鄒昕光，周荻，杜潤樂，劉佳琪

(1.哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程及自動化學院，黑龍江 哈爾濱150001;2.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱150001;3.試驗物理與計算數學國家級重點實驗室，北京100076)

0 引言

先進導彈防御系統的研究和開發(fā)給彈道導彈突防帶來了嚴峻的考驗。彈道導彈飛行中段處在大氣層外，此時推力發(fā)動機關閉，彈頭和彈體分離，導彈所具有的機動能力很小或者可以忽略不計，導致此階段彈道導彈的飛行軌跡比較固定，易被導彈防御系統攔截。因此研究有效的防御手段以提高彈道導彈突防成功率具有較大的工程實際意義和理論價值。

目前已經提出了一些提高彈道導彈突防成功概率的方法，例如電子干擾，偽裝技術，誘餌技術，使用中制導和末制導，多彈頭技術，機動變軌技術等［1］。這些方法本質上都可以歸結為被動防御，其出發(fā)點都是尋找有效的躲避手段。與此相對，彈道導彈也可以采取主動的防御手段:在受到威脅時釋放一個或多個防御導彈來保護自身。防御導彈具有和彈道導彈相同的速度，在距離彈道導彈一定距離的范圍內伴飛，采用有效的制導律攔截來襲的攔截導彈［1］。為了敘述簡潔清晰，本文后面將突防的彈道導彈稱為目標，將導彈防御系統發(fā)射的攔截導彈稱為攔截導彈，將與彈道導彈伴飛的反攔截導彈稱為防御導彈。本文考慮只存在一枚防御導彈的場景。

由于主動防御方式的特點和有效性，該方法在飛機防御中得到了廣泛的研究。文獻［2］在假設攔截導彈制導律是已知線性制導律的前提下推導了防御導彈和目標的協同制導律。但假設攔截導彈的制導律已知并不符合實際。針對該問題文獻［3］提出了一種多模自適應制導律，該制導律通過一組濾波器來確定攔截導彈的制導律和估計制導律參數。但是該方法要求攔截導彈的制導律和制導參數的組合在一個有限的已知集合中選取，而集合的大小受限于濾波器的個數。這限制了該制導律在工程實際中的運用。文獻［4］根據防御導彈和目標的不同協同方式(單向協同或者雙向協同)設計出了3 種不同的最優(yōu)主動防御制導律。使用狀態(tài)方程降階方法，將高階運動方程降階為以零控脫靶量為狀態(tài)的一階動態(tài)方程，簡化了制導律的推導。以上工作都基于最優(yōu)控制理論，最優(yōu)制導律的設計需要估計剩余時間參數。而剩余時間參數的估計精度將直接影響制導的精度。攔截導彈一方面需要攔截目標，另一方面需要逃避防御導彈的攔截，這是一個微分對策問題，因此一些文獻使用了微分對策理論來研究主動防御問題［5-6］。和最優(yōu)制導類似，微分對策制導律需要估計終端時刻，而終端時刻的估計精度會直接影響到制導精度。

如果將目標，攔截導彈和防御導彈抽象為空間中的點，那么它們之間的連線構成一個三角形。一種可行的制導策略是防御導彈控制自身處于目標和攔截導彈的視線上且在目標和攔截導彈之間，此時三角形退化為直線，隨著攔截導彈不斷接近目標最終將撞上防御導彈［7-9］。這種制導策略稱為視線三角制導策略，在幾何上比較直觀。文獻［7］提出的制導律采用了視線三角制導策略，制導律的表達式中包含了攔截導彈的加速度項，但在實際中對于防御導彈而言，攔截導彈的加速度是難以獲得的量。在文獻［8 -9］提出的基于視線三角制導策略的制導律中，防御導彈的制導指令和兩個參數成比例。第1 個參數是防御導彈-攔截導彈視線角和攔截導彈-目標視線角的差。第2 個參數是防御導彈和攔截導彈的相對速度。

