陳友軍，何洪英

西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009

1 引言

灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分之一，而且是灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策的基石。通過近年來的研究表明，灰色關(guān)聯(lián)理論無疑是灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用最廣泛、最具活力的部分。正是由于所有的灰色關(guān)聯(lián)分析均是在灰色關(guān)聯(lián)度的基礎(chǔ)上進行的，灰色關(guān)聯(lián)度模型直接影響著關(guān)聯(lián)分析和應(yīng)用結(jié)果，因此研究關(guān)聯(lián)度模型及其算法具有十分重要的意義[1-9]。

現(xiàn)有的灰色關(guān)聯(lián)分析是基于思想：根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小[1]；由于其以序列曲線的相似性為研究基礎(chǔ)，因此，這里所謂的曲線越接近是指曲線的相似性，并非是曲線本身的接近（貼近），所以這種關(guān)聯(lián)分析是一種相似性分析，不是接近性分析；而灰色聚類、灰色決策等實際應(yīng)用中也經(jīng)常使用各已知模式與理想模式的接近程度的關(guān)聯(lián)分析，已知模式與理想模式越接近，接近程度就越高，接近度的值就越大，也就是說這種關(guān)聯(lián)分析是一種接近性分析，不是相似性分析。接近性應(yīng)當(dāng)根據(jù)序列曲線的幾何形狀特征以及空間位置關(guān)系差異判定其關(guān)聯(lián)是否緊密，接近程度與相似程度是完全不同的兩個概念，對數(shù)據(jù)處理的要求也不相同，因而應(yīng)有不同的定義和表達式以及不同的規(guī)范性和接近性[1-5]。

對于劉思峰教授提出的廣義灰色關(guān)聯(lián)度模型，由于其計算方便，不會出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符等一些優(yōu)勢，因而在現(xiàn)實中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[10-16]。但是深入研究發(fā)現(xiàn)其存在嚴重的不足之處，從某些實際例子來看，廣義灰色關(guān)聯(lián)度以及劉思峰教授在此基礎(chǔ)上提出的灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度都無法反映序列間的真實接近性或相似性，也就是實際上是存在量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不一致的問題。

2 問題提出

劉思峰教授在文獻[1]中以及前幾版的書中都給出了灰色廣義關(guān)聯(lián)度，其中包括灰色絕對關(guān)聯(lián)度和灰色相對關(guān)聯(lián)度，并在最新版的文獻[1]中根據(jù)灰色廣義關(guān)聯(lián)度的相關(guān)命題和定義給出了灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。然而，正是因為這些文獻中所給命題與灰色序列關(guān)系的實際意義（接近或相似）存在不一致而導(dǎo)致了一系列的問題。

2.1 相關(guān)命題及定義

命題2.1.1設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，記拆線 (xi(1)-xi(1),xi(2)-xi(1),…,xi(n)-xi(1))為Xi-xi(1)，令

則

（1）當(dāng)Xi為增長序列時，si≥0；

（2）當(dāng)Xi為衰減序列時，si≤0；

（3）當(dāng)Xi為振蕩序列時，si符號不定。

類似地可以給出Si的符號變化情況。

定義2.1.1設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，D為序列算子，且

其中xi(k)d=xi(k)-xi(1)，k=1,2,…,n，則稱D為始點零化算子，XiD為Xi的始點零化像，記為

則

（1）當(dāng)恒在上方，si-sj≥0；

如圖 1所示，圖（a）中，恒在上方，所以si-sj≥0，圖（b）中，與相交，si-sj的符號不定。

對于Si-Sj不難得到類似的結(jié)論。

圖1 拆線關(guān)系示意圖

2.2 存在的問題

由上面的命題和定義知si為經(jīng)始點零化后序列拆線與時間軸所圍圖形的面積，而Si為原始序列拆線與時間軸所圍圖形的面積；當(dāng)然si-sj即為兩原始序列經(jīng)始點零化后的拆線與時間軸所圍圖形的面積之差，Si-Sj即為兩原始序列的拆線與時間軸所圍圖形的面積之差。那這些面積差是不是圖1中所示的面積差（圖中陰影部分所示）呢？

