岳凱，郝新紅，栗蘋，陶艷，李永亮

(北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京100081)

0 引言

傳統(tǒng)雙通道諧波定距調(diào)頻(FM)引信的定距精度主要受調(diào)制頻偏影響。調(diào)制頻偏越大，定距精度越高。大的FM 頻偏必然會(huì)帶來大的寄生調(diào)幅和工程實(shí)現(xiàn)難題。因此，本文探索了一種新的FM 引信定距方法，以期在易于工程實(shí)現(xiàn)的調(diào)制頻偏內(nèi)獲得較高的定距精度。參考現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果在工程中的應(yīng)用以及現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)發(fā)展［1-2］，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)作為一種基于Chirp 基的正交分解算法，在處理連續(xù)波線性FM 信號(hào)方面具有天生的優(yōu)勢(shì)［3］。國內(nèi)外很多學(xué)者展開了FRFT 在處理Chirp信號(hào)方面的研究［4-7］，并取得了顯著成果［8-13］。但將FRFT 研究成果應(yīng)用于FM 引信實(shí)現(xiàn)其定距功能還未見報(bào)道。為此，本文提出了基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)和基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的兩種線性FM 引信定距方法。

1 FRFT 及其離散算法

假設(shè)信號(hào)f(t)的角度α 的FRFT 表示為Fα(u)，則FRFT 的定義式［13］為

(1)式的變換核函數(shù)為

式中:α 為信號(hào)的Wigner 分布在時(shí)間-頻率平面上投影的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，如圖1所示。如果角度α或(α+π)為2π 的整數(shù)倍，那么核函數(shù)Kα(t，u)將會(huì)退化為δ(t-u)或δ(t+u).

圖1中，坐標(biāo)軸u 為相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階域坐標(biāo)軸;fif(t)為線性FM 信號(hào)的瞬時(shí)頻率曲線;IIF 為fif(t)在零時(shí)刻的值，即線性FM 信號(hào)初始頻率;up為線性FM 信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的最優(yōu)FRFT 階次下能量聚集的坐標(biāo)位置。根據(jù)FRFT 的性質(zhì)［3］，假設(shè)需處理的線性FM 信號(hào)與某一Chirp 基吻合，即在圖1中變換角度其FRFT 的結(jié)果必定為u 軸上的一個(gè)有限沖激，且其分?jǐn)?shù)階域坐標(biāo)為up.

圖1 定義在時(shí)頻平面上的FRFTFig.1 The definition of FRFT on phase plane

為了便于工程上實(shí)現(xiàn)，F(xiàn)RFT 必須具有快速的離散算法。各國學(xué)者對(duì)離散FRFT 算法的研究已經(jīng)取得了較多成果，提出了很多可行的算法，尤其是Ozaktas 的采樣型算法，以速度快、精度高、具有與快速傅里葉變換(FFT)比擬的計(jì)算復(fù)雜度而受到廣泛采用［14］，其算法可表示為

2 基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)的FM引信定距方法

2.1 定距實(shí)現(xiàn)原理

基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)的FM 引信定距方法實(shí)現(xiàn)原理框圖如圖2所示。該方法的定距原理是利用線性FM 信號(hào)在特定角度(FM 率角度)的FRFT 為一沖激函數(shù)的性質(zhì)，求取最優(yōu)FRFT 階次下發(fā)射與接收信號(hào)的FRFT 譜峰值在u 域的位置差，從而獲得發(fā)射與接收信號(hào)的初始頻率(如圖1所示的IIF1 與IIF2)，并通過初始頻率差與時(shí)延估計(jì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系獲得彈目間距離信息。由于該方法通過估計(jì)發(fā)射與接收信號(hào)的初始頻率差得到時(shí)延估計(jì)值，且初始頻率時(shí)變的，因此稱該方法為瞬時(shí)初始頻率估計(jì)。

圖2 基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)的定距方法原理框圖Fig.2 Block diagram of the ranging method based on the initial frequency estimation in FRFT domain

