馬潤波，杜建華，許世蒙

（1裝甲兵工程學(xué)院數(shù)學(xué)室，北京100072；2.裝甲兵工程學(xué)院裝備再制造技術(shù)國防科技重點實驗室，北京100072）

銅基復(fù)合材料分類判別方法研究

馬潤波1，2，杜建華2，許世蒙1

（1裝甲兵工程學(xué)院數(shù)學(xué)室，北京100072；2.裝甲兵工程學(xué)院裝備再制造技術(shù)國防科技重點實驗室，北京100072）

對正交分割銅基復(fù)合材料表面微觀形貌圖，隨機選取子圖組成訓(xùn)練集。通過對基元模型的選取與設(shè)計，提取石墨顆粒的特征指標，并進行分布規(guī)律的統(tǒng)計推斷，可知石墨顆粒的徑心、斜率、分形維數(shù)和稠密度服從正態(tài)分布，長徑、短徑服從對數(shù)正態(tài)分布，經(jīng)顯著性檢驗可以推斷石墨顆粒的分布規(guī)律具有一致性。進一步采用因子分析法，確定了表征銅基復(fù)合材料表面微觀形貌復(fù)雜程度的主要指標，利用支持向量機原理，對不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料進行了分類判別。結(jié)果表明，通過表面微觀形貌，對石墨質(zhì)量分數(shù)為16%的銅基復(fù)合材料的分類準確率達到了83.333%，對石墨質(zhì)量分數(shù)為10%與20%的兩種銅基復(fù)合材料之間的分類準確率達到了100%.

金屬材料；銅基復(fù)合材料；基元；分類；支持向量機

0 引言

銅基復(fù)合材料不僅導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性與純銅相近，而且強度高，抗電弧浸蝕和抗磨損能力較強，在工程實際中應(yīng)用越來越廣泛，如航空航天、工程機械、電子工業(yè)等，其相關(guān)研究已有了較大進展［1-3］?；w和增強體的性能及它們之間的結(jié)合特性決定了銅基復(fù)合材料的性能，如納米Al2O3作為彌散增強相所制備的彌散強化銅基復(fù)合材料，既能夠在保持銅本身高導(dǎo)熱性能的同時，還可大幅度提高強度及抗高溫軟化特性［4］。故針對新型銅基復(fù)合材料的設(shè)計，尋求相應(yīng)的分類方法是可行并有益的。本文通過提取銅基復(fù)合材料表面微觀形貌特征，采用支持向量機原理［5］，對添加一定比例的納米SiO2和不同石墨質(zhì)量分數(shù)下的新型銅基復(fù)合材料的相關(guān)特征進行統(tǒng)計推斷，并以此作出分類判別。

支持向量機原理是在統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論［6］基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種通用學(xué)習(xí)算法，具有較強的學(xué)習(xí)功能和特征，其相關(guān)研究和應(yīng)用目前已有了一定的積累［7-10］，但是在復(fù)合材料的設(shè)計、制備中的研究和應(yīng)用尚不多見。

本文通過提取銅基復(fù)合材料表面微觀形貌特征指標，結(jié)合因子分析方法，運用支持向量機原理推斷、可分類的一致性，將支持向量機原理與分形理論［11］、因子分析方法結(jié)合一體，然后進行分類判別，既有數(shù)據(jù)指標的可靠性和計算方便的優(yōu)點，又能與基元模型［12］的指標提取有較好銜接，對銅基復(fù)合材料的設(shè)計和制備具有一定的借鑒意義。

1 材料制備與初步分析

為考察銅基復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)，選取了石墨質(zhì)量分數(shù)分別為10%、16%、20%的復(fù)合材料進行分析。此外，3種復(fù)合材料中Sn、Zn和SiO2的質(zhì)量分數(shù)分別為3%、6%和3%，其他成分為Cu.采用V型混料機混粉2 h，使用鐘罩爐燒結(jié)，摩擦材料的燒結(jié)溫度定為820℃，要求燒結(jié)壓力20 kg/cm2.將燒結(jié)試樣切割磨制后，采用Quanta-200型掃描電子顯微鏡（SEM）觀測銅基復(fù)合材料表面微觀形貌，如圖1所示。