很遺憾的是，這些面積差并不表示圖中所示的陰影部分的面積，這種計算方法得到的是兩個總面積之差，并不是交叉的陰影面積。然而，現(xiàn)實中人們更關(guān)心的是圖中陰影部分的情況，也就是兩種拆線圖形的真實差異情況。

2.3 實例分析

例2.1設(shè)系統(tǒng)行為序列X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，它們經(jīng)始點零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)，拆線如圖2所示，試計算它們的灰色絕對關(guān)聯(lián)度、灰色相對關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。

圖2 拆線樣式

解：很明顯，兩個序列既不接近，也不相似。

利用2.1節(jié)的相關(guān)命題及定義計算數(shù)據(jù)：

依據(jù)文獻[1]中所給灰色絕對關(guān)聯(lián)度、灰色相對關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度、灰色相似性關(guān)聯(lián)的計算公式計算得到的這些關(guān)聯(lián)度均為1。然而，從某種意義上說，只有當(dāng)兩序列完全重合時這些關(guān)聯(lián)度才可能為1，因此，劉思峰教授所提出灰色廣義關(guān)聯(lián)度的計算方式是不符合實際意義的，其根本原因在于對前述“面積之差”的理解有誤。

本例所給兩序列一是單調(diào)增長的，另一個是振蕩序列，根據(jù)例子的形式，還可以列舉出無窮多類似的例子。對于常見的兩個或多個序列同為單調(diào)增或單調(diào)減的，也可以找到無窮多的實例。

實際上，劉思峰教授提出的廣義灰色關(guān)聯(lián)度計算方法問題的根本原因就是忽略了圖形的本質(zhì)特征而僅考慮面積之差，這就好比如果一個三角形的面積等于一個圓的面積時，是不能說三角形和圓是相似的或接近的。雖然劉思峰教授在文獻[1-3]中給出了接近性關(guān)聯(lián)度、相似性關(guān)聯(lián)度等的新性質(zhì)，但這些卻給實際應(yīng)用帶來了麻煩，特別是在進行灰色聚類分析和灰色決策分析時，到底應(yīng)該對這樣的序列怎樣歸類，他們到底是不是屬于同類行為導(dǎo)致的呢?很明顯，現(xiàn)實中是不允許這樣做的。比如某同學(xué)的成績排名從第一學(xué)期到第四學(xué)期分別是1、3、5、7，而另一個同學(xué)的成績排名是1、5、3、7，這兩個序列的幾種灰色關(guān)聯(lián)度均為1，那我們能說這兩同學(xué)的學(xué)習(xí)情況是完全相似、他們的成績是完全接近的嗎？很明顯不是的，當(dāng)然我們也無法得出結(jié)論說這兩個同學(xué)的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法等是差不多的。

3 改進算法

綜上，廣義灰色關(guān)聯(lián)度的不足之處在于對序列間存在的面積理解和計算方法有誤，因此，改進算法就從面積入手進行。

陳友軍在文獻[6]中提出了灰色面積關(guān)聯(lián)度，后來又有很多學(xué)者提出了以圖形的面積差異來計算關(guān)聯(lián)度的方法[7-9]，然而這些文獻中的計算多是針對特殊例子而言的，且計算過程大多過于麻煩（使用很多的絕對值計算方式），因此本文以陳友軍提出的灰色面積關(guān)聯(lián)度來對劉思峰教授提出的灰色廣義關(guān)聯(lián)度等進行改進。

3.1 灰序列圖形間的面積

設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，且都為1-時距序列，則這兩個序列的折線圖分布的可能情況如圖1所示。對于兩序列的折線圖所圍面積的情況，總的來說有三種，但是第一種情況可看作是第三種情況的特例，即當(dāng)?shù)谌N情況的某一對端點重合時的情況，最特殊的是兩對端點都重合時的情況，這也是第三種的特例；而第二種面積，即是兩曲線段有交叉的情況。

（1）對面積①和③，此時有xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)，它們的計算可由下式得到：

（2）對面積②，它由兩條線段交叉形成，而線段的端點已知，因此可以先計算出交點坐標(biāo)，再分別計算兩個三角形的面積，于是得到：

由此，可以得到兩任意灰序列Xi與Xj的拆線圖所圍成的面積Sij，其計算方式為：

其中，當(dāng)序列對應(yīng)項滿足xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)時按式①計算，其他情況按式②計算。