首先，對(duì)FM 引信的發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)在射頻端進(jìn)行下變頻，濾除載波頻率，獲得發(fā)射支路和接收支路的中頻信號(hào);而后，對(duì)兩路中頻信號(hào)進(jìn)行固定α 角度的FRFT，因?yàn)閷?duì)引信而言，中頻信號(hào)的FM 率是已知的，所以變換角度其 中，K 為FM 率;再次，在固定α 角度的分?jǐn)?shù)階域搜索最大值點(diǎn)位置up，根據(jù)up求得瞬時(shí)初始頻率;最后，根據(jù)瞬時(shí)初始頻率與延遲時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系求得延遲時(shí)間，進(jìn)而求得彈目距離。當(dāng)彈目距離的估計(jì)值與預(yù)設(shè)的引爆距離相等時(shí)，給出引信點(diǎn)火信號(hào)。

假設(shè)FM 引信的調(diào)制信號(hào)為鋸齒波，如圖3所示，那么FM 引信發(fā)射信號(hào)可表示為

式中:a 為發(fā)射信號(hào)幅值;f0為信號(hào)中心頻率;T 為調(diào)制信號(hào)周期;K =B/T 為調(diào)制信號(hào)的FM 率，B 為調(diào)制頻偏。

圖3 鋸齒波FM 信號(hào)頻率隨時(shí)間變化圖Fig.3 Instantaneous frequency of saw tooth wave

回波信號(hào)經(jīng)目標(biāo)反射后，相對(duì)于發(fā)射信號(hào)只是延遲了時(shí)間τ(t). 在實(shí)際引信應(yīng)用中，每個(gè)運(yùn)算周期內(nèi)τ(t)的變換十分微小，可近似為常數(shù)，所以可將τ(t)在每個(gè)運(yùn)算周期內(nèi)看成是與時(shí)間t 無關(guān)的獨(dú)立變量τ，因此單個(gè)周期內(nèi)(后面出現(xiàn)的時(shí)域信號(hào)表達(dá)式均指單個(gè)周期之內(nèi)的信號(hào))的回波信號(hào)可表示為

式中:Φ0n=πn(n+1)KT2+Φ0.

對(duì)兩路中頻信號(hào)的相位表達(dá)式求導(dǎo)，可得信號(hào)在零時(shí)刻的頻率，即初始頻率為

由于(7)式的初始頻率是時(shí)變的，所以稱之為瞬時(shí)初始頻率。

結(jié)合(7)式、(8)式和cot α = -K，可獲得延遲時(shí)間的估計(jì)

因此，根據(jù)關(guān)系式τ=2R/c，可獲得彈目距離的估計(jì)值為

由(10)式可知，該方法可用于線性FM 引信的彈目距離估計(jì)。如果回波的延遲時(shí)間為固定值，則可進(jìn)行預(yù)定距離的估計(jì);如果回波延遲時(shí)間是動(dòng)態(tài)變化的，則可實(shí)現(xiàn)連續(xù)測(cè)距功能。

2.2 定距方法性能分析

2.2.1 計(jì)算量分析

根據(jù)圖2可知，要獲得延遲時(shí)間估計(jì)，需同時(shí)估計(jì)兩個(gè)中頻信號(hào)的初始頻率。該過程中只涉及到兩路信號(hào)的FRFT，同時(shí)，中頻信號(hào)的FM 率相對(duì)發(fā)射信號(hào)是不變的(即FM 率已知)，所以只需進(jìn)行固定角度的FRFT，無需在整個(gè)分?jǐn)?shù)階域掃描，大大減少了算法的計(jì)算量。由于FRFT 采用Ozaktas 的采樣型離散算法［14］，所以離散FRFT所需的乘法計(jì)算量為

式中:N 為離散FRFT 的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。其他部分所需的乘法運(yùn)算次數(shù)相對(duì)(11)式可忽略。所以基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)的FM 引信定距方法所需的乘法計(jì)算量即如(11)式所示。

