鄭穎，馬大為，姚建勇，胡健

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

火箭炮位置伺服系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)方位和俯仰兩軸聯(lián)動(dòng)產(chǎn)生的耦合力矩分別作用在兩軸負(fù)載端，考慮耦合作用產(chǎn)生的負(fù)載力矩給系統(tǒng)帶來(lái)的影響是很有必要的，而以往火箭炮位置伺服系統(tǒng)極少考慮耦合效應(yīng)，以研究單軸即單輸入單輸出系統(tǒng)控制策略為主，且基于電機(jī)模型設(shè)計(jì)控制器而忽略了驅(qū)動(dòng)器對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的影響，因此有必要研究?jī)奢S耦合作用下基于實(shí)際系統(tǒng)速度閉環(huán)的火箭炮位置伺服系統(tǒng)控制策略和控制性能?；鸺诎l(fā)射時(shí)負(fù)載瞬態(tài)變化大，受不平衡力矩和燃?xì)饬鳑_擊力矩等強(qiáng)干擾，導(dǎo)致方位和俯仰兩軸振動(dòng)，使得后續(xù)射彈精度降低。為抑制強(qiáng)干擾作用實(shí)現(xiàn)火箭炮快速響應(yīng)和穩(wěn)定性的控制要求，設(shè)計(jì)具有解耦性能且對(duì)未知?jiǎng)討B(tài)具有魯棒性的控制器成為研究的重要內(nèi)容。

火箭炮單軸伺服系統(tǒng)控制策略［1-3］能有效提高方位軸或俯仰軸跟蹤精度和抗干擾性能，但沒(méi)有給出對(duì)兩軸耦合系統(tǒng)的控制效果。文獻(xiàn)［4］提出了一種多輸入多輸出系統(tǒng)的魯棒控制方法但需要很大的計(jì)算量。文獻(xiàn)［5］針對(duì)不確定多輸入多輸出飛行器模型設(shè)計(jì)了基于變結(jié)構(gòu)控制的魯棒反饋控制器，分析了具有輸入擾動(dòng)和系統(tǒng)不確定性的多輸入多輸出系統(tǒng)采用變結(jié)構(gòu)控制時(shí)的穩(wěn)定滑模和漸進(jìn)穩(wěn)定條件，但此控制方法計(jì)算量較大。文獻(xiàn)［6］對(duì)兩輸入兩輸出雙環(huán)時(shí)滯系統(tǒng)采用了自抗擾控制方法，將耦合作用視為外部擾動(dòng)。自抗擾控制［7］能補(bǔ)償雙環(huán)耦合作用，在解耦方面控制性能優(yōu)于PI 控制。文獻(xiàn)［8］將輸入延時(shí)多變量系統(tǒng)作為一類(lèi)輸入無(wú)延時(shí)的高階系統(tǒng)，通過(guò)自抗擾控制方法實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)總擾動(dòng)。該控制方法能使多變量系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性，滿足性能指標(biāo)，但需要調(diào)節(jié)的參數(shù)較多，參數(shù)整定較為不易。文獻(xiàn)［9］基于自抗擾控制方法提出了一種動(dòng)態(tài)擾動(dòng)解耦控制策略，對(duì)多變量系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，并給出了穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［10］分析了線性自抗擾方法對(duì)一類(lèi)具有未知?jiǎng)討B(tài)和外部擾動(dòng)的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的控制性能。提出的控制目標(biāo)即瞬時(shí)輸出和理想輸出的誤差小于給定約束值，并給出了線性自抗擾控制器滿足控制目標(biāo)的證明。對(duì)飛行控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明了該控制器的有效性。

文獻(xiàn)［11 - 12］提出的線性自抗擾控制器(LADRC)設(shè)計(jì)方法具有收斂速度快、精度高、魯棒性強(qiáng)、抗干擾能力強(qiáng)、控制參數(shù)少、算法簡(jiǎn)單、易于工程實(shí)現(xiàn)［13-15］等優(yōu)點(diǎn)。本文建立了火箭炮方位、俯仰兩軸耦合系統(tǒng)模型，通過(guò)模型近似得到了兩軸系統(tǒng)的2 階近似模型，并以此設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)總擾動(dòng)，通過(guò)設(shè)計(jì)的控制器對(duì)系統(tǒng)給予擾動(dòng)補(bǔ)償，有效抑制了火箭炮燃?xì)饬鳑_擊影響，達(dá)到了控制目標(biāo)。