圖1中，石墨顆粒、SiO2顆粒和合金分別呈現(xiàn)為黑色、灰色和白色，本文僅黑色，即石墨為考察對象。由圖1可見，對于不同石墨質(zhì)量分數(shù)的表面微觀形貌圖，大尺寸石墨顆粒隨石墨質(zhì)量分數(shù)的增加呈現(xiàn)逐漸增大趨勢。

圖1 添加不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料表面微觀形貌圖Fig.1 Surface microtopographies of copper matrix composites with different graphite contents

2 樣本預(yù)處理

復(fù)合材料的表面形貌對磨損、摩擦、導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性等有重要的影響［13］。為實現(xiàn)特征提取的模型建立和方法應(yīng)用，在與材料性能分析相結(jié)合的前提下，進行一定的抽象化、模式化和標準化，即對表面形貌構(gòu)成成分組元的基元化。此處，對基元模型的設(shè)計，需兼顧通用性、實用性和精確性的原則。另外，基元的選取必須保證面積計算的正負損失最小和主要的特征，如徑心坐標、斜率、石墨顆粒大小等指標可以易于被提取出來。對于橢圓形、正三角形、矩形、正方形和圓形5種待選基元模型，正方形是矩形的特例，圓形是橢圓形的特例，而正三角形相對而言不易計算，矩形的誤差控制明顯高于橢圓形，經(jīng)顯著性檢驗［12］，可認為在精度和適用性上橢圓形是最優(yōu)的基元模型。

分形體的復(fù)雜程度可由分形維數(shù)表征［1］，由圖1可見，隨著石墨質(zhì)量分數(shù)的增加，黑色區(qū)域不斷連結(jié)到一起，覆蓋石墨顆粒的橢圓基元數(shù)目也發(fā)生變化，為了便于進一步討論和研究，對橢圓基元個數(shù)作如下定義：

定義 設(shè)A∈H（X），其中（X，d）為度量空間，對每一個ε，ε′＞0，N（A，ε，ε′）表示拼貼覆蓋A所需的、以ε為長徑、ε′為短徑的開橢球的數(shù)目，則稱N（A，ε，ε′）為A的稠密度，記作N=N（A，ε，ε′）.其中H（X）為X的全體非空緊子集組成的空間，N∈R+且N≥1.

由橢圓基元模型及定義，采用拼貼原理［14］，以橢圓近似覆蓋石墨顆粒，表面微觀形貌圖中橢圓的個數(shù)即為稠密度。

采取正交分割，把表面微觀形貌圖分為若干個正交子圖，即相當于把被測試樣人為地分割成若干尺寸相同的小試樣進行測量，分別提取基元特征指標（長徑、短徑、徑心和斜率）及測量表面微觀形貌圖的分形維數(shù)和稠密度。稠密度分兩種情形測算：1）對于某個子圖，當一個橢圓完全屬于該子圖時，則計1；2）當一個橢圓屬于兩個或兩個以上子圖時，則以橢圓在該子圖中所占的面積比計算。任意選取若干子圖作為訓(xùn)練集，剩余的子圖作為檢驗集，通過訓(xùn)練集對石墨的分布規(guī)律進行推斷，利用檢驗集進行分布規(guī)律一致性檢驗，流程圖如圖2所示。

圖2 銅基復(fù)合材料表面微觀形貌數(shù)據(jù)分析流程圖Fig.2 Flow chart of data analysis of Surface microtopography of copper matrix composites

3 復(fù)合材料表征指標的統(tǒng)計分布推斷

3.1 各主要指標的統(tǒng)計規(guī)律分析

對3種不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料，把表面微觀形貌圖分割成20張正交子圖，分別提取基元特征指標、分形維數(shù)和稠密度，隨機選取10張子圖作為訓(xùn)練集，余下10張子圖作為檢驗集，采用科爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫方法［15］（簡稱K-S檢驗）推斷這些指標的分布規(guī)律。取檢驗的顯著性水平α=0.05，檢驗的原假設(shè)為H0：訓(xùn)練集來自正態(tài)分布，F(xiàn)∈F，其中F為正態(tài)分布族，檢驗結(jié)果如表1所示。表1中：Z為檢驗統(tǒng)計量，Sig為顯著性。