2.2.2 距離分辨力分析

由(10)式可知，該方法的固有距離分辨力決定于信號(hào)的時(shí)延分辨力，即決定于在α 階分?jǐn)?shù)階傅里葉域up估計(jì)值的主瓣寬度。理想情況下，線性FM信號(hào)最優(yōu)階次的FRFT 的幅度譜是一個(gè)δ 函數(shù)，具有無限窄的主瓣寬度。文獻(xiàn)［15］經(jīng)由推導(dǎo)線性FM信號(hào)的FRFT 表達(dá)式已證明此點(diǎn)。因此，固有距離分辨力是無窮小，即對(duì)具有任意延遲時(shí)間差異的兩個(gè)信號(hào)，該方法可以分辨。

實(shí)際工程應(yīng)用中，采用離散方法求取彈目間距離估值時(shí)，該方法的距離分辨力還受到信號(hào)重復(fù)周期數(shù)及采樣點(diǎn)數(shù)的影響。因?yàn)樵谟邢抻^測(cè)時(shí)間Td內(nèi)，線性FM 信號(hào)分?jǐn)?shù)階域傅里葉變換的積分區(qū)間為觀測(cè)區(qū)間，可證明其在最優(yōu)階次FRFT 的幅度譜由沖激函數(shù)演化為sinc 函數(shù)，且分?jǐn)?shù)階域up估計(jì)值的-3 dB 主瓣寬度［16］。

考慮距離估計(jì)值來自離散采樣集合{us，2us，…，Nus}，其中，us為最優(yōu)階次分?jǐn)?shù)階域離散步長。設(shè)定觀測(cè)區(qū)間Td=mT，將(12)式帶入(10)式可得該方法的距離分辨力為

設(shè)定采樣頻率為fs(fs≥2B，滿足采樣定理)，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則距離分辨力可表示為

(13)式與(14)式為距離分辨力的兩種不同表述方式。由(13)式、(14)式可知，該方法的距離分辨力主要受信號(hào)帶寬B、運(yùn)算周期數(shù)m、調(diào)制周期T、運(yùn)算點(diǎn)數(shù)N 等參數(shù)影響。為了提高距離分辨力，在不增加調(diào)制帶寬的條件下，只需增加運(yùn)算點(diǎn)數(shù)或減小調(diào)制周期即可。相對(duì)于諧波定距FM 引信增大調(diào)制頻偏來提高距離分辨力的方法，這種方法更容易實(shí)現(xiàn)，且可提高定距引信的精度。

此外，由(13)式可知，當(dāng)運(yùn)算周期m =1 時(shí)，該方法的時(shí)延分辨力約為1/B，即距離分辨力約為c2B，等效于FM 諧波定距方法的定距精度。

3 基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的FM 引信定距方法

3.1 定距實(shí)現(xiàn)原理

基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的FM 引信定距方法實(shí)現(xiàn)原理如圖4所示。分別對(duì)參考信號(hào)(發(fā)射信號(hào))和回波信號(hào)進(jìn)行下變頻，獲得中頻信號(hào);參考信號(hào)的中頻信號(hào)延遲特定時(shí)間(該時(shí)間與引信預(yù)定作用距離相對(duì)應(yīng));對(duì)延遲后的參考信號(hào)的中頻信號(hào)與回波信號(hào)的中頻信號(hào)進(jìn)行離散FRFT;變換后的兩路信號(hào)相乘并累加，獲得兩路信號(hào)的相關(guān)信號(hào);對(duì)相關(guān)信號(hào)進(jìn)行閾值檢測(cè)，滿足條件時(shí)即可獲得預(yù)定距離處的點(diǎn)火信號(hào)。

圖4 基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的FM 引信定距方法原理框圖Fig.4 Block diagram of the ranging method based on the fractional correlation

假設(shè)FM 引信以鋸齒波為調(diào)制信號(hào)，那么以(4)式發(fā)射信號(hào)作為參考信號(hào)，(5)式為回波信號(hào)，參考信號(hào)和回波信號(hào)通過與單載波信號(hào)x(t)=cos(2πf0t)混頻進(jìn)行下變頻，并對(duì)下變頻后的發(fā)射信號(hào)做固定延遲τref，獲得兩路中頻信號(hào)為

