李國(guó)華，宗克輝，于 婷，孫 宇，宋 亮

（1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林132012；2.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司洛陽(yáng)市供電公司，洛陽(yáng)471000；3.國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司鞍山供電公司，鞍山114000）

勵(lì)磁控制系統(tǒng)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)的重要調(diào)節(jié)部分，準(zhǔn)確得到勵(lì)磁模型的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制起著重要的作用。所以勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的研究一直以來(lái)都受到人們的重視。相關(guān)辨識(shí)法、遺傳算法、改進(jìn)粒子群算法等非線性方法都在電力系統(tǒng)勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中得到了應(yīng)用[1-5]。

隨機(jī)子空間與傳統(tǒng)的Prony 算法不同，其本身具備一定的消除噪聲的能力。正因?yàn)槿绱?，一些學(xué)者研究了與電力系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，并取得了一定的成果[6-8]。文獻(xiàn)[9]結(jié)合隨機(jī)子空間和小波變換用于同步電機(jī)的參數(shù)辨識(shí)，結(jié)論表明兩者結(jié)合可取得較高的辨識(shí)精度。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了隨機(jī)子空間，并將其用于次同步震蕩的參數(shù)辨識(shí)，取得較好的辨識(shí)效果。上述結(jié)論從一定程度上表明，隨機(jī)子空間不僅具有優(yōu)良的參數(shù)辨識(shí)效果，而且可以與其他的算法結(jié)合，具有較好的理論融合度。

本文首先以IEEE/ST1A 模型為原型，在原型的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)簡(jiǎn)化，得到對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化模型。然后對(duì)勵(lì)磁模型的傳遞函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。接著介紹了隨機(jī)子空間的基本原理，辨識(shí)得到了勵(lì)磁模型的模態(tài)信息，再根據(jù)系統(tǒng)自身的特點(diǎn)，得到了勵(lì)磁系統(tǒng)的參數(shù)。由于實(shí)際中采集的信號(hào)難免會(huì)含有噪聲，所以本文引入了小波變換，用于消除信號(hào)中的噪聲。最后的仿真測(cè)試表明，帶小波分解的隨機(jī)子空間在較強(qiáng)的噪聲背景下，具有一定的抗噪能力。

1 勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

實(shí)際中有多種勵(lì)磁系統(tǒng)模型，本文在IEEE/ST1A 型的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，本文所需辨識(shí)的勵(lì)磁模型的框圖如圖1 所示。

圖1 勵(lì)磁系統(tǒng)的框圖Fig.1 Model of exciation system for identification

將圖1 寫(xiě)為傳遞函數(shù)的形式：

將式（1）中的多項(xiàng)式展開(kāi)，可得到如下形式傳遞函數(shù)：

對(duì)式（3）進(jìn)行拉普拉斯變換可得勵(lì)磁系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

得到勵(lì)磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間方程之后，便可應(yīng)用隨機(jī)子空間的方法進(jìn)行勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)。下面將簡(jiǎn)要介紹隨機(jī)子空間方法。

2 隨機(jī)子空間的原理

當(dāng)系統(tǒng)的輸入和輸出已知時(shí)，如何辨識(shí)得到對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)。隨機(jī)子空間方法是一種可供借鑒的方法。

對(duì)于狀態(tài)模型：

式中：A 為系統(tǒng)矩陣；C 為輸出矩陣；xi為狀態(tài)變量；yi為輸出變量；wi、vi為零均值過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲，且互不相關(guān)。根據(jù)輸出變量可構(gòu)造對(duì)應(yīng)的Hankel 矩陣。

隨機(jī)子空間方法主要分為以下4 個(gè)步驟[11]。

（1）對(duì)系統(tǒng)的輸出y（i）（i=1，2，…，n），構(gòu)造輸出函數(shù)的Hankel 矩陣：

其中，下標(biāo)p 代表‘過(guò)去’，多是由i 時(shí)刻以前的數(shù)據(jù)組成的矩陣，下標(biāo)f 代表‘未來(lái)’，即i 時(shí)刻以后的數(shù)據(jù)組成的矩陣。下標(biāo)“+”代表增廣矩陣，比原來(lái)的矩陣Yp多了一行?！?”代表刪減矩陣，比原來(lái)的矩陣少了一行。

（2）構(gòu)造協(xié)方差矩陣組成的Toeplize 矩陣T1/i：

（3）奇異值分解。對(duì)Toeplize 矩陣進(jìn)行奇異值分解，秩反映在不為零的奇異值數(shù)量上，也為系統(tǒng)的階次。

T1/i還可分解為

根據(jù)式（10）和式（11）可得系統(tǒng)矩陣A 和C。

對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A 進(jìn)行特征值分解：

式中：Λ=diag[λ1，λ2，…，λN]，λi為系統(tǒng)的特征值；Φ為系統(tǒng)的特征向量矩陣，Φ=[φ1，φ2，…，φN]。

3 小波消噪的基本原理

小波閾值去噪過(guò)程主要包括以下3 個(gè)步驟：

（1）小波分解：選定一種合適的小波基及適當(dāng)?shù)姆纸鈱訑?shù)，本文采用的是Meyer 小波。對(duì)采集信號(hào)做適當(dāng)層數(shù)的小波分解，其過(guò)程如圖2 所示。

其中k 為采樣點(diǎn)數(shù)，cj（k）為第j 層小波分解尺度系數(shù)；dj（k）為第j 層小波分解細(xì)節(jié)系數(shù)，H0、H1為一對(duì)低、高通濾波器組。