表1 銅基復(fù)合材料表面微觀形貌特征指標的K-S檢驗結(jié)果Tab.1 K-S inspection results of characteristic indices of surface microtopography of copper matrix composites

對于長徑和短徑，先分別取自然對數(shù)再進行K-S檢驗。由表1可知，無論是哪種石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料，其檢驗的顯著性Sig值都大于0.05，故可推斷徑心、斜率、分形維數(shù)和稠密度服從正態(tài)分布，長徑、短徑服從對數(shù)正態(tài)分布。進一步可知，長徑、短徑的均值和均方差隨石墨質(zhì)量分數(shù)的增加而不斷增大；分形維數(shù)的均值隨著石墨質(zhì)量分數(shù)的增加而不斷增大，均方差隨著石墨質(zhì)量分數(shù)的增加而不斷減??；稠密度的均值和均方差隨著石墨質(zhì)量分數(shù)的增加不斷減小。結(jié)合圖1可見，表面微觀形貌圖隨著石墨質(zhì)量分數(shù)的增加而逐漸變得復(fù)雜，黑色區(qū)域面積不斷擴大。

3.2 統(tǒng)計規(guī)律一致性檢驗

分別對3種不同石墨質(zhì)量分數(shù)的基元特征指標、分形維數(shù)和稠密度作分布規(guī)律一致性檢驗，原假設(shè)為：

1）H01：石墨基元長徑的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，

2）H02：石墨基元短徑的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，

3）H03：石墨基元分形維數(shù)的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，

4）H04：石墨基元稠密度的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，

5）H05：石墨基元徑心坐標的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，為對數(shù)正態(tài)分布族；

6）H06：石墨基元斜率的訓(xùn)練集和檢驗集來自同一總體，

對于上述原假設(shè)，由表1結(jié)果，可采用兩個獨立樣本同分布的t-檢驗［16］，檢驗結(jié)果如表2所示。為便于對比，檢驗的顯著性水平統(tǒng)一取α=0.05.

表2 兩個獨立樣本來自同一總體的檢驗Tab.2 Two independent samples from the same overall inspection

由表2可知，在方差齊性的檢驗中，對于3種不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料，均有檢驗的Sig＞0.05，且在均值相等的檢驗中也均有Sig＞0.05，故可以推斷訓(xùn)練集和檢驗集中石墨基元的斜率、徑心坐標、長徑、短徑、分形維數(shù)和稠密度均分別來自同一類型總體，即訓(xùn)練集和檢驗集的分布具有一致性。

4 銅基復(fù)合材料分類判別

根據(jù)抽樣理論，為了提高試驗評估的準確度，需要作大量的試驗，樣本容量越大，精度就越高。但是，受到試驗條件、試驗成本等因素的影響，往往只能做極小樣本的試驗，如樣本容量為n=1或n=2.故極小樣本容量的虛擬增廣方法就顯得極為重要。但是，極小樣本的虛擬增廣方法在應(yīng)用時，要求已知試件的分布形式及標準差，對于試件的相關(guān)統(tǒng)計特性一無所知時，虛擬增廣方法便顯得無能為力［17］。此外，在相同條件下，雖然得到了大量數(shù)據(jù)，但是往往因為類別不足，仍然是小樣本數(shù)據(jù)。對于銅基復(fù)合材料的分類問題，傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分類算法，如聚類分析、判別分析等，在大樣本條件下，才能達到高精度的要求，在小樣本情形下不能很好地發(fā)揮作用。20世紀80年代Vapnik提出的支持向量機理論是基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論發(fā)展起來的一種新型機器學(xué)習(xí)算法，對小樣本適用性較強，尤其當訓(xùn)練集有限時得到的決策規(guī)則，對獨立的檢驗集仍能得到較小的誤差。

