胡鈺，王華，2，任章

(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原030051;2.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191;3.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

可重復(fù)使用運(yùn)載器(RLV)的再入返回過(guò)程可分為下降段、準(zhǔn)平衡滑翔段和末端能量管理段，其中準(zhǔn)平衡滑翔段是最主要的飛行階段，在此過(guò)程中，由于特殊的飛行模式、復(fù)雜的飛行包線、惡劣的飛行環(huán)境，使飛行器氣動(dòng)參數(shù)變化較為劇烈，呈現(xiàn)嚴(yán)重的非線性及不確定性［1］，加之對(duì)航跡角的嚴(yán)格要求，成為跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)面臨的重要問(wèn)題。目前，RLV軌跡跟蹤控制大多是針對(duì)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行小擾動(dòng)線性化后的模型采用最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)的［2-3］，但是最優(yōu)控制方法一方面對(duì)精確數(shù)學(xué)模型依賴性大，另一方面當(dāng)氣動(dòng)參數(shù)等發(fā)生較大變化，或者工作狀態(tài)發(fā)生突發(fā)偏離時(shí)，表現(xiàn)出魯棒性較差的問(wèn)題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有動(dòng)態(tài)品質(zhì)好、控制精度高、魯棒性強(qiáng)、干擾抑制能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，成為一種控制不確定系統(tǒng)的有效方法［4］。

為了克服傳統(tǒng)跟蹤方法魯棒性差的缺陷，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者將變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法引入到高超聲速飛行器軌跡跟蹤中，文獻(xiàn)［5］通過(guò)滑?？刂坪艽蟪潭忍岣吡讼到y(tǒng)的魯棒性，保證了導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的精確跟蹤，但是由于采用簡(jiǎn)單的趨近律造成控制變量抖振較大。本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，對(duì)RLV 再入?yún)⒖架壽E進(jìn)行縱向跟蹤，滑模面采用最優(yōu)化方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，保證了滑模運(yùn)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性和期望的動(dòng)態(tài)性能，控制律采用自適應(yīng)模糊方法縮短了調(diào)節(jié)時(shí)間、減小了控制變量抖振程度，使其既具有對(duì)系統(tǒng)參數(shù)大范圍變化的強(qiáng)魯棒性、對(duì)惡劣飛行環(huán)境的自適應(yīng)能力，又對(duì)工作狀態(tài)突發(fā)大偏離時(shí)具有快速應(yīng)對(duì)能力，保證飛行任務(wù)的完成。同時(shí)，在側(cè)向軌跡控制方面，利用割線法提出一種快速收斂的傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)在線規(guī)劃方法，提高側(cè)向制導(dǎo)的精度。

1 RLV 動(dòng)力學(xué)建模

考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)圓球時(shí)，RLV 在航跡坐標(biāo)系中無(wú)動(dòng)力滑翔的無(wú)量綱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程［6］為

式中:r、v、s、Ω 分別為無(wú)量綱地心距、速度、航程和地球自轉(zhuǎn)角速度;γ、ψ、λ、φ 分別為航跡角、航向角、緯度和經(jīng)度;aL、aD分別為升、阻力加速度，均是控制變量攻角α 的函數(shù);σ 為控制變量?jī)A側(cè)角。(1)式與(2)式分別為RLV 的縱向及側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程，(3)式為航程表達(dá)式。

2 基于模糊滑模變結(jié)構(gòu)的跟蹤控制

考慮如下一般形式的非線性時(shí)變系統(tǒng):

式中:y=［y1，y2，…，yn］T∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;ν=［ν1，ν2，…，νm］T∈Rm為控制量;σ(t)、ζ(t)分別為引起系統(tǒng)參數(shù)和輸入不確定性變化的因素;ω(t)為不確定性擾動(dòng)向量。

對(duì)(4)式在標(biāo)稱值附近進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，得

式中:x=y-y*，u=ν-ν*，分別為被控對(duì)象和控制輸入實(shí)際真值與標(biāo)稱值之間的差異;ΔA、ΔB 為不確定性矩陣;A、B 分別為小擾動(dòng)線性化得到的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣。