滑?？刂朴捎趯Ｕ`差和外部未知干擾的良好魯棒性被廣泛應用在導彈制導律的設計中［10-22］。文獻［13］提出了基于滑模的主動防御協作制導律，研究了大氣層內飛機防御導彈攻擊的問題。有限時間穩(wěn)定性理論在1986年被首次提出［14］，由于具備有保障的收斂性時間特性，該理論在制導律設計問題中被廣泛使用［15-26］。近年來有限時間收斂滑模控制理論主要用來解決含有角度約束的制導問題，但是一些制導律在被控角度誤差很小時會出現奇異問題，導致大的抖振和控制飽和［17-18］。非奇異終端滑?？刂品椒梢钥刂苹Ｗ兞吭谟邢迺r間內到達滑模面并且避免由于奇異問題而造成的控制飽和［19-22］。文獻［23］和文獻［24］針對該問題分別設計了不同的非奇異終端滑模制導律，該制導律在避免奇異問題的同時保持有限時間收斂的特性。

本文試圖設計一種大氣層外防御導彈高性能的魯棒制導律。考慮到在制導的大部分時間內目標和防御導彈之間的距離和他們與攔截導彈之間的距離相比是一個小量，將制導分為兩個階段。在第1 階段對相對運動近似建模，使用基于視線三角制導策略的制導律;第2 階段考慮到近似建模誤差隨著時間快速增加，因此使用基于零化視線轉率策略的制導律。第2 階段的制導律使用更加精確的相對運動模型。制導律的設計使用非奇異終端滑?？刂评碚摗１疚脑诶碚撋献C明基于視線三角制導策略可以顯著地降低防御導彈的需用過載，而基于零化視線轉率的制導律使用更加精確的相對運動模型，因此分階段的制導方法兼顧了二者的優(yōu)點。仿真驗證了制導律的有效性。

1 問題描述

目標、攔截導彈和防御導彈的相對運動關系如圖1所示，其中目標、攔截導彈和防御導彈分別用T、M 和D 來表示。目標、攔截導彈和防御導彈的速度分別用vT、vM和vD表示。攔截導彈-目標的視線角為qεMT和qβMT;防御導彈-攔截導彈的視線角為qεDM和qβDM. OXYZ 為慣性參考系，其中目標和防御導彈的慣性參考系TXTYTZT和DXDYDZD方向和OXYZ 相同，攔截導彈的慣性參考系MXMYMZM方向為坐標系OXYZ 繞OY 軸旋轉180°.

圖1 目標、攔截導彈和防御導彈相對運動幾何關系Fig.1 Interception geometry in three dimensions

攔截導彈-目標和防御導彈-攔截導彈解耦的相對運動方程為

式中:aTqε和aTqβ代表目標加速度在防御導彈-攔截導彈視線系下的縱向平面和側向平面分量;aDqε和aDqβ代表防御導彈加速度在防御導彈-攔截導彈視線系下的縱向平面和側向平面分量;aM1qε和aM1qβ代表攔截導彈加速度在攔截導彈-目標視線系下的縱向平面和側向平面分量;aM2qε和aM2qβ代表攔截導彈加速度在防御導彈-攔截導彈視線系下的縱向平面和側向平面分量。

2 非奇異終端滑?？刂评碚?/h2>

在推導制導律表達式之前先給出制導律采用的有限時間收斂控制理論。

引理1 對于非線性系統

假設存在一個定義在原點鄰域U??n上的C1光滑函數V(x，t)，并且存在實數γ ＞0 和0 ＜λ ＜1，使得V(x，t)在U 上正定且(x，t)+γVλ(x，t)在U上半負定，則系統是有限時間穩(wěn)定的［25-26］。

證明見文獻［25 -26］，為了簡化計算，取V(x，t)=，σ 是滑模變量，取根據引理1，系統有限時間穩(wěn)定的充分條件有

(6)式為有限時間滑模到達條件。到達時間為

引理2 對于如下2 階非線性系統

式中:x=［x1，x2］T∈?2. 將其滑模變量設置為σ=x1+，β ＞0，1 ＜α =p/q ＜2，p、q 都是正奇數。引理1 的有限時間收斂條件，可以保證狀態(tài)x1、在有限時間內收斂到0［19-23］.