分?jǐn)?shù)階相關(guān)等價(jià)于對(duì)信號(hào)做FRFT，再在分?jǐn)?shù)階域進(jìn)行一般意義的相關(guān)運(yùn)算，因此其數(shù)學(xué)表達(dá)式［3］可表示為

對(duì)(16)式取模，可得相關(guān)峰函數(shù)為

設(shè)x(t)為要檢測(cè)的目標(biāo)信號(hào)，輸入信號(hào)s(t)=x(t-τ0)，參考信號(hào)h(t)=x(t -τref)，對(duì)(17)式求導(dǎo)并令其等于0，可得到分?jǐn)?shù)階相關(guān)峰的位置為

本方法所用的分?jǐn)?shù)階相關(guān)與如上所述的分?jǐn)?shù)階相關(guān)并不完全相同，而是采用先延遲，而后進(jìn)行FRFT，再求取內(nèi)積的計(jì)算方法。如圖4所示，本方法中相關(guān)輸出可定義為

式中:up為分?jǐn)?shù)階s(t-τref)的FRFT 所得的有限沖激函數(shù)在分?jǐn)?shù)階域的位置。

最后，對(duì)(20)式所示的相關(guān)函數(shù)做閾值檢測(cè)，當(dāng)滿足閾值條件時(shí)，給出點(diǎn)火信號(hào)。

該方法是一種基于發(fā)射信號(hào)支路固定延遲的定距方案，故可用于預(yù)定距離估計(jì)，不能用于連續(xù)估計(jì)瞬時(shí)距離。

3.2 定距方法性能分析

3.2.1 計(jì)算量分析

根據(jù)(15)式的中頻信號(hào)和(4)式的發(fā)射信號(hào)表達(dá)式，可知FM 率是保持不變的，即中頻信號(hào)的FM 率是已知的。因此，只需對(duì)中頻信號(hào)進(jìn)行固定角度的FRFT，相對(duì)于階數(shù)搜素的算法可大大減少運(yùn)算復(fù)雜度。

為了獲得一個(gè)相關(guān)值，首先需對(duì)兩個(gè)中頻信號(hào)分別進(jìn)行FRFT，由于方法中的FRFT 采用的是Ozaktas的采樣型離散算法［14］，故進(jìn)行FRFT 的乘法計(jì)算量為完成FRFT 后，需對(duì)N 點(diǎn)的變換結(jié)果進(jìn)行乘累加(即相關(guān)運(yùn)算)，其乘法計(jì)算量為N. 故計(jì)算一個(gè)相關(guān)值所需的乘法計(jì)算量為

3.2.2 檢測(cè)概率分析

假設(shè)系統(tǒng)輸入噪聲為高斯噪聲，由于FRFT 是一種線性變換，所以輸出的噪聲仍然服從高斯分布。設(shè)其均值和方差分別為un和σ2n，設(shè)檢測(cè)門限為λ.根據(jù)檢測(cè)理論，在貝葉斯準(zhǔn)則下的檢測(cè)概率PD和虛警概率PF分別為

3.2.3 距離分辨力分析

由(19)式和(20)式可知，該方法的定距原理基于信號(hào)在最優(yōu)階次下分?jǐn)?shù)階傅里葉域up的估值，獲得彈目距離估計(jì)。本文定義的分?jǐn)?shù)階相關(guān)函數(shù)在分?jǐn)?shù)階域也是一個(gè)δ 函數(shù)，具有無限窄的主瓣寬度，所以延遲時(shí)間估計(jì)的理論分辨力無窮小，即對(duì)具有任意延遲時(shí)間差異的兩個(gè)信號(hào)，該算法是可分的。

因此，本質(zhì)上該方法的距離分辨力等同于第一種方法。當(dāng)采用離散方法求取彈目間距離估值時(shí)，該方法的距離分辨力同樣會(huì)受到信號(hào)重復(fù)周期數(shù)及采樣點(diǎn)數(shù)的影響。這里不再贅述。

與瞬態(tài)初始頻率估計(jì)方法不同的是，其利用分?jǐn)?shù)階域幅度譜的模平方求取譜峰值(如(20)式所示)，而前者是利用幅度譜的模求取譜峰值。

4 仿真與討論

本文分別對(duì)兩種方法進(jìn)行了Matlab 仿真來驗(yàn)證其可行性與測(cè)距性能。

仿真參數(shù)如下:FM 帶寬B =30 MHz，調(diào)制周期T=166 μs，彈目交會(huì)距離?。?5 m，50 m］. 當(dāng)運(yùn)算周期為一個(gè)調(diào)制周期時(shí)，則距離分辨力約5 m.