變結(jié)構(gòu)控制最突出的優(yōu)點(diǎn)就是系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)對(duì)不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性［7］。但是，有些時(shí)候，不確定性不在控制矩陣B 所張成的空間里，不能直接通過(guò)控制量u 的設(shè)計(jì)來(lái)抵消其影響。這時(shí)，控制器本身無(wú)法克服系統(tǒng)中的不確定性，但是通過(guò)合理地設(shè)計(jì)滑模面，可使系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性和所期望的動(dòng)態(tài)性能［8］。

為了便于推導(dǎo)設(shè)計(jì)，作如下假設(shè):

假設(shè)1 (A，B)可控，rank(B，ΔB)=rankB =m.

于是，存在非奇異線性變換x =Mz(M 為變換矩陣)，使得(5)式等效變換為

式中:z1∈Rn-m;z2∈Rm;B2為m×m 可逆方陣。

取切換函數(shù)為

式中:C∈Rm×n為待定矩陣。

根據(jù)上述線性變換有

式中:CM=［C1C2］.

假設(shè)2 假設(shè)存在常數(shù)矩陣D1、D2、E1、E2和滿足F1TF1≤I 與F2TF2≤I 的不確定矩陣F1、F2，使得ΔA11=D1F1E1，ΔA12=D2F2E2.

假設(shè)3 假設(shè)存在常數(shù)λ1、λ2、ξ，使得‖ΔA21‖≤λ1，‖ΔA22‖≤λ2，‖ΔB2‖≤ξ，這就意味著ΔA21、ΔA22和ΔB2有范數(shù)界。只要有滿足條件的參數(shù)存在，即可構(gòu)造出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)且非對(duì)角元素都為負(fù)的矩陣，使得＜0.

2.1 滑模面的設(shè)計(jì)

在滑動(dòng)模態(tài)S=0 下，由(8)式有:

可以選擇C2=Im，C1=F，則

于是，變換后的子系統(tǒng)為

文獻(xiàn)［8］證明了對(duì)于不確定系統(tǒng)(6)式，當(dāng)ΔA11和ΔA12滿足假設(shè)2 時(shí)，如果選擇由(8)式和(10)式構(gòu)成的切換函數(shù)，那么:

1)當(dāng)S=0 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的等效系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2)當(dāng)‖S‖≤σ 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的等效系統(tǒng)是一致終結(jié)有界的。

這樣就保證了切換函數(shù)(7)式可以使原系統(tǒng)在S=0 時(shí)漸進(jìn)穩(wěn)定，在‖S‖≤σ 時(shí)一致終結(jié)有界。

原系統(tǒng)(5)式的滑動(dòng)?？梢暈橛?11)式描述且具有反饋(9)式的m 維子系統(tǒng)，因此選擇合適的F可使滑動(dòng)方程具有良好的動(dòng)態(tài)特性。

這里采用最優(yōu)化方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。

式中:Q 為誤差成分加權(quán)矩陣;R 為控制分量加權(quán)矩陣。

由于在滑動(dòng)模動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題中，滑動(dòng)模的運(yùn)動(dòng)與控制量無(wú)關(guān)，取R =0，則在等效系統(tǒng)的坐標(biāo)下，(12)式可寫成

為了將最優(yōu)滑動(dòng)模設(shè)計(jì)問(wèn)題寫成二次性能指標(biāo)下的一般形式，引入新的變量

則性能指標(biāo)(13)改寫為

相應(yīng)的滑動(dòng)模方程為

由最優(yōu)控制理論，在滑動(dòng)模方程(15)式中，作為控制作用的向量υ，其最優(yōu)選擇為

式中:P 是下列Riccati 方程的唯一解。

則有

由于系統(tǒng)滑動(dòng)時(shí)z2可以由z1線性表示出，因此只要z1趨于0，則z2也以同樣衰減率趨于0. 這樣即可保證滑動(dòng)模態(tài)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，使滑模運(yùn)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制律的設(shè)計(jì)

選擇帶邊界層的指數(shù)趨近律:

式中:ε= diag(ε1，ε2，…，εm)，εi＞0;k = diag(k1，k2，…，km)，ki＞0;Θ=diag(θ1，θ2，…，θm)，θi＞0.