狀態(tài)在時間ts之內收斂到0，ts表達式為

根據引理1，tr是有限正值。由于p、q 都是奇數且p ＞q ＞0，β ＞0，有所以ts≥tr.

3 制導律設計

在防御導彈制導的大多數時間內防御導彈和目標之間距離相對于它們與攔截導彈的距離小得多，而且防御導彈和目標速度矢量十分接近，因此在大部分時間里滿足如下關系:

將整個制導分為兩個階段:階段1 和階段2. 為了簡化制導律的表達式，在階段1 中認為(9)式和(10)式成立，防御導彈采用視線三角制導策略，保持自身在目標和攔截導彈的視線上，這種制導策略可以有效降低防御導彈的需用過載。在階段2 中認為(9)式和(10)式不再成立，防御導彈采用零化對攔截導彈視線轉率的制導策略。假設防御導彈可以測量相對于攔截導彈的距離RDM和速度，目標可以測量相對于攔截導彈的相對距離RMT和速度并通過通信設備將RMT和發(fā)送給防御導彈。防御導彈使用一個門限值μ*來區(qū)分這兩個階段。并設

當μ ＞μ*時，防御導彈使用階段1 制導律，當μ≤μ*防御導彈使用階段2 制導律。由于防御導彈總是在目標的前下方伴飛，所以0 ＜RDM＜RMT. 當μ*=0 時防御導彈全程使用階段1 制導律;當μ*=1 時防御導彈全程使用階段2 制導律。

3.1 階段1 制導律設計

為了保證防御導彈能擊中攔截導彈，防御導彈的制導策略是將自己的位置保持在目標和導彈連線上，同時零化視線轉率。即

在該階段中，近似地認為(9)式和(10)式成立。目標在大氣層外具有很小的機動能力，本文忽略目標的機動。因此在該階段中攔截導彈和目標的相對運動方程(1)式和(2)式可以近似為

利用非奇異終端滑模設計縱向平面制導律，選取滑動模態(tài)面為

式中:β1為常量，β1＞0;1 ＜α1=p1/q1＜2，p1、q1都是正奇數。設計目標是控制aDqε，保證狀態(tài)xε1和xε2有限時間內趨向0. 對(16)式取時間導數得

假設防御導彈-攔截導彈和攔截導彈-目標的視線角速率可以分別被防御導彈和目標測量，目標通過通信設備將測量值發(fā)送給防御導彈，則xε2可以計算得到。攔截導彈的加速度不能獲得但是可以假定攔截導彈的機動能力是有限的。(17)式中攔截導彈加速度aMqε=aM2qε-aM1qε是攔截導彈加速度在防御導彈-攔截導彈視線系和攔截導彈-目標視線系下Y 軸分量的差。按照本制導律設計思路，這兩個視線系的Y 軸接近平行且方向相同，因此aM2qε≈aM1qε，因此攔截導彈在(17)式中引入的加速度很小，這是該制導策略的一個優(yōu)勢。假設|aMqε|≤M1，將攔截導彈的機動看成是系統擾動?？v向平面制導律設計為

式中:ρ1=M1+1.

類似的，利用非奇異終端滑模設計側向平面制導律，選取滑動模態(tài)面為

式中:β2為常量都是正奇數。設計目標是控制aDqβ，保證狀態(tài)xβ1和xβ2有限時間內趨向0. 對(16)式取時間導數得

類似地假設防御導彈-攔截導彈和攔截導彈-目標的視線角速率都可以測量，則xβ2可以計算得到;假設防御導彈-攔截導彈的相對距離和相對速度可以測量。攔截導彈的加速度不能獲得但是可以假定攔截導彈的機動能力是有限的。(20)式中攔截導彈加速度aMqβ=aM1qβ+aM2qβ是攔截導彈加速度在防御導彈-攔截導彈視線系和攔截導彈-目標視線系下Z 軸分量的和。按照本制導律設計思路，這兩個視線系的Z 軸接近平行且方向相反，因此aM2qβ≈-aM1qβ，因此攔截導彈在(20)式中引入的加速度很小。假設|aMqβ|≤M2，將攔截導彈的機動看成是系統擾動。側向平面制導律設計為

式中:ρ2=M2+1.

