常 帥

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 太原 030031)

正態(tài)總體下樣本方差分布的新證法

常 帥

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 太原 030031)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究問(wèn)題中,特征函數(shù)是一個(gè)重要的概念及工具．文章主要利用特征函數(shù)來(lái)證明正態(tài)總體下樣本方差的分布,過(guò)程簡(jiǎn)單,易于理解．

正態(tài)分布;樣本方差;特征函數(shù);獨(dú)立性

0 引言

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究問(wèn)題中,特征函數(shù)是一個(gè)重要的概念,也是一個(gè)有利的工具．特征函數(shù)完全刻畫了分布函數(shù)的特征．利用特征函數(shù),可以求一些隨機(jī)變量的數(shù)字特征(如期望、方差等),也可以求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布函數(shù),還可以求隨機(jī)變量序列的極限分布,以及證明一些定理與不等式[1-2]．本文將利用特征函數(shù)來(lái)證明正態(tài)總體下樣本方差的分布．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1-2]設(shè)X是任一隨機(jī)變量,稱φ(t)=E(eitX),t∈R是的特征函數(shù)．

定義2[1-2]設(shè)(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,

則稱此數(shù)學(xué)期望為X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]．

命題1[1-2]在二維正態(tài)分布場(chǎng)合下,不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)．

命題2[2]若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,又f(x),g(x)是兩個(gè)連續(xù)或逐段連續(xù)的函數(shù),則f(X),g(Y)相互獨(dú)立．

命題3[1-2]設(shè)X1,X2的特征函數(shù)分別為φ1(t),φ2(t),又X1與X2相互獨(dú)立,則X=X1+X2的特征函數(shù)為φ(t)=φ1(t)φ2(t)．

命題4[1-2]隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定．

命題5[3]假設(shè)X1,X2,…,Xn是獨(dú)立同分布的,具有期望μ與方差σ2,

2 主要結(jié)果

2)為了確定S2的分布,考慮

3 結(jié)論

本文利用特征函數(shù)對(duì)總體為正態(tài)分布的樣本方差的分布進(jìn)行推導(dǎo),過(guò)程簡(jiǎn)單,易于理解．

[1] 茆詩(shī)松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2006

[2] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2010

[3] Sheldon M Ross.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程:概率模型導(dǎo)論[M].龔光魯，譯.北京:人民郵電出版社,2007

A New Proof about the Distribution of Sampling Variability from Normal Population

CHANG Shuai

(Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Taiyuan 030031, China)

The characteristic function is an important concept and tool for the study of probability and statistics. We prove the distribution of sampling variability from normal population using characteristic function. The process is simple, easy to understand.

normal distribution;sampling variability;characteristic function;independence

2015-07-16

常 帥(1982-),男,山西大同人,碩士,太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系助教,主要從事概率統(tǒng)計(jì)研究．

1672-2027(2015)04-0018-02

O212.1

A