1 火箭炮兩軸耦合伺服系統(tǒng)模型

1.1 火箭炮兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)矩方程

火箭炮方位和俯仰兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)關(guān)系變換如圖1所示［16］。Oxyz 表示大地坐標(biāo)系，Oxayaza表示方位系統(tǒng)坐標(biāo)系，Oxpypzp表示俯仰系統(tǒng)坐標(biāo)系。方位系統(tǒng)(包括俯仰系統(tǒng))繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oza(Oz)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度γ，俯仰系統(tǒng)繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oyp逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度β.

圖1 兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)關(guān)系變換圖Fig.1 The coordinate relation diagram of the two-axis turntable

Ppa為俯仰系統(tǒng)坐標(biāo)系Oxpypzp投影到方位系統(tǒng)坐標(biāo)系Oxayaza的轉(zhuǎn)移矩陣。由圖1可得:

假設(shè)方位系統(tǒng)和俯仰系統(tǒng)相對(duì)于各自的坐標(biāo)軸系是軸對(duì)稱(chēng)的，則方位和俯仰系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為

式中:Jxa、Jya、Jza分別表示方位系統(tǒng)繞Oxa、Oya、Oza軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jxp、Jyp、Jzp分別表示俯仰系統(tǒng)繞Oxp、Oyp、Ozp軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

俯仰系統(tǒng)對(duì)方位系統(tǒng)坐標(biāo)系Oxayaza的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為

則俯仰系統(tǒng)相對(duì)于方位系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oza的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

由于兩軸聯(lián)動(dòng)方位系統(tǒng)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oza的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合了俯仰系統(tǒng)相對(duì)于Oza的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此方位系統(tǒng)(包含俯仰系統(tǒng))相對(duì)于方位系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oza的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

俯仰系統(tǒng)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oyp的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

定義方位系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度矢量為

俯仰系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸Oyp的角速度矢量為

則俯仰系統(tǒng)角速度為

剛體的歐拉動(dòng)力學(xué)方程為

將(6)式、(7)式、(8)式和(11)式代入(12)式得兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)矩方程為

兩軸系統(tǒng)相對(duì)各自坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表1所示。

表1 兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Tab.1 Moment of inertia for two-axis turntable

將負(fù)載轉(zhuǎn)矩折算到減速器前端即電機(jī)輸出端，其中俯仰軸減速器減速比為ip=231，方位軸減速器減速比為ia= 192. 將表1中數(shù)據(jù)代入(13)式、(14)式，并折算到減速器前端，可得折算后的火箭炮伺服系統(tǒng)耦合力矩方程為

1.2 火箭炮兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)模型近似

建立火箭炮兩軸轉(zhuǎn)臺(tái)速度環(huán)模型，通過(guò)頻域分析建立系統(tǒng)近似模型從而進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)?；鸺趦奢S耦合系統(tǒng)速度環(huán)模型如圖2所示。

圖2 火箭炮兩軸耦合系統(tǒng)速度環(huán)模型Fig.2 Velocity loop model of rocket launcher servo system with two-axis coupling

圖2中俯仰系統(tǒng)參數(shù):Gpv(s)=15+20/s;Gpc(s)=10 +5/s，s 為拉普拉斯算子;電機(jī)電樞電感Lp=50 ×10-3H;電機(jī)電樞繞組電阻Rp=2.6 Ω;電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)KpT=1.11 N·m/A;折算到電機(jī)端的電機(jī)及負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jp=9.323 ×10-3kg·m2;粘滯摩擦系數(shù)Bp= 0.012 N·m·s/rad;電勢(shì)系數(shù)KpE=0.64 V·s/rad;速度環(huán)穩(wěn)態(tài)增益bp=0.073 rad/(s·V-1);Vp、Ip和Tp分別為電機(jī)電樞電壓、電流和電磁轉(zhuǎn)矩。

方位系統(tǒng)參數(shù):Gav(s)=20 +25/s;Gac(s)=20 +15/s;La=33.5 ×10-3H;KaT=1.34 N·m/A;Ja=0.033 kg·m2;Ba=0.035 N·m·s/rad;Ra=1.32 Ω;KaE=0.78 V·s/rad;ba=0.073 rad/(s·V-1).