4.1 支持向量機原理與分析

假設(shè)｛（xi，yi），xi∈Rn，yi=-1或1｝是給定的訓(xùn)練集，尋找Rn上的實值函數(shù)g（x），用決策函數(shù)f（x）=sgn（g（x））推斷任一模式x對應(yīng)的y值。分類問題實質(zhì)上就是設(shè)立或建立把Rn上的點分成兩類的規(guī)則。3類或3類以上也可仿此進行，但其復(fù)雜程度會大大增加。

實際上，支持向量機理論不直接涉及概率測度和大數(shù)定律，基本避免了從人工歸納到演繹的過程，具有結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小、可逼近任意函數(shù)并保證全局最優(yōu)等特點，對提高分類的準確性具有一定優(yōu)勢。在應(yīng)用支持向量機進行銅基復(fù)合材料分類的研究中，需要解決的關(guān)鍵問題有：1）如何構(gòu)造核函數(shù)，且滿足Mercer條件［18］；2）對常用的幾個核函數(shù)，如高斯核函數(shù)中參數(shù)的優(yōu)化或估計問題等。這些問題的解決，對進一步提高分類的精確性和可靠性起著重要的作用。

4.2 復(fù)合材料分類規(guī)則

由圖1可見，銅基復(fù)合材料表面微觀形貌隨石墨質(zhì)量分數(shù)的變化而變化，且這些變化可反映在石墨基元長徑、短徑、徑心坐標、斜率等特征參數(shù)的變化上。由于分形維數(shù)在一定程度上體現(xiàn)了銅基復(fù)合材料表面微觀形貌的復(fù)雜程度，不妨用石墨基元的長徑、短徑、徑心橫坐標、徑心縱坐標、斜率、分形維數(shù)和稠密度等7個指標來刻畫銅基復(fù)合材料。由于長徑和短徑?jīng)Q定了基元的面積，因此7個指標可簡化為面積、徑心橫坐標、徑心縱坐標、斜率、分形維數(shù)和稠密度6個指標。顯然，若把這6個指標均看作隨機變量，那么，銅基復(fù)合材料即可由一個六維隨機變量來表示。對于高維隨機變量，其分布規(guī)律更為復(fù)雜，若能降低其維數(shù)，將能使分類判別更加簡捷、直觀。

本文采用因子分析方法，既實現(xiàn)了降維，又為應(yīng)用支持向量機方法進行分類判別奠定了基礎(chǔ)，因子分析結(jié)果如表3～表5所示。

表3 KMO測度和巴特利特球體檢驗結(jié)果Tab.3 Inspection results of KMO measurement and Bartlett

表4 銅基復(fù)合材料表面微觀形貌特征指標的因子分析Tab.4 The factor analysis of surface microstructure feature indexes of copper matrix composites

表5 因子提取結(jié)果Tab.5 Factor extraction results

由表3可知，KMO測度為0.650，χ2值的顯著性水平為0，表明這6個指標間的共同因素較多，且數(shù)據(jù)具有相關(guān)性，適宜進行因子分析。由表4可知，特征值大于1的因子有3個，且3個因子的累計貢獻率為79.134%，因此取3個共同因子來對銅基復(fù)合材料進行分析即可。由表5可知，第1個因子對面積、分形維數(shù)和稠密度有絕對值較大的負荷系數(shù)，第2個因子對徑心橫坐標和縱坐標有絕對值較大的負荷系數(shù)，第3個因子對斜率有絕對值較大的負荷系數(shù)。于是，第1個因子可解釋為描述銅基復(fù)合材料表面微觀形貌復(fù)雜程度的參數(shù)，第2個因子和第3個因子可解釋為銅基復(fù)合材料中石墨顆粒的位置參數(shù)。因此，可把石墨顆粒的面積、分形維數(shù)和稠密度作為分類的依據(jù)。

關(guān)于3種不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料的石墨基元面積、分形維數(shù)和稠密度的散點圖，如圖3所示。

由圖3可知，石墨質(zhì)量分數(shù)為10%和20%的銅基復(fù)合材料是線性可分的，石墨質(zhì)量分數(shù)為16%和10%、16%和20%的銅基復(fù)合材料均是線性不可分的。采用二叉樹多分類器［19］對3種不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料分類。分類步驟如下：

步驟1 視石墨質(zhì)量分數(shù)為10%和20%的銅基復(fù)合材料為正類，把石墨質(zhì)量分數(shù)為16%的銅基復(fù)合材料視為負類。

步驟2 對石墨質(zhì)量分數(shù)為10%和20%的銅基復(fù)合材料進行分類，分別視二者為正類和負類。

步驟3 把石墨基元的面積、分形維數(shù)和稠密度3個特征參數(shù)作為輸入指標，yi=-1或1是輸出指標，若銅基復(fù)合材料是正類，則yi=1，否則yi= -1（i=1，2，…，n）.