將(5)式、(7)式代入(17)式得變結(jié)構(gòu)控制律:

若系統(tǒng)滿足假設(shè)3，切換函數(shù)由(7)式、(10)式構(gòu)成，那么所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制律(18)式可使ST＜0 恒成立［8-9］，保證滑模面的存在及可達(dá)性，并可在不等式約束k ＜C2(ΔA21z1+ ΔA22z2+ ΔB2u)≤λ1z1+λ2z2+ξu 范圍內(nèi)通過(guò)增大k 值來(lái)縮短調(diào)節(jié)時(shí)間。

由于不確定性干擾存在時(shí)，會(huì)引起系統(tǒng)狀態(tài)變量的值發(fā)生變化，而滑模面S 是關(guān)于狀態(tài)變量的函數(shù)，那么，不確定性干擾的大小可以間接地通過(guò)S的取值來(lái)估計(jì)［10］。因此，與現(xiàn)有控制律設(shè)計(jì)不同，本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)二維模糊自適應(yīng)控制器，根據(jù)滑模面Si與其導(dǎo)數(shù)的大小實(shí)時(shí)地調(diào)整趨近律參數(shù)εi，控制器原理如圖1所示。

圖1 模糊控制器原理圖Fig.1 Fuzzy control diagram

定義輸入|Si|和||的論域?yàn)椋?，θi］，輸出εi的論域?yàn)椋?，1］，其中θi為待定參數(shù)。

對(duì)輸入、輸出空間進(jìn)行同樣的均勻模糊分割。設(shè)控制器輸入|Si|、||及輸出εi的模糊集分別為

式中:ZE ～P7 分別代表0～7 檔。

隸屬函數(shù)μC'(εij)選擇高斯隸屬函數(shù)，形式為

式中:cij=

由于當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，需要較大的控制作用加快趨近速度，將系統(tǒng)軌跡拉至滑模面;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時(shí)，需要略小的控制作用將系統(tǒng)軌跡收斂至原點(diǎn)，并削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。因此，遠(yuǎn)離滑模面時(shí)控制器輸出主要由|Si|決定，靠近滑模面時(shí)主要由||決定，并分別隨|Si|和||的減小逐漸減小。建立控制規(guī)則表如表1所示。

表1 控制規(guī)則表Tab.1 Fuzzy control rules

根據(jù)自適應(yīng)理論，θi由(19)式進(jìn)行在線調(diào)節(jié)。

式中:β、χ 為濾波參數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選取，本文選取β=5，χ=2.

模糊推理采用Mamdani 最大-最小規(guī)則，模糊判決方法采用加權(quán)平均法，利用(20)式得到實(shí)際控制量εi.

這樣，得到模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制器的控制面如圖2所示。

圖2 模糊控制面Fig.2 Fuzzy control surface

3 基于割線法的傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)在線規(guī)劃

傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)在線規(guī)劃方法是在采用航向角跟蹤視線角方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)一維快速迭代，搜索該剖面傾側(cè)角最優(yōu)反向點(diǎn)srev，使得飛行器達(dá)到指定航程時(shí)，航向角偏差在允許范圍內(nèi)。

設(shè)RLV 當(dāng)前位置點(diǎn)經(jīng)度、緯度(φn，λn)相對(duì)目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)度、緯度(φf(shuō)，λf)的視線角為ψp，其計(jì)算公式為

定義視線角誤差Δψ 為當(dāng)前航向角與視線角之差，即

sψ描述了實(shí)際軌跡距離目標(biāo)點(diǎn)的精度，如圖3所示，srev的取值決定了傾側(cè)角的反向點(diǎn)，進(jìn)而決定了到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的側(cè)向偏差。

圖3 傾側(cè)角反向幾何關(guān)系示意圖Fig.3 Geometry for determining bank reversal point

本文采用割線法求解srev的取值。其迭代計(jì)算公式為

計(jì)算流程如圖4所示，將前兩步srev取值代入(23)式得到當(dāng)前反正點(diǎn)srev，積分(1)式及(2)式.當(dāng)s ＞srev時(shí)，傾側(cè)角σ 取其負(fù)值，當(dāng)終點(diǎn)sψ滿足精度要求時(shí)仿真結(jié)束。