分別設(shè)定引信的預(yù)定起爆距離為35 m、40 m、45 m，基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)方法和基于瞬時(shí)初始頻率估計(jì)方法的預(yù)定起爆距離估計(jì)仿真結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖5 不同預(yù)定距離條件下中頻信號(hào)的分?jǐn)?shù)階相關(guān)函數(shù)Fig.5 Fractional correlation of the intermediate frequency signal under the conditions of different fixed distances

圖6 不同距離處中頻信號(hào)的FRFTFig.6 Fractional Fourier transform of the intermediate frequency signal at different distances

由圖5與圖6可知:引信3 個(gè)預(yù)定的起爆距離分別對(duì)應(yīng)于最優(yōu)階次下的分?jǐn)?shù)階域相關(guān)函數(shù)峰值與中頻信號(hào)的FRFT 譜峰值，證明了兩種定距方法的可行性;當(dāng)運(yùn)算周期為一個(gè)調(diào)制周期時(shí)，兩種方法譜峰值下降-3 dB 時(shí)對(duì)應(yīng)的主瓣寬度為5 m，即圖5相關(guān)函數(shù)峰值與圖6FRFT 幅度譜峰值下降1/2 時(shí)所對(duì)應(yīng)的主瓣寬度，與理論距離分辨力相吻合。

為了分析兩種方法的抗噪聲性能，分別對(duì)兩種方法進(jìn)行了不同信噪比(-20 ～20 dB)條件下的1 000點(diǎn)蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)定引信預(yù)定起爆距離為40 m，加載的噪聲類型為高斯白噪聲，其他仿真參數(shù)同上，不同信噪比下兩種方法蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)方差與均值的仿真結(jié)果分別如圖7和圖8所示。

圖7 不同信噪比條件下兩種算法的1 000 點(diǎn)蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果(方差)Fig.7 Results of 1 000 points Monte-Carlo simulation at different SNRs(variance)

圖8 不同信噪比條件下兩種算法的1 000 點(diǎn)蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果(均值)Fig.8 Results of 1 000 points Monte-Carlo simulation at different SNRs

對(duì)比分析圖7、圖8:信噪比大于0 dB 時(shí)，兩種方法均具有良好的抗噪聲性能;當(dāng)信噪比小于0 dB時(shí)，初始頻率估計(jì)方法抗噪性能急劇惡化。仿真結(jié)果說明，分?jǐn)?shù)階相關(guān)方法抗噪聲性能優(yōu)于初始頻率估計(jì)方法，更適合于低信噪比環(huán)境下(如強(qiáng)背景噪聲干擾)信號(hào)檢測(cè)。

分析調(diào)制頻偏、運(yùn)算點(diǎn)數(shù)等參數(shù)對(duì)距離分辨力的影響，其仿真結(jié)果如圖9所示，其中采樣率為10 倍調(diào)制頻偏，其他參數(shù):調(diào)制頻偏10 ～50 MHz，運(yùn)算點(diǎn)數(shù)100 ～5 000，調(diào)制信號(hào)頻率600 kHz.