步驟4 對于任意給定的一個輸入，根據(jù)訓(xùn)練集，設(shè)立或建立實值函數(shù)g（x），進行分類判別。

這樣的訓(xùn)練算法，不僅可提高訓(xùn)練的速度和決策的速度，且可減少所需訓(xùn)練的兩類支持向量機的數(shù)目。由徑向基核函數(shù)的優(yōu)良特性［20］，本文選擇徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)，分類結(jié)果如表6所示。

表6 3種不同的銅基復(fù)合材料分類結(jié)果Tab.6 Classification results of three different copper matrix composites

5 結(jié)論

1）經(jīng)統(tǒng)計分析和顯著性檢驗可以推斷，表征銅基復(fù)合材料表面微觀形貌圖中石墨顆粒的徑心、斜率、分形維數(shù)和稠密度服從正態(tài)分布，長徑、短徑服從對數(shù)正態(tài)分布，且這些分布規(guī)律均具有一致性。

2）利用因子分析方法，把表征銅基復(fù)合材料的六維變量降低或簡約成了三維變量，即表征銅基復(fù)合材料表面微觀形貌復(fù)雜程度的主要指標為石墨顆粒的面積、分形維數(shù)和稠密度。利用支持向量機原理，對不同石墨質(zhì)量分數(shù)的銅基復(fù)合材料進行了分類判別。把石墨質(zhì)量分數(shù)為10%和20%的銅基復(fù)合材料當作正類，石墨質(zhì)量分數(shù)為16%的銅基復(fù)合材料作為負類，二者的分類準確率達到83.333%；石墨質(zhì)量分數(shù)為10%的銅基復(fù)合材料，與石墨質(zhì)量分數(shù)為20%的銅基復(fù)合材料之間的分類準確率達到了100%.

3）體現(xiàn)了本文中4種方法結(jié)合使用的優(yōu)勢，其中包括分形理論和稠密度概念的恰當應(yīng)用，即彌補了單一分類方法的缺陷，又起到了控制和提高判別精度的效果。

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Research on Classification Discriminating Method of Copper Matrix Composites

MA Run-bo1，2，DU Jian-hua2，XU Shi-meng1
（1.Section of Mathematics，Academy of Armored Force Engineering，Beijing 100072，China；2.National Key Lab for Remanufacturing，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China）

Surface microtopography of copper matrix composite is partitioned by orthogonal method，and the subgraphs are selected as training set at random.The characteristics of graphite particles are extracted by selecting and designing a basic element model，and the statistical inference of distribution law is made.It is known that the diameter center，slope，fractal dimension and density of graphite particles obey normal distribution，and its long axis and minor axis submit to logarithmic normal distribution.The distribution law of graphite particles can be inferred to be consistent by the way of significance test.The factor analysis method is used to determine the primary indices which characterize the complex surface microtopography of copper matrix composites，and the support vector machine principle is used to classify and discriminate the copper matrix composites with different graphite contents.The results show that，through the analysis of surface morphology，the classification accuracy of copper matrix composites，of which and mass fraction of graphite is 16%，reaches 83.333%，the classification accuracy of the two kinds of copper matrix composites，of which the mass fractions of graphite are 10%and 20%，between them reaches 100%.

metallic material；copper matrix composite；basic element；classification；support vector machine

O212；TF125

A

1000-1093（2015）05-0921-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.05.023

2014-07-15

國家自然科學(xué)基金項目（51001117）；北京市自然科學(xué)基金項目（3132024）

馬潤波（1976—），女，講師。E-mail：13810470589@139.com