杜勇 武佳 尹吉慶 葉雙雙

(武警后勤學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，天津 300309)

前言

通過研究交通流的動(dòng)力學(xué)模型人們發(fā)現(xiàn)處于自由流和阻塞流之間的交通流存在著阻塞轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象.后來有一些學(xué)者運(yùn)用非線性分析的方法對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行了研究，如Kurtze和Hong從交通流的流體力學(xué)模型中導(dǎo)出了KdV方程［1］，他們展示了中性穩(wěn)定性曲線附近出現(xiàn)的孤立子.Komastsu和Sasa［2］運(yùn)用同樣的方法在車輛跟馳模型也推導(dǎo)出了mKdV方程，通過在臨界點(diǎn)周圍時(shí)出現(xiàn)的扭結(jié)—反扭結(jié)的密度波來描述交通阻塞現(xiàn)象.同時(shí)在擴(kuò)展模型［3］和差分方程模型［4，5］中也可推導(dǎo)出mKdV方程.說明幾類主要模型都能描述交通流的堵塞轉(zhuǎn)移現(xiàn)象.為了更加真實(shí)描述交通流現(xiàn)象，T.Nagatani提出了關(guān)于時(shí)間連續(xù)空間離散的單車道格子流體力學(xué)模型［6］，為交通流的研究開創(chuàng)了一個(gè)新的方向.2004年薛郁在一維交通流格子模型的基礎(chǔ)上，分別考慮最近鄰和次近鄰車以及考慮前、后近鄰車相互作用進(jìn)行車輛優(yōu)化的交通流格子模型［7］，結(jié)果顯示次近鄰車輛信息對(duì)模型有致穩(wěn)作用.祝會(huì)兵從分析司機(jī)的細(xì)致行為出發(fā)，提出了考慮司機(jī)反應(yīng)延遲的格子流體力學(xué)模型［8］，指出延遲時(shí)間越長越容易造成交通阻塞.該模型未引入次近鄰車輛因素.

本文在車輛次近鄰交互跟馳模型和司機(jī)反應(yīng)延遲模型的基礎(chǔ)之上，基于次近鄰車輛對(duì)格子模型的致穩(wěn)作用和司機(jī)反應(yīng)延遲時(shí)間對(duì)格子模型穩(wěn)定性破壞作用，提出了基于司機(jī)反應(yīng)延遲的次近鄰車輛交互的格子模型，能夠更加真實(shí)地反映行駛車輛的交通流行為.

1 考慮司機(jī)反應(yīng)延遲和次近鄰車輛交互影響的格子流體力學(xué)模型

通過改進(jìn)優(yōu)化流量函數(shù)提出如下格子流體力學(xué)模型，

上式中第一個(gè)方程是流體力學(xué)的連續(xù)性方程的空間離散形式，由方程

得到，反映了車輛數(shù)守恒.第二個(gè)方程為車流量控制方程，由方程

離散化后得到，其中V(ρ(x))為優(yōu)化速度函數(shù)［8］，

vmax是車輛運(yùn)行的最大速度;hc為車輛行駛的安全距離;τ為時(shí)間步長;a為司機(jī)敏感系數(shù).(1)中j表示一維格子的j點(diǎn)，ρj，vj分別表示j點(diǎn)處t時(shí)刻的車流密度和速度;ρ0為平均密度，空間步長為平均車頭距1/ρ0.τ為車輛延遲時(shí)間，可以分為機(jī)械延遲和司機(jī)延遲，其中nτ表示司機(jī)的延遲時(shí)間，n為權(quán)重，車輛流量的調(diào)整由于司機(jī)的反應(yīng)延遲會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯.(1)中第二個(gè)方程表示在位置j處時(shí)刻t時(shí)的流量ρjvj需要j+1和j+2處t-nτ時(shí)的流量來控制，其中等號(hào)右側(cè)第二式為近鄰與次近鄰車輛之間的優(yōu)化流量差，γ為權(quán)重系數(shù).

把(1)第二個(gè)方程帶入第一個(gè)方程，消去ρjvj化簡得密度方程

2 線性穩(wěn)定性分析

首先考慮均勻交通流的穩(wěn)定性.定義密度為常數(shù)ρ0，速度為常數(shù)V(ρ0)時(shí)的交通流為均勻交流.方程(2)在均勻流時(shí)的解為

令yj(t)為均勻穩(wěn)定流的小擾動(dòng)，則有ρj(t)=ρ0+yj(t).然后，代入(2)得到方程在線性化之后的方程為

通過展開yj(t)∝exp(ikj+zt)，得到關(guān)于z的如下方程

再展開z=z1(ik)+z2(ik)2+…，代入上式，得到ik的一階和二階系數(shù)

如果z2是負(fù)值，那么這種均勻穩(wěn)定的交通流在長波模式下就是不穩(wěn)定的.如果z2為正值，那么均勻流是穩(wěn)定的.因此，中性穩(wěn)定性的條件為z2=0，即

對(duì)于長波模式下的小擾動(dòng)情形，τ在滿足下列條件時(shí)，均勻流是不穩(wěn)定的.即

優(yōu)化速度的導(dǎo)數(shù)V'(ρ0)當(dāng)ρ0=ρc(ρc為臨界密度)時(shí)取到最小值.如果τ＜τc，那么均勻流在不考慮密度的情況下往往是穩(wěn)定的.ρ=ρc，τ=τc臨界點(diǎn).