圖2 小波分解示意Fig.2 Sketch map of signal wavelet decomposition

（2）選擇閾值：對(duì)分解得到的各層細(xì)節(jié)系數(shù)dj（k）選擇適當(dāng)?shù)拈撝?。一種軟閾值的表達(dá)式為

本文采用默認(rèn)閾值方式，濾波的閾值由系統(tǒng)給定。

（3）小波重構(gòu)：利用消噪后的小波系數(shù)dj（k）重構(gòu)原始信號(hào)，過(guò)程如圖3 所示。

圖3 信號(hào)小波重構(gòu)過(guò)程Fig.3 Process of signal wavelet reconstruction

4 參數(shù)的求解

應(yīng)用隨機(jī)子空間方法得到系統(tǒng)矩陣A 和C 之后，即得到參數(shù)αi和βi（i=0，1，2，3），剩下的問(wèn)題就是如何將這些參數(shù)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)的參數(shù)。

首先根據(jù)式（2）可以得到參數(shù)bi（i=0，1，2，3），觀察傳遞函數(shù)的分子，恰好對(duì)應(yīng)的因式分解的形式，求解分子組成的方程，其形式為

式（16）分解因式后做適當(dāng)變換可得

不難得出對(duì)應(yīng)的特征根λi（i=1，2，3），如果事先知道TC1、TC2、TF之間的代數(shù)關(guān)系，就可以得出它們與特征根之間的一一對(duì)映關(guān)系。

得到TC1、TC2、TF之后，將其代入b0的表達(dá)式中，得到

將式（18）代入a0的表達(dá)式中，得到KA的表達(dá)式為

將式（1）的分母展開(kāi)之后可以得到方程

通過(guò)觀察式（1）的分母不難看出，系數(shù)由兩部分構(gòu)成，現(xiàn)在主要關(guān)心的是后半部分，即含有TB1、TB2、TE、TF的部分。因?yàn)榍鞍氩糠质且阎?，所以可將兩者分離開(kāi)來(lái)，只含有后半部分的方程為

其中：

求解式（21）對(duì)應(yīng)的方程之后，得到對(duì)應(yīng)的根，當(dāng)TB1、TB2、TE、TF的代數(shù)關(guān)系已知時(shí)，不難得出根與參數(shù)TB1、TB2、TE、TF之間的關(guān)系。

5 提取勵(lì)磁參數(shù)的步驟

（1）首先整理勵(lì)磁系統(tǒng)模型，通過(guò)拉普拉斯變換將其轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)；

（2）其次利用隨機(jī)子空間辨識(shí)出系統(tǒng)的特征根和幅值等參數(shù)值；

（3）得到特征根等信息后，通過(guò)勵(lì)磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的勵(lì)磁函數(shù)的參數(shù)值。

6 仿真分析

圖1 所述系統(tǒng)的主要參數(shù)為：TC1= 1.0，TC2=0.1，TF= 0.01，TB1= 8.0，TB2= 0.033，TE= 0.03，KA=200。仿真采用的信號(hào)為數(shù)字信號(hào)，采用的頻率為1000 Hz。

為了研究本文方法的效果，特地引入噪聲，然后做了對(duì)應(yīng)的仿真分析，使得分析的結(jié)果能夠更加有說(shuō)服力。采用的對(duì)照方法為總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)（TLS-ESPRIT total least square-estimating signal parameters of rotational invariance technique）。

表1 和表2 分別是在噪聲比較小的情況下的仿真結(jié)果，其中第5 列的本文算法是未加入小波濾波時(shí)的參數(shù)誤差。由表2 不難發(fā)現(xiàn)，在噪聲達(dá)到30 dB 時(shí)，系統(tǒng)的參數(shù)誤差達(dá)到32%，這是實(shí)際中難以接受的。所以需對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)做必要的濾波處理，本文采用小波默認(rèn)閾值消除噪聲，表3 為經(jīng)過(guò)消噪處理的仿真結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的誤差有明顯的下降，而且是在較強(qiáng)噪聲背景下，兩者方法均取得了較好的效果，而且本文的算法略好于對(duì)照算法。

表1 未加入小波濾波SNR=45 時(shí)的參數(shù)誤差Tab.1 Parameter error with SNR=45 and without wavelet filter

表2 未加入小波濾波SNR=30 時(shí)的參數(shù)誤差Tab.2 Parameter error with SNR=30 and without wavelet filter

在噪聲逐漸增加過(guò)程中，參數(shù)辨識(shí)的誤差會(huì)不斷變大。但在信噪比等于30 dB 的時(shí)候，對(duì)照方法出現(xiàn)較大的誤差，說(shuō)明對(duì)照方法穩(wěn)定性相對(duì)不足，或者說(shuō)需要輔助的信號(hào)處理手段才可能達(dá)到較高的辨識(shí)精度。本文在進(jìn)行了濾波處理后，取得的效果相對(duì)理想。

表3 加入小波濾波后SNR=15 時(shí)的參數(shù)誤差Tab.3 Parameter error with SNR=15 and with wavelet filter

7 結(jié)論

本文將隨機(jī)子空間應(yīng)用于勵(lì)磁系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，該方法的優(yōu)點(diǎn)是可無(wú)需多次迭代，不存在收斂問(wèn)題，而且在計(jì)算量能夠接受的情況下得到較高的辨識(shí)精度。需要進(jìn)一步探討的問(wèn)題有：

（1）討論的主要是高斯白噪聲情況下的辨識(shí)問(wèn)題，對(duì)于其他的噪聲是否存在同樣的規(guī)律有待于進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)證實(shí)；

（2）系統(tǒng)響應(yīng)在含有一定的噪聲時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)了較大的誤差，說(shuō)明單獨(dú)使用本文的方法并不可行，需要一定的信號(hào)預(yù)處理措施，使得估計(jì)的效果能夠更好。

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