定理1 制導系統(14)式和(15)式的制導律分別取(18)式和(21)式時，可以保證狀態(tài)xε1、、xβ1和在有限時間內趨向0，即防御導彈能夠在有限時間內將自身位置調整到目標和攔截導彈的視線上并且保證防御導彈-攔截導彈的視線轉率漸進趨向0.

證明 根據(17)式與(18)式有

根據(20)式和(21)式有

由于σ1和σ2采用了非奇異終端滑模形式，根據引理2 知道xε1、xβ1和在有限時間內收斂到0. 收斂時間分別為

考慮到一般情況下攔截導彈都使用零化視線轉率策略的制導律對目標制導，且因為和在有限時間內收斂到0，所以防御導彈對攔截導彈的視線轉率會隨著收斂到0.

證畢。

3.2 階段2 制導律設計

在階段2 中，防御導彈采用零化視線轉率的制導策略。此時防御導彈的制導律不再需要考慮目標的運動信息。

利用非奇異終端滑模設計縱向平面制導律，選取滑動模態(tài)面為

設計目標是控制aDqε，保證 狀 態(tài)有限 時 間內趨向0. 對(26)式取時間的導數得

攔截導彈加速度難以測量但是可以假定其是一個有限值，且門限已知，即

和階段1 的制導策略相比，(27)式中的攔截導彈加速度項不再具有相互抵消的特點，因而這種制導策略下引入的攔截導彈的加速度會比較大。制導律設計為

式中:ρ3=M3+1.

類似的，利用非奇異終端滑模設計側向平面制導律，選取滑動模態(tài)面為

設計目標是控制aDqβ，保證狀態(tài)q·βDM有限時間內趨向0. 對(30)式取時間的導數得

攔截導彈加速度難以測量但是可以假定其是一個有限值，且門限已知，即

制導律設計為

式中:ρ4=M4+1.

定理2 制導系統(3)式和(4)式的制導律分別取(29)式和(33)式時，可以保證防御導彈-攔截導彈的視線轉率在有限時間收斂到0.

證明 根據(27)式和(29)式有

設γ3則

根據(31)式和(33)式有

設γ4則

根據引理1 可知滑模變量σ3和σ4在有限時間內達到滑模面。收斂時間分別為

定理得證。

4 仿真結果及分析

在大氣層外防御導彈通過軌控發(fā)動機產生加速度。而軌控發(fā)動機一般是開關式發(fā)動機輸出的推力只能是固定值或者0，這不適合制導指令是變化的制導律。針對該問題，使用了基于脈沖寬度調制(PWM)的軌控發(fā)動機控制方法，基于沖量等效原理，輸出可變的等效力，來適應本文設計的制導律。

下面將本文提出的分階段主動防御非奇異終端滑模制導律簡稱為AD_NTSM 制導律。為了考察AD_NTSM 制導律的性能，先給出一個仿真算例;接著考察在不同μ*門限值下的制導律性能，以期對于不同的防御導彈機動能力找到對應最佳的μ*值，兼顧兩個階段制導律的優(yōu)勢，發(fā)揮最佳性能;最后對比了AD_NTSM 制導律和比例導引(PN)制導律的性能。