圖9 調(diào)制頻偏和運(yùn)算點(diǎn)數(shù)對(duì)距離分辨力影響Fig.9 Influences of the modulation frequency derivation and operation points on range resolution

圖9仿真結(jié)果表明:分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)的定距方法在有限增加的調(diào)制頻偏內(nèi)(受限于探測(cè)器調(diào)制帶寬與體積約束)，增加運(yùn)算點(diǎn)數(shù)可顯著提高引信的距離分辨力。

將cot α= -K，K=B/T 代入(14)式，可得

(23)式表明:增加調(diào)制頻偏與運(yùn)算點(diǎn)數(shù)可顯著提高引信的距離分辨力;若取采樣頻率為10 倍調(diào)制頻偏，則引信距離分辨力與運(yùn)算點(diǎn)數(shù)呈反比。該結(jié)論與圖9的仿真結(jié)果相吻合。該結(jié)論同時(shí)表明，引信在不增大調(diào)制頻偏的前提下，通過稍微加大運(yùn)算點(diǎn)數(shù)的方法可顯著提高其距離分辨力。

固定調(diào)制頻偏，取仿真參數(shù)為:調(diào)制頻偏30 MHz，運(yùn)算點(diǎn)數(shù)250、700、1 200，采樣率10 倍調(diào)制頻偏，調(diào)制信號(hào)頻率600 kHz.

根據(jù)(14)式，在采樣率為10 倍調(diào)制頻偏的條件下可計(jì)算出距離分辨力，如表1所示。

表1 距離分辨力對(duì)比仿真結(jié)果Tab.1 Comparison of range resolutions of different ranging methods

表1結(jié)果表明:在相同的調(diào)制信號(hào)參數(shù)條件下，運(yùn)算點(diǎn)數(shù)無需太大，兩種方法的定距性能優(yōu)于傳統(tǒng)的雙諧波定距方法。

圖10 為仿真了運(yùn)算點(diǎn)數(shù)為1 200 點(diǎn)情況下，不同距離處目標(biāo)的FRFT. 由圖10 可知，30 m 處與30.5 m 處目標(biāo)不可分辨，而與32 m、35 m 處目標(biāo)峰值可區(qū)分，證明該運(yùn)算點(diǎn)數(shù)下距離分辨力約2 m.

圖10 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)為1 200 點(diǎn)時(shí)不同距離處目標(biāo)回波中頻信號(hào)的FRFTFig.10 FRFT of the intermediate frequency signals at different distances with calculation points of 1 200

圖11 為仿真了700 點(diǎn)運(yùn)算點(diǎn)數(shù)的情況下，不同距離處目標(biāo)的FRFT. 從中可見，30 m 與30.5 m、32 m 處的目標(biāo)不能區(qū)分，而32 m 與35 m 處目標(biāo)可分辨，證明距離分辨力約3 m. 仿真結(jié)果與理論計(jì)算距離分辨力相吻合。

圖11 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)為700 點(diǎn)時(shí)不同距離處目標(biāo)回波中頻信號(hào)的FRFTFig.11 FRFT of the intermediate frequency signals at different distances with calculation points of 700

最后，仿真了0 dB 高斯白噪聲背景下，分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)方法的動(dòng)態(tài)測(cè)距性能，仿真結(jié)果如圖12 所示，估計(jì)值與理想值吻合較好，證明了該定距方法的可行性。

5 結(jié)論

圖12 0 dB 信噪比時(shí)目標(biāo)距離估計(jì)仿真結(jié)果Fig.12 Simulation results of target range estimation for SNR=0 dB

本文提出了基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)初始頻率估計(jì)和基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的FM 引信定距方法。理論推導(dǎo)了兩種方法的定距原理，仿真證明了兩種方法的可行性。在定距性能方面，兩種方法的距離分辨力相同，在相同的調(diào)制頻偏條件下只需不大的運(yùn)算點(diǎn)數(shù)，其定距精度就可超過傳統(tǒng)的雙諧波定距方法;在算法計(jì)算量上，由于兩種方法均利用了回波信號(hào)FM 率，已知這一先驗(yàn)條件，避免了對(duì)最優(yōu)FRFT 階數(shù)的搜索，使計(jì)算量控制在與FFT 相當(dāng)?shù)乃?，滿足工程應(yīng)用的要求。此外，基于分?jǐn)?shù)階域瞬時(shí)頻率估計(jì)的FM 引信定距方法可實(shí)現(xiàn)連續(xù)測(cè)距功能，可用于引信高度表或具有炸高精確分檔的引信。

References)

［1］Namias V. The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics［J］. Ima Journal of Applied Mathematics，1980，25(3):241 -265.