圖4 傾側(cè)角反向點(diǎn)在線規(guī)劃流程圖Fig.4 Flowchart of algorithm

4 研究實(shí)例

4.1 參考軌跡的設(shè)計(jì)

一般情況下，參考軌跡是在再入走廊中利用軌跡優(yōu)化的方法離線設(shè)計(jì)的［11］，但考慮到制導(dǎo)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求，本文將再入過(guò)程中的彈道約束轉(zhuǎn)換為控制變量約束，采用割線法完成對(duì)傾側(cè)角的搜索，得到名義控制變量α*、σ*，實(shí)現(xiàn)3 自由度軌跡的在線生成［6］。

4.2 參考軌跡的跟蹤

利用飛行器的縱向動(dòng)態(tài)特性只與傾側(cè)角σ 大小有關(guān)的特點(diǎn)，本文利用模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，通過(guò)調(diào)節(jié)攻角α 與傾側(cè)角大小|σ|完成對(duì)縱向平面的跟蹤。通過(guò)在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)改變傾側(cè)角σ 的符號(hào)將航向角誤差控制在一定范圍內(nèi)。

4.2.1 縱向軌跡跟蹤

對(duì)(1)式、(2)式同時(shí)進(jìn)行積分可得當(dāng)前實(shí)際飛行狀態(tài)(r，v，γ)，在縱向控制律設(shè)計(jì)方面，由于縱、側(cè)向耦合較小，為了在縱向參考軌跡(r*，v*，γ*)附近進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，略去地球旋轉(zhuǎn)項(xiàng)，取狀態(tài)變量x=［δr，δv，δγ］T，控制變量u=［δ|σ|，δα］T，有

對(duì)小擾動(dòng)線性化后的系統(tǒng)，令M=I3，z1=x1，z2=

運(yùn)用Bryson 法則，得到以下關(guān)系:

將(10)式、(16)式代入(7)式得到具有良好動(dòng)態(tài)特性的滑模面，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，將(7)式、(20)式代入(18)式得到最終滑?？刂坡蓇，保證在較短時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并能有效地削弱系統(tǒng)的抖振。

4.2.2 側(cè)向軌跡跟蹤

航天飛機(jī)的側(cè)向制導(dǎo)采用的是邊界走廊約束法［12］，但是這種方法:一方面由于傾側(cè)角的反向是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，不可能瞬間完成，因此傾側(cè)角的反向次數(shù)必然受到限制，側(cè)向走廊范圍不能過(guò)窄;另一方面，若側(cè)向走廊過(guò)寬雖能減小傾側(cè)角反向次數(shù)，卻增大了終端航向角偏差。

因此，本文在縱向跟蹤控制的同時(shí)，利用(21)式、(22)式求出視線角誤差Δψ，按圖4在線搜索傾側(cè)角反向點(diǎn)，利用(23)式經(jīng)過(guò)較少的迭代次數(shù)計(jì)算得到滿足條件的srev，完成傾側(cè)角反向點(diǎn)的在線規(guī)劃，其中迭代初值可利用文獻(xiàn)［6］中的方法估計(jì)選取。

4.3 仿真結(jié)果分析

在某型RLV 模型上進(jìn)行仿真，給定再入初始高度60 km，速度6 500 m/s，航跡角0°，航向角90°，經(jīng)度0°，緯度0°;終端高度45 km，速度4 000 m/s，航跡角不大于1°，目標(biāo)點(diǎn)為經(jīng)度45°，緯度0°.

由于影響制導(dǎo)精度的因素主要是氣動(dòng)系數(shù)偏差和初始狀態(tài)誤差，且氣動(dòng)參數(shù)偏差以升力系數(shù)減小阻力系數(shù)增大為最惡劣，為了使控制方法具有普遍適用性，在模型參數(shù)中引入如下不確定性:初始狀態(tài)偏差H*=H +5 km，v*=v +500 m/s，γ*=γ +1°;再入過(guò)程氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)C*L=CL(1 -20%)，C*D=CD(1 +20%).