在仿真中目標在慣性坐標系下初始位置為(500.0 km，400.0 km，0 km)，攔截導彈在慣性系下初始位置為(559.371 km，319.188 km，0.746 km)，防御導彈在慣性系下的初始位置為(502.903 km，396.206 km，-1.980 km). 目標的初始速度大小為7 071 m/s，初始彈道角為傾角θT0= -35.3°和偏角ψvT0=0°. 攔截導彈初始速度大小為3 000 m/s，初始彈道角為傾角θM0=44°和偏角ψvM0=0°. 防御導彈初始速度大小為7 071 m/s，初始彈道角為傾角θD0=-35°和偏角ψvD0= -2.1°. 目標本身不機動，只受重力作用。攔截導彈和防御導彈的最大加速度均為3 g. 制導律參數選擇如下β1=β2=40，M1=M2=20，M3=M4=30，α1=α2=

目標需要通過通信設備將一些制導信息發(fā)送給防御導彈。目標和防御導彈雖然速度很快(7 071 m/s)，但是基本上是朝同一方向飛行，大小也大致相同，因此相對速度很小。而且防御導彈會在目標的前下方5 ～7 km 的位置上伴飛，距離也很短。目標和防御導彈之間沒有障礙物和大氣阻隔，通信條件良好。綜上所述制導律對通信設備的要求不高，通信設備比較容易實現小型化。另外由于通信只存在從目標到防御導彈的單向通信，因此彈道導彈上只需要安裝發(fā)射機，防御導彈上只需要安裝接收機。

4.1 仿真算例

在該仿真算例中防御導彈的脫靶量為0.28 m.攔截過程的彈道軌跡如圖2所示。從圖上看目標和防御導彈的軌跡十分接近，實際上在整個制導階段中目標和防御導彈的最小距離不小于5.17 km. 這個距離對于目標和防御導彈來說是安全的。

圖2 目標、攔截導彈和防御導彈運動軌跡Fig.2 Motion trajectories of target，interceptor and defending missiles

防御導彈加速度在彈體系上的分量如圖3所示。前0.5 s 軌控發(fā)動機一直處于關閉狀態(tài)，這是因為前0.5 s 防御導彈和攔截導彈的相對距離超過了防御導彈導引頭的最大探測距離(本仿真假設導引頭最大探測距離為90 km)。在這段時間內制導律不工作，因此不產生制導指令。

圖3 防御導彈發(fā)動機推力產生的加速度在彈體系下的分量Fig.3 Lateral accelerations of defending missile in body-axis frame

圖4是防御導彈對攔截導彈的視線角速率。在大部分時間內該視線角速率都在［- 0.05°/s，0.05°/s］范圍內，隨著防御導彈接近攔截導彈，視線角速率逐漸發(fā)散。

圖4 防御導彈-攔截導彈視線角速率Fig.4 Defender-interceptor LOS angular velocities

圖5描繪了目標、攔截導彈和防御導彈三點共線的情況。整個制導階段防御導彈-攔截導彈和攔截導彈-目標視線角之差的范圍分別為:視線高低角之差在［0°， - 0.2°］范圍內，視線方位角在［-2.2°，-1.5°］范圍內，共線情況良好。

圖5 目標，攔截導彈和防御導彈三點共線情況Fig.5 Three point collinear of the three bodies

4.2 μ* 對制導律性能的影響

我們考察不同的μ*和不同的防御導彈機動能力下整體制導律的性能。μ*從0 變化到1(代表階段1 制導律占據的時間越來越短)，步長為0.1. 防御導彈的機動能力從2 g 變化到5 g，步長為0.5 g.圖6給出了μ*在防御導彈不同機動能力下對制導性能的影響。