在Matlab/Simulink 中建立如圖2所示的兩軸耦合系統(tǒng)速度環(huán)仿真模型，通過(guò)頻域分析得到火箭炮兩軸耦合系統(tǒng)速度環(huán)模型Bode 圖，并通過(guò)1 階慣性環(huán)節(jié)近似系統(tǒng)速度環(huán)模型，如圖3所示。

圖3 方位和俯仰系統(tǒng)速度環(huán)模型及其近似模型Bode 圖Fig.3 Bode diagrams of velocity loop models for azimuth and pitch axes and the approximate transfer functions

通過(guò)Bode 圖頻域分析可得俯仰軸和方位軸驅(qū)動(dòng)器速度閉環(huán)模型在中低頻段(如10 Hz 以?xún)?nèi))，其幅頻特性和相頻特性均與1 階慣性環(huán)節(jié)近似模型逼近，因此兩軸模型均可由1 階慣性環(huán)節(jié)近似，則俯仰軸和方位軸輸入輸出關(guān)系式分別為

式中:τp、τa為兩軸1 階慣性環(huán)節(jié)近似模型的時(shí)間常數(shù);B(s)、Г(s)為兩軸輸出角速度的頻域表示;Up(s)、Ua(s)為兩軸輸入電壓up、ua的頻域表示;Fp(s)、Fa(s)為兩軸模型近似誤差fp(t)、fa(t)的頻域表示。

由圖3分析得俯仰系統(tǒng)參數(shù)ωnp為俯仰系統(tǒng)相位角φp(ω)= -45°時(shí)的系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率，因此ωnp=70 rad/s，則τp=1/ωnp=1/70 s/rad. 同理可得方位系統(tǒng)參數(shù)τa=1/50.6 s/rad.

由(17)式和(18)式得火箭炮兩軸系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)空間形式為

式中:x1=［xp1，xa1］T，為俯仰和方位兩軸減速器輸出端位置;x2為兩軸減速器輸出端角速度;x3為兩軸系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài);b=diag(bp，ba)，為兩軸速度環(huán)穩(wěn)態(tài)增益;τ=diag(τp，τa);u=［up，ua］T.

2 火箭炮兩軸耦合系統(tǒng)線性自抗擾控制

結(jié)合文獻(xiàn)［11］中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法和(19)式構(gòu)建火箭炮兩軸系統(tǒng)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

式中:ωo為兩軸系統(tǒng)觀測(cè)器帶寬為俯仰和方位兩軸減速器輸出端角度估計(jì);為兩軸系統(tǒng)角速度估計(jì);為兩軸系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)估計(jì)。

設(shè)計(jì)的兩軸系統(tǒng)自抗擾控制律為

式中:u0=［up0，ua0］T，為兩軸系統(tǒng)的誤差反饋律。

系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的收斂性證明見(jiàn)文獻(xiàn)［17］，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器誤差隨觀測(cè)器帶寬的增大而減小，當(dāng)觀測(cè)器帶寬足夠大時(shí)可使觀測(cè)器誤差趨于0，則所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器是收斂的。將(21)式代入(19)式，可得

由(22)式得通過(guò)控制律使原來(lái)的非線性系統(tǒng)變?yōu)榫€性積分器串聯(lián)型系統(tǒng)，通過(guò)u0的設(shè)計(jì)使閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的性能。

3 火箭炮兩軸耦合系統(tǒng)仿真分析

取LADRC 中的u0為PID 控制律，其中up0=5 000 +100/s+100s，ua0=5 000 +80/s +100s，系統(tǒng)觀測(cè)器帶寬ωo=300 rad/s. 對(duì)火箭炮兩軸耦合伺服系統(tǒng)進(jìn)行仿真，俯仰軸給定位置輸入信號(hào)r1=0.5 -0.5cos(2π×0.2t)，單位rad，即俯仰軸輸入信號(hào)在0°～57.3°之間變化;方位軸位置參考信號(hào)r2=1 -cos(2π×0.2t)，單位rad，則方位軸輸入信號(hào)在0° ～114.6°之間變化。