［2］張賢達(dá)，保錚. 非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，1998.ZHANG Xian-da，BAO Zheng. Non-stationary signal analysis and processing［M］. Beijing:National Defense Industry Press，1998.(in Chinese)

［3］陶然，齊林，王越. 分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的原理與應(yīng)用［M］. 北京:清華大學(xué)出版社，2009.TAO Ran，QI Lin，WANG Yue. Theory and application of fractional Fourier transform［M］. Beijing:Tsinghua University Press，2009. (in Chinese)

［4］溫景陽，張煥宇，王越. 線性調(diào)頻脈沖壓縮雷達(dá)信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法［J］. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32(7):746 -750.WEN Jing-yang，ZHANG Huan-yu，WANG Yue. Parameters estimation algorithm of LFM pulse compression radar signal ［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2012，32(7):746 -750. (in Chinese)

［5］馬艷，羅美玲. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換水下目標(biāo)距離及速度的聯(lián)合估計(jì)［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2011，32(8):1030 -1035.MA Yan，LUO Mei-ling. FRFT-based joint range and radial velocity estimation of underwater target［J］. Acta Armamentarii，2011，32(8):1030 -1035. (in Chinese)

［6］鄧兵，王旭，陶然，等. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻脈沖時(shí)延估計(jì)特性分析［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2012，33(6):764 -768.DENG Bing，WANG Xu，TAO Ran，et al. Performance analysis of time delay estimation for linear frequency-modulated pulse based on fractional Fourier transform ［J］. Acta Armamentarii，2012，33(6):764 -768. (in Chinese)

［7］鄧兵，陶然，董云龍. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的標(biāo)量脫靶量測(cè)量新方法［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2010，31(12):1627 -1631.DENG Bing，TAO Ran，DONG Yun-long. New method for scalar miss distance measurement based on the fractional Fourier transform［J］. Acta Armamentarii，2010，31(12):1627 -1631. (in Chinese)

［8］Ozaktas H M，Barshan B，Mendlovic D，et al. Convolution，filtering，and multiplexing in fractional Fourier domains and their relationship to chirp and wavelet transform［J］. Journal of the Optical Society of America A，1994，11(2):547 -559.

［9］Ozaktas H M，Aytur O. Fractional Fourier domains［J］. Signal Process，1995，46(1):119 -124.

［10］Ozaktas H M，Zalevsky Z，Kutay M A. The fractional Fourier transform with applications in optics and signal processing［M］.New York:Wiley，2000:1 -513.

［11］Olcay A. Fractional convolution and correlation via operator methods and an application to detection of linear FM signals［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2001，49(5):979 -993.

［12］Akay O. Unitary and Hermitian fractional operators and their extension:fractional Mellin transform，joint fractional representations and fractional correlations ［D］. Kingston:University of Rhode Island，2000.

［13］Almeida L B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations ［J］. IEEE Transactions on Signal Process，1994，42(11):3084 -3091.

［14］Ozaktas H M，Arikan O，Kutay M A，et al. Digital computation of the fractional Fourier transform ［J］. IEEE Transactions on Signal Process，1996，44(9):2141 -2150.

［15］張淑寧，趙惠昌，吳兵. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的偽碼體制引信線性調(diào)頻干擾抑制技術(shù)［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2006，27(1):32 -36.ZHANG Shu-ning，ZHAO Hui-chang，WU Bing. LFM interference excision technique in pseudo random code fuse based on fractional Fourier transform［J］. Acta Armamentarii，2006，27(1):32 -36.(in Chinese)

［16］張南，陶然，單濤，等. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號(hào)分辨率分析［J］. 電子學(xué)報(bào)，2007，35(12A):8 -13.ZHANG Nan，TAO ran，SHAN Tao，et al. Analysis of the resolution of the linear frequency modulated signal based on the fractional Fourier transform［J］. Acta Electronica Sinica，2007，35(12A):8 -13. (in Chinese)