方程。其中后一項就代表干擾，σ(t,X(t))為干擾強(qiáng)度，通常也與t和X(t)有關(guān)。這個隨機(jī)微分方程可改寫為隨機(jī)積分方程：

伊藤清在1944年的“隨機(jī)積分”（Stochastic integral）一文中，對如何使隨機(jī)微分σ(t,X(t))dB(t)有意義進(jìn)行了解釋。①伊藤清提到了之前S.Bernstein、柯爾莫戈洛夫、費(fèi)勒的工作。伊藤清解釋的關(guān)鍵之一在于對“標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動”來說，把“隨機(jī)微分方程”dB(t)理解成均值為零、方差為dt的正態(tài)隨機(jī)變量。這樣在一個適當(dāng)?shù)目蚣芟?，“隨機(jī)微分”dx(t)就相當(dāng)于均值為b(t,x(t))dt、方差為σ2(t,x(t))dt的隨機(jī)變量。

伊藤清嘗試把柯爾莫哥洛夫在馬爾可夫過程上的工作與自己的詮釋聯(lián)系起來。特別地，他想把X(t)的路徑與擴(kuò)散過程的轉(zhuǎn)移函數(shù)聯(lián)系起來。這實(shí)際上等同證明了X(t)的分布解決了柯爾莫哥洛夫的前向方程。這種嘗試促成了他1951年的論文“關(guān)于隨機(jī)微分的一個公式”（On a formula concerning stochastic differentials）。伊藤采用Picard逐次逼近法證明了：如果對任給T＞0，b(t,x)及在 [0,T]×R上關(guān)于x滿足一致Lipschitz條件及線性增長條件，則上述隨機(jī)微分方程有唯一解，其中初值X0是任意給定的與布朗運(yùn)動(Bt)獨(dú)立的平方可積隨機(jī)變量。這樣，伊藤清實(shí)現(xiàn)了通過布朗運(yùn)動構(gòu)造擴(kuò)散過程的設(shè)想。從此，一門嶄新的概率論分支——隨機(jī)分析學(xué)誕生了。

布朗運(yùn)動的樣本函數(shù)雖然連續(xù)，但幾乎所有的都非有界變差，甚至處處不可微，因而無法按樣本函數(shù)定義通常的勒貝格-斯蒂爾切斯積分或黎曼-斯蒂爾切斯積分。一般而言，黎曼-斯蒂爾切斯積分定義中的達(dá)布和不會以概率1收斂到一定的極限，但在適當(dāng)要求下，達(dá)布和的均方極限存在。正是利用這一性質(zhì)伊藤清定義了布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分。而伊藤積分最重要的性質(zhì)為著名伊藤公式，表示如下：

其中f是二次連續(xù)可微實(shí)函數(shù)，B(t)（t≥0）是布朗運(yùn)動。該公式及其各種推廣是隨機(jī)分析的一個重要工具，在理論上和實(shí)踐上都有廣泛應(yīng)用。

1987年，伊藤因此項工作榮獲沃爾夫獎。在對獲獎工作的評價中寫道：“他的隨機(jī)分析可以看作隨機(jī)王國中的牛頓定律，它提供了支配自然現(xiàn)象的偏微分方程和隱藏著的概率機(jī)制之間的直接翻譯過程，其主要成分是對布朗運(yùn)動函數(shù)的微分和積分運(yùn)算，由此產(chǎn)生的理論是近代純粹與應(yīng)用概率論的基石?！?/p>

由于伊藤清在隨機(jī)分析這一新的分支所取得的開創(chuàng)性的杰出成就，以及隨機(jī)分析在微分幾何、調(diào)和分析、變分學(xué)、偏微分方程、復(fù)分析、位勢論等數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用，特別是隨機(jī)分析在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如化學(xué)、量子物理學(xué)、生物學(xué)等的廣泛應(yīng)用，從而使他于2006年榮獲了國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會首次頒發(fā)的高斯獎。

4 結(jié)論

人們在研究隨機(jī)過程理論時，可以定性地討論一般隨機(jī)過程的性質(zhì)，但很難取得定量的結(jié)果。布朗運(yùn)動則不然，人們可以根據(jù)布朗運(yùn)動特殊的性質(zhì)定量地計算出許多結(jié)果。由于布朗運(yùn)動既是馬爾可夫過程，又是鞅、正態(tài)過程、萊維過程與獨(dú)立增量過程，人們自然想到，關(guān)于布朗運(yùn)動的結(jié)果對過程是否也正確呢？因此布朗運(yùn)動是隨機(jī)過程理論的一個特殊而重要的隨機(jī)過程。

布朗運(yùn)動獨(dú)立誕生于天文學(xué)、股票市場和物理學(xué)等領(lǐng)域，隨后在數(shù)學(xué)家的手中實(shí)現(xiàn)了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義、并展開了一系列的研究。為了解決有關(guān)布朗運(yùn)動的一個主要問題，隨著數(shù)學(xué)家研究的深入，隨機(jī)積分理論由此逐步成型，并且這一理論的發(fā)展與布朗運(yùn)動的深入研究密不可分。并且，隨機(jī)積分在隨機(jī)過程與隨機(jī)微分方程的研究和應(yīng)用中有著重要的作用。從這個層面上來看，隨機(jī)積分理論的廣闊而重要的應(yīng)用愈發(fā)凸顯了布朗運(yùn)動的重要地位和作用。

[1]LAURITZEN S L.Aspects of T N Thiele’s contributions to statistics[J].Proceedings of the Biennial Sessions,1999，58：27-30.

[2]楊靜，徐傳勝，王朝旺.試析巴夏里埃的《投機(jī)理論》對數(shù)學(xué)的影響[J].自然科學(xué)史研究，2008，27（1）：94-104.

[3]楊靜，王麗霞.愛因斯坦與布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)理論[J].西北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，36（1）：169-172.

[4]彭實(shí)戈.倒向隨機(jī)微分方程和金融數(shù)學(xué)[J].科學(xué)，1997，49（5）：30-33.

[5]程民德.中國數(shù)學(xué)發(fā)展的若干主攻方向[M].南京：江蘇教育出版社，1994.

Brownian Motion and the Origin of Stochastic Integration

YANG Jing1，HU Junmei2
（1.Department of Foundation Courses,Beijing Union University,Beijing 100101,China；2.Department of Mathematics and Physics,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043，Hebei,China)

Brownian motion is a special and important stochastic process in the theory of stochastic processes.This paper reviews the historical development of the theory of stochastic integration and finds out that the mathematical research on Brownian motion is the origin of stochastic integration.And this theory’s development is closely related to the profound study of Brownian motion.This aspect shows again the importance of Brownian motion.

Brownian motion;stochastic calculus;stochastic integration.

N09

A

1672-2914（2015）02-0007-04

2014-12-03

國家自然科學(xué)基金項目（11101034）。

楊靜(1977-)，女，河北石家莊市人，北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部副教授，理學(xué)博士，研究方向為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。