趙　蕾

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

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導(dǎo)彈目標(biāo)RCS計算的高階有限元-邊界積分方法

趙蕾

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

摘要：導(dǎo)彈目標(biāo)的RCS對于目標(biāo)探測識別及導(dǎo)彈的隱身設(shè)計都有重要的意義。提出了一種基于高階疊層基函數(shù)的高階有限元-邊界積分(FE-BI)方法，用來分析復(fù)雜電大尺寸導(dǎo)彈目標(biāo)的電磁散射特性。該方法在有限元部分和邊界部分都使用高階疊層基函數(shù)，通過具體的算例可看出使用這種高階疊層基函數(shù)的FE-BI方法具有更優(yōu)的矩陣性態(tài)。同時比較了高階FE-BI方法和低階FE-BI方法，可看出高階FE-BI方法具有更高的精確性，可有效地減小所分析問題需要的未知量，減小內(nèi)存消耗。

關(guān)鍵詞：高階疊層基函數(shù)；有限元-邊界積分法；導(dǎo)彈目標(biāo)RCS

0引言

有限元法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值方法，它對場域的剖分具有很大的靈活性,因此，對不規(guī)則、非均勻的物體具有廣泛的適用性,而且形成的矩陣為稀疏矩陣,可以利用這一特點來快速求解含大未知量的稀疏矩陣方程。但有限元在分析開域問題時由于區(qū)域的無限大,有限元剖分時將有無窮多個節(jié)點,所形成的矩陣方程將很難求解。多年來對于開域問題的研究概括起來主要有[1-3]：第一類是利用吸收邊界條件或完全匹配層技術(shù)將無限大空間截斷,使原問題限制在被研究物體周圍一個有限的范圍內(nèi),然后采用有限元進(jìn)行分析；第二類是應(yīng)用矩量法或邊界積分方程來處理被研究物體以外的無限大空間。第一類方法缺點在于擴大了研究區(qū)域，產(chǎn)生了較多的節(jié)點數(shù)，特別是吸收邊界的形狀以及其與散射體間的距離對于解得精度有很大的影響。第二類方法精度較高，所產(chǎn)生的節(jié)點數(shù)較少,但生成的是部分稀疏、部分滿秩陣,如果能夠快速求解該方程,則該方法有著較好的應(yīng)用前景，特別是對于電尺寸較大的散射體。

本文在已有文獻(xiàn)工作的基礎(chǔ)上,將一種高階疊層基函數(shù)運用到高階有限元-邊界積分(FE-BI)中，并應(yīng)用該高階FE-BI法分析復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射特性。對散射體內(nèi)外區(qū)域分別應(yīng)用高階有限元和高階邊界積分法進(jìn)行分析。然后通過場的邊界連續(xù)性進(jìn)行耦合,形成待求矩陣方程組,求解該方程組。通過具體的數(shù)值算例可看出，使用這種高階疊層基函數(shù)的FE-BI方法具有更優(yōu)的矩陣性態(tài)，并且與低階FE-BI相比，高階FE-BI方法有著更高的計算精度性、收斂速度和更高的計算效率。

1　理論分析1.1　FE-BE法基本原理

圖1所示為一個涂層體，以涂層體最外層的邊界面Se將整個區(qū)域分成兩個區(qū)域，面內(nèi)的體V為介質(zhì)層，面外為自由空間，或無限大的背景空間。平面波從外照射到這一涂層體上，Si是金屬閉合表面，因此其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以不必考慮。在分析時，將區(qū)域V內(nèi)的場用有限元法建立方程，對于外部自由空間區(qū)域中的場，用矩量法建立方程，然后讓這兩部分的場在邊界上滿足不連續(xù)條件，建立一個完整的可以求解的方程。

圖1　任意目標(biāo)在平面波照射下的示意圖

根據(jù)這一思路，可以得出相應(yīng)部分的公式如下：

在區(qū)域V內(nèi)電場滿足矢量波動方程：

(1)

將式(1)寫成變分的形式，可得：

(2)

由于式(2)中H只在表面出現(xiàn)，式(2)可以轉(zhuǎn)換為：

(3)

將E和JS分別用基函數(shù)展開：

對上述泛函求變分，可得：

(4)

根據(jù)等效原理，邊界Se上等效面電流JS產(chǎn)生的散射場滿足混合邊界積分方程, 本文采用TE+NH型混合場積分方程,有如下形式：

式中，L和K算子的具體定義見參考文獻(xiàn)[4~5]，對上述方程組使用高階基函數(shù)作為基函數(shù)與測試基函數(shù)可得一組線性方程，即：

(5)