分別采用最優(yōu)控制方法與本文設(shè)計(jì)的模糊滑模變結(jié)構(gòu)方法進(jìn)行仿真，跟蹤曲線如圖5所示，縱向跟蹤結(jié)果如表2所示，其中ΔH、Δv、Δγ 分別表示終端高度誤差、速度誤差和航跡角誤差，τ 表示誤差收斂時(shí)間。

圖5 狀態(tài)變量對(duì)比曲線Fig.5 Comparison curves of state variables

表2 再入終端縱向性能比較Tab.2 Terminal error comparison

從表2中數(shù)據(jù)可以看出，與最優(yōu)控制相比，縱向跟蹤誤差大大減小，尤其表現(xiàn)在對(duì)速度狀態(tài)的跟蹤上，由于阻力加速度發(fā)生較大的正向偏差，必然帶來(lái)飛行器速度的迅速下降，即使采用最優(yōu)控制方法，終端速度跟蹤誤差仍可達(dá)120.1 m/s，而采用模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，速度跟蹤誤差不超過(guò)25 m/s，在很大程度上提高了制導(dǎo)精度。

圖6 再入軌跡與控制變量曲線Fig.6 Reentry trajectory and control variables

圖6給出了在縱向跟蹤采用模糊滑模變結(jié)構(gòu)的情況下，橫向控制采用邊界走廊約束法與本文設(shè)計(jì)的在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)法得到的空間再入軌跡曲線、地面投影曲線以及控制量攻角與傾側(cè)角的歷程曲線。仿真結(jié)果表明在縱向跟蹤方面，采用模糊自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)趨近律參數(shù)可以有效地將控制變量抖振頻率控制在0.02 Hz 以下，且幅度不超過(guò)0.5°.在橫向軌跡控制方面，采用傳統(tǒng)的邊界走廊約束法盡管進(jìn)行了兩次傾側(cè)角反向，但返回軌跡仍有10°的緯度偏差，而采用本文設(shè)計(jì)的在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)的方法雖然僅進(jìn)行一次傾側(cè)角反向，但返回軌跡可到達(dá)目標(biāo)區(qū)域中，經(jīng)度、緯度偏差在2°以內(nèi)，使落點(diǎn)精度得到大幅度提高，較好地滿足了側(cè)向制導(dǎo)要求。同時(shí)，在計(jì)算機(jī)(雙核CPU，主頻1.6 GHz，編譯環(huán)境為Matlab7.0)完成上述仿真時(shí)間為8 ～9 s，迭代次數(shù)不超過(guò)10 次，能夠進(jìn)行在線求解。

5 結(jié)論

針對(duì)RLV 準(zhǔn)平衡滑翔階段特殊的飛行模式、惡劣的飛行環(huán)境以及不確定性較大的特點(diǎn)，在縱向平面提出一種具有強(qiáng)魯棒性的模糊變結(jié)構(gòu)跟蹤控制方法，并在側(cè)向平面進(jìn)行傾側(cè)角反向點(diǎn)的在線規(guī)劃。仿真結(jié)果表明:

1)在存在較大初始狀態(tài)偏差及劇烈氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)的情況下，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)滑模面，有效地提高了系統(tǒng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)縱向參考軌跡的穩(wěn)定跟蹤。

2)通過(guò)采用模糊自適應(yīng)方法對(duì)趨近律參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，有效地削弱了系統(tǒng)狀態(tài)越過(guò)滑模面引起的抖振，將控制變量抖振頻率控制在0.02 Hz 以下，幅值控制在0.5°以內(nèi)。

3)在側(cè)向軌跡控制方面，通過(guò)在線規(guī)劃一次傾側(cè)角反向時(shí)機(jī)，有效地解決了傳統(tǒng)邊界走廊約束法反向次數(shù)多并且落點(diǎn)誤差大的缺點(diǎn)，使側(cè)向制導(dǎo)精度有了大幅度提高。

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