圖6 μ* 對制導律性能的影響Fig.6 Choice of μ* for interception phase dividing

從圖6可以看出，制導全程使用階段1 制導律(μ*=0)的效果要比全程使用階段2 制導律(μ*=1)的效果好。其中原因在階段1 制導律設計中討論過，即由于在兩個視線坐標系下的攔截導彈的加速度相互抵消而導致引入的加速度很小，利于防御導彈的攔截。這說明了視線三角制導策略的優(yōu)勢。在μ*較小時，制導性能隨著μ*增加而提高;而當μ*較大時，制導性能隨著μ*增加而下降。這是因為在μ*較小時，在制導后期仍舊使用階段1 制導律，此時近似相對運動建模誤差快速變大，階段1 制導律性能下降。如果及時采用精確建模的階段2 制導律，總體制導性能會提高。隨著μ*繼續(xù)增大，階段2 制導律越來越早使用。當μ*增加到一定程度(例如對于防御導彈機動能力為2.0 g 或2.5 g 時，μ*=0.4;防御導彈機動能力為3.0 g 或3.5 g 時，μ*=0.3)，制導性能進入拐點，繼續(xù)增加μ*會造成階段1 制導律使用的時間過短，其制導優(yōu)勢難以充分體現，從而導致總體制導性能開始下降。

4.3 AD_NTSM 制導律和PN 制導律比較

為了橫向比較AD_NTSM 制導律的性能，考察了在相同的防御導彈機動能力下，AD_NTSM 制導律和PN 制導律的性能。碰撞殺傷場景需要的脫靶量很小，一般要求在0.3 ～0.5 m 之間，因此比較了AD_NTSM 制導律和PN 制導律脫靶量小于0.3 m和小于0.5 的概率以及平均脫靶量這3 個統計指標。仿真考察了防御導彈機動能力從2.0 g 變化到5.0 g，步長為0.5 g 的7 種不同情況下，每種情況針對AD_NTSM 制導律和PN 制導律分別進行了200 次Monte Carlo 仿真。

AD_NTSM 制導律門限值取μ*=0.4. 其余仿真參數和仿真算例的設置一樣。在Monte Carlo 仿真中攔截導彈和防御導彈的初始位置都分別加上了一個均勻分布的隨機向量。這兩個隨機向量的2 范數的平均值分別為3.5 km 和5.0 km.

仿真結果如表1所示。從表1中可以看出，在相同機動能力下，AD_NTSM 制導律性能優(yōu)于PN 制導律。這是因為AD_NTSM 制導律含有可以抵消攔截導彈機動影響的變結構項。特別的，當防御導彈機動能力較小時，AD_NTSM 性能顯著優(yōu)于PN 制導律。除了上面的原因之外，還因為采用視線三角制導策略的AD_NTSM 制導律在階段1 制導中當防御導彈-攔截導彈視線系和攔截導彈-目標視線系接近平行時(即目標，攔截導彈和防御導彈三者接近共線時)，攔截導彈在兩個視線系下的加速度會互相抵消，導致引入到(17)式和(20)式中的攔截導彈加速度很小。由于制導律將攔截導彈的加速度當做外部干擾處理，小的外部干擾有利于降低防御導彈需用過載。

表1 AD_NTSM 制導律和PN 制導律性能比較Tab.1 Comparison of performances of AD_NTSM and PN guidance laws

5 結論

本文研究了大氣層外彈道導彈突防的主動防御制導問題。將制導過程分為兩個階段。階段1 設計了基于視線三角制導策略的制導律，防御導彈控制自身位置處于目標和攔截導彈的視線上。本文首次在理論上證明了該階段制導律能有效地降低防御導彈的需用過載。由于采用近似相對運動模型，簡化了制導律的表達形式。但是在階段2 中近似建模誤差隨時間快速增大，因此設計了基于零化視線轉率的制導律，使用更為精確的相對運動模型。兩階段制導律均使用非奇異終端滑?？刂品椒ㄔO計，保證防御導彈在有限時間內可以將自身調整到目標和攔截導彈的視線上并零化對攔截導彈的視線轉率。最后進行了數值仿真，結果表明在整個制導階段防御導彈在較高的精度上達到了上述2 個目標:1)保持在目標和攔截導彈的視線上;2)對攔截導彈的視線角速率控制趨于0. 和PN 律進行對比可以看到，所提制導律在達到同樣的脫靶量精度情況下，需用過載更小。

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