式中，P和Q的矩陣元素及b向量的詳細(xì)表達(dá)式在文獻(xiàn)[4~5]中已詳細(xì)給出。

綜合式(4)和式(5)可獲得進(jìn)行求解的矩陣方程的形式：

(6)

1.2　新型高階疊層基函數(shù)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[6]中關(guān)于疊層基函數(shù)的構(gòu)造方式，可推導(dǎo)出應(yīng)用在有限元部分的旋度共形高階疊層基函數(shù)和應(yīng)用在邊界部分的散度共形高階疊層基函數(shù)。首先推導(dǎo)有限元部分的旋度共形高階疊層基函數(shù),具體如下：

(7)

在應(yīng)用有限元-邊界積分方程時，在有限元部分和邊界部分都使用1.5階的高階疊層型基函數(shù)，邊界面上的散度共形基函數(shù)和有限元內(nèi)部的旋度共形基函數(shù)滿足關(guān)系：

(8)

2數(shù)值算例

如圖2所示的具有復(fù)雜幾何外形的導(dǎo)彈模型，模型x、y、z方向尺寸分別為2.5m、1.0m、3.3m, 導(dǎo)彈的材料為純金屬。設(shè)定雷達(dá)工作頻率為300MHz，雷達(dá)照射波從導(dǎo)彈頭方向垂直入射，采用本文提出的方法來分析該導(dǎo)彈目標(biāo)的雙站RCS。迭代算法收斂精度為1.0e-03。在導(dǎo)彈模型表面包裹一層0.1m的空氣層用來設(shè)置有限元邊界，利用ANSYS軟件對空氣層和導(dǎo)彈表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到的四面體數(shù)為9573，三角形數(shù)為3740，從而分別得到有限元未知量63814，邊界積分未知量18700。利用本文提出的高階FE-BI算法形成矩陣方程，采用迭代算法求解得到散射電場和感應(yīng)電流的未知展開系數(shù)。當(dāng)雷達(dá)照射波分別為垂直極化入射和水平極化入射時，仿真計算得到的導(dǎo)彈目標(biāo)同極化雷達(dá)散射回波如圖3所示。從所給出的結(jié)果可看出，高階FE-BI仿真得到的結(jié)果和商業(yè)軟件FEKO的結(jié)果都吻合得很好，說明了本文提出算法的正確性。

圖2　導(dǎo)彈模型示意圖

圖3　導(dǎo)彈目標(biāo)的雷達(dá)散射截面(RCS)

本文的高階FE-BI方法和文獻(xiàn)[7]中提出的FE-BI方法在計算該算例時使用的求解未知量數(shù)目和求解時間的比較，如表1所示。數(shù)值結(jié)果表明本文提出的高階FE-BI方法需要的求解未知量和求解時間更少，收斂性態(tài)更優(yōu)，證明了本文算法的有效性。

表1　不同F(xiàn)E-BI方法的未知量數(shù)目和求解時間比較

3結(jié)束語

由導(dǎo)彈目標(biāo)RCS的仿真結(jié)果可以看出，對于該種外形的導(dǎo)彈目標(biāo)，迎頭方向的散射回波最強。在雷達(dá)照射波水平極化時，產(chǎn)生的雷達(dá)回波散射中心多于垂直極化照射波產(chǎn)生的散射回波，因此采用天線水平極化方式的雷達(dá)更利于對導(dǎo)彈目標(biāo)的探測。本文提出了一種基于高階疊層矢量基函數(shù)的高階FE-BI方法，用來精確求解具有任意復(fù)雜外形的導(dǎo)彈目標(biāo)的RCS，數(shù)值算例證明了本文提出方法的有效性?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

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Higher order finite element-boundary integration method for RCS

computation of missile target

Zhao Lei

(Nanjing Institute of Industry Technology，Nanjing 210023，Jiangsu，China)

Abstract：The radar cross section (RCS) of missile target has great significance to the target detection and recognition, and the stealthy design of missile target. The higher order finite element-boundary integration (FE-BI) based method is proposed for analyzing the electromagnetic scattering characteristics of complex electrical large missile target. The higher order hierarchical basis function is used both in the FE region and BI region. It can be found from the numerical example that the convergence properties of FE-BI matrix is improved by using the higher order bases. More accurate results can be obtained by the higher order FE-BI method, which compared with the general method. The unknown number and the memory cost also can be reduced efficiently.

Key words：higher order hierarchical basis function；FE-BI method；RCS of missile target

中圖分類號：TJ765.4+1；TN974

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：趙蕾(1978-)，女，高工，碩士，主要研究方向為航天電子對抗。

收稿日期：2015-09-26；2015-11-05修回。