火箭炮伺服系統(tǒng)在發(fā)射時(shí)受燃?xì)饬鳑_擊影響，負(fù)載干擾信號(hào)模擬燃?xì)饬鳑_擊和負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化，負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化包括發(fā)射時(shí)火箭彈減少引起的轉(zhuǎn)矩變化和(15)式、(16)式表示的兩軸耦合力矩影響。給定火箭炮跟蹤5 s 后每0.5 s 間隔發(fā)射一次，則俯仰軸和方位軸受負(fù)載干擾如圖4所示。俯仰軸和方位軸驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓控制量up、ua如圖5所示。由圖5可得兩軸驅(qū)動(dòng)器輸入電壓滿足-10 ～10 V 的輸入范圍。兩軸耦合系統(tǒng)的角度跟蹤誤差曲線如圖6所示。該LADRC 與傳統(tǒng)PID 方法的控制效果比較如圖7所示。

圖4 俯仰軸和方位軸負(fù)載干擾曲線Fig.4 Load disturbance curves of pitch and azimuth axes

圖5 俯仰軸和方位軸驅(qū)動(dòng)器輸入電壓控制量Fig.5 Input voltage control laws of motor drivers of pitch and azimuth axes

圖6 俯仰軸和方位軸角度跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking error curves of pitch and azimuth axes

由圖6得該自抗擾控制律使兩軸耦合系統(tǒng)角度跟蹤誤差小于1 mil，滿足控制精度要求，且響應(yīng)速度快，在瞬態(tài)沖擊下快速返回初始位置。由圖7得該LADRC 精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)PID 控制，在燃?xì)饬鞒掷m(xù)瞬態(tài)沖擊力矩和兩軸耦合力矩影響下，傳統(tǒng)PID控制的角度跟蹤誤差大于1 mil，不能滿足控制需求，而提出的自抗擾控制律具有較高的跟蹤精度和快速響應(yīng)能力。

圖7 耦合系統(tǒng)線性自抗擾和PID 控制的角度跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking errors of two-axis coupling system using linear active disturbance rejection control law and PID

4 實(shí)驗(yàn)分析

火箭炮伺服系統(tǒng)由上位工控機(jī)、基于DSP F2812 的位置控制器、方位及俯仰永磁同步電機(jī)、方位及俯仰驅(qū)動(dòng)器、減速器和旋轉(zhuǎn)變壓器等組成。實(shí)驗(yàn)中將驅(qū)動(dòng)器配置在速度環(huán)。為了模擬燃?xì)饬鳑_擊給系統(tǒng)帶來(lái)的影響，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給系統(tǒng)施加一個(gè)持續(xù)8 s 的數(shù)值模擬信號(hào)，該沖擊力矩通過(guò)DSP軟件編程形成矩形波電壓信號(hào)，將該電壓施加給驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)軟件模擬沖擊力矩。分別給俯仰和方位驅(qū)動(dòng)器施加0.8 V 和1 V 的電壓，通過(guò)文中所設(shè)計(jì)的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，伺服系統(tǒng)的輸出位置曲線如圖8所示。

由圖8可得俯仰系統(tǒng)受到?jīng)_擊后經(jīng)過(guò)2 s 逐漸返回初始位置進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，方位系統(tǒng)經(jīng)過(guò)3 s 逐漸返回初始位置。當(dāng)脈沖電壓擾動(dòng)信號(hào)階躍變?yōu)? V時(shí)，系統(tǒng)誤差從0 變?yōu)樨?fù)值，隨后經(jīng)過(guò)2.5 s 誤差又趨于0. 圖8表明通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償能有效補(bǔ)償沖擊力矩對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。

圖8 系統(tǒng)瞬態(tài)沖擊響應(yīng)曲線Fig.8 Impulse response curves

5 結(jié)論

本文針對(duì)火箭炮位置伺服系統(tǒng)方位和俯仰兩軸耦合的特點(diǎn)，建立了兩軸系統(tǒng)耦合轉(zhuǎn)矩方程并通過(guò)頻域分析提出了兩軸系統(tǒng)的2 階近似模型。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了兩軸線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和自抗擾控制律，對(duì)系統(tǒng)未建模干擾進(jìn)行估計(jì)并實(shí)時(shí)補(bǔ)償。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器能有效補(bǔ)償火箭炮發(fā)射時(shí)燃?xì)饬鳑_擊力矩強(qiáng)干擾及系統(tǒng)耦合作用，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì)。

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