由(7)可知，n=0時(shí)，a會(huì)隨著γ的增加而減小，行駛車輛對(duì)于交通阻塞的敏感度會(huì)下降，模型的穩(wěn)定性增強(qiáng).當(dāng)γ=0時(shí)，a會(huì)隨著n的增加而增加，模型的穩(wěn)定性減弱.

3 非線性分析及mKdV方程

運(yùn)用約化攝動(dòng)法對(duì)模型進(jìn)行非線性穩(wěn)定性分析.考慮模型粗顆粒下的長波模式，描述長波模式的最簡單的方法就是長波的泰勒展開.因在臨界點(diǎn)(ρc，τc)附近的長波變化會(huì)出現(xiàn)慢變量行為，故當(dāng)0＜ε?1時(shí)，定義慢變量

其中b為常數(shù).假設(shè)密度:

把以上式子帶入(2)中展開到ε的5次冪，則得到如下的偏微分方程

其中，

其中，

式(11)可化為方程

其中

作變換

把(16)中的變換代入到(14)，得到(14)的規(guī)范化方程為

如果忽略(17)中的O(ε)項(xiàng)，(17)就是mKdV方程，且有扭結(jié)孤立波解

基于R'(X，T')=R'0(X，T')+εR'1(X，T')，需要正確的考慮O(ε).為了選擇扭結(jié)解(18)中的傳播速度c的值，需要滿足如下可解條件

其中，

通過積分(19)，并仿照文獻(xiàn)［9］的計(jì)算得到

于是把(21)和(16)代入(18)中得到方程(17)的解

到扭結(jié)解的振幅

其中

其中，

因扭結(jié)解代表共生相，所以式(22)既包含低密度自由流相位也包含高密度的阻塞相位，分別用ρ=ρc-A，ρ=ρc+A表示.得到坐標(biāo)系(ρ，a)下相圖(圖1).由ρ=ρc-A得到密度與敏感度的關(guān)系

圖1 取不同值時(shí)密度-敏感度相圖Fig.1 The phase diagram on(ρ，a)-plane for n=0

圖1描述n=0，γ分別取0，0.1，0.2，0.3時(shí)密度-敏感度相圖，即中性穩(wěn)定性與共存曲線的相圖.其中共存曲線與中性穩(wěn)定性曲線，分別用實(shí)線與虛線表示.由圖可知，隨著γ的增大，共存曲線與中性穩(wěn)定性曲線都越來越低，不穩(wěn)定區(qū)域越來越小(阻塞的區(qū)域越來越小)即穩(wěn)定區(qū)域越來越大，說明交通流的穩(wěn)定性增強(qiáng).因此，次近鄰車輛的行為對(duì)格子流體力學(xué)模型有一定的致穩(wěn)作用，而且這種作用隨著強(qiáng)度系數(shù)的增大而增大.結(jié)論與薛郁優(yōu)化車輛的流體力學(xué)格子模型［7］的結(jié)果相符.

下面進(jìn)行參數(shù)分析.首先，令F(n，γ)=C，(C為常數(shù))即為參數(shù)n，γ的關(guān)系式.如圖2所示n與γ成負(fù)相關(guān)，由曲線的斜率逐漸增大可知，隨著n的增大γ也變化的越來越快.相同條件下，n的擾動(dòng)相對(duì)γ來說對(duì)模型穩(wěn)定性的影響會(huì)更大.

圖2 參數(shù)關(guān)系圖Fig.2 The relation diagram on(n，γ)-plane

圖3 n，γ取不同值時(shí)密度-敏感度相圖Fig.3 The phase diagram on(ρ，a)-plane for obtaining the different with n，γ

通過共存曲線來進(jìn)一步論證上述結(jié)論.圖3描述n取0.05，0.1，0.15時(shí)，γ分別取值0.1，0.2，0.3時(shí)的密度—敏感度相圖，作者只分析參數(shù)變化對(duì)共存曲線的影響.因?yàn)檐囕v反應(yīng)延遲主要來自機(jī)械延遲，司機(jī)反應(yīng)延遲只占其中的小部分，所以n分別取值0.05，0.1，0.15.圖3中n=0.05用點(diǎn)線表示，n=0.10用破折線表示，n=0.15用直線表示.圖中最上面三條線是γ=0.1的情形，中間是γ=0.2的情形，最下面是γ=0.3的情形.通過觀察圖3分析發(fā)現(xiàn)，γ取相同值時(shí)，敏感系數(shù)ac隨著n越大不斷增大，共存曲線的位置不斷上升，穩(wěn)定區(qū)域不斷減小.表明司機(jī)的敏感程度減弱，或者說當(dāng)司機(jī)感知車頭間距的延遲時(shí)間增大時(shí)交通擁堵現(xiàn)象更容易發(fā)生，這與實(shí)際交通現(xiàn)象時(shí)吻合的.也和文獻(xiàn)［8］的結(jié)論相同.

4 結(jié)論

本文模型中綜合考慮司機(jī)反應(yīng)延遲和次近鄰車輛兩因素，既考慮了司機(jī)細(xì)致行為又考慮交通流動(dòng)力學(xué)行為對(duì)運(yùn)行車輛的調(diào)整.兩個(gè)因素成負(fù)相關(guān)，對(duì)模型穩(wěn)定性起相反作用，共同造成交通流的復(fù)雜性.薛郁優(yōu)化車輛的流體力學(xué)格子模型［7］和祝會(huì)兵基于司機(jī)反應(yīng)延遲的流體力學(xué)格子模型［8］是本模型的特殊情形.說明本文結(jié)論正確，符合實(shí)際交通流行為，同時(shí)也說明模型更全面的反映交通流的實(shí)際行為.

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