3.2 灰色絕對關(guān)聯(lián)度與灰色相對關(guān)聯(lián)度

實際上灰色絕對關(guān)聯(lián)度與灰色相對關(guān)聯(lián)度的差異在于是否先對序列作初值化處理，故在此只給出計算灰色絕對關(guān)聯(lián)度的算法。

步驟1計算序列的始點零化像和；

步驟2 計算|si|和|sj|；

步驟3計算sij；

若要計算灰色相對關(guān)聯(lián)度，只需在算法最前面加上一步計算原始序列的初值像即可。

3.3 灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度

根據(jù)劉思峰教授在文獻[1]中所給灰色接近性關(guān)聯(lián)度與灰色相似關(guān)聯(lián)度的計算公式，不難得出這兩種關(guān)聯(lián)度的計算新方法。

對于灰色相似性關(guān)聯(lián)度，計算方法和公式與灰色接近性關(guān)聯(lián)度類似，只不過應(yīng)當(dāng)先計算系統(tǒng)行為序列的始點零化像。后面的計算都是針對始點零化像來做的，在此不再贅述。

有了上面對各類灰色關(guān)聯(lián)度的新算法，在實際應(yīng)用中，依據(jù)序列的幾何形狀進行聚類或進行決策分析等時則選用灰色相似性關(guān)聯(lián)度；若要依據(jù)序列的空間位置關(guān)系進行聚類、決策等時則可選用灰色接近性關(guān)聯(lián)度。

4 計算實例

例4.1序列數(shù)據(jù)如例2.1所示，計算它們的灰色絕對關(guān)聯(lián)度、灰色相對關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。

解：系統(tǒng)原始行為序列為X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，很明顯，它們的初值化像與原始序列相同，它們經(jīng)始點零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)。

因此這兩個序列間的各種關(guān)聯(lián)度分別為：

灰色絕對關(guān)聯(lián)度：

灰色相對關(guān)聯(lián)度：由于兩序列的初值化像與原始序列相同，故它們的灰色相對關(guān)聯(lián)度等于灰色絕對關(guān)聯(lián)度。

灰色接近性關(guān)聯(lián)度：

灰色相似性關(guān)聯(lián)度：

從這些結(jié)果來看，它們與例2.1的計算結(jié)果是完全不相同的。從灰色絕對關(guān)聯(lián)度大小來看，說明兩序列間存在一定的關(guān)聯(lián)性；而從灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度來看，則說明兩序列既不接近也不相似。因此，在實際做聚類分析、決策分析時應(yīng)當(dāng)根據(jù)實際要分析的目標(biāo)選取統(tǒng)一的關(guān)聯(lián)度來分析，不能有的選用灰色絕對關(guān)聯(lián)度，有的選擇灰色接近性關(guān)聯(lián)等。

5 結(jié)束語

灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析是近幾年來灰色系統(tǒng)理論研究中最活躍的分支之一，其關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果直接影響到系統(tǒng)聚類、決策分析、灰色預(yù)測模型的建立等各個方面。本文對劉思峰教授提出的經(jīng)典廣義灰色關(guān)聯(lián)度及新提出的灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度提出了部分改進算法，通過實例分析發(fā)現(xiàn)，改進算法比原算法更貼近實際應(yīng)用目的。但是這些關(guān)聯(lián)度的計算仍然還有很多工作要做。

（1）對于采用本文提出的方法計算灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度，由于以序列拆線所圍面積直接參與計算，可能會出現(xiàn)得到的關(guān)聯(lián)度相對偏小的情況，因此，是否可以通過對Sij和sij進行開方運算、取算術(shù)平均等方式讓計算結(jié)果更直觀，實際應(yīng)用中到底取哪種更合適。

（2）對于灰色接近性關(guān)聯(lián)度的研究，很多學(xué)者比較統(tǒng)一的觀點是接近性反映的是序列的接近程度，因此可以通過拆線所圍面積或者直接通過序列對應(yīng)點的差值（點距）來計算；然而對于相似性關(guān)聯(lián)度來說，到底什么才算相似，有學(xué)者提出：對系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))和Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，若存在常數(shù)α(≠0)和β，使得xj(k)=αxi(k)+β，則認為兩序列完全相似（以絕對值方式計算，相似性關(guān)聯(lián)度為1），那如果是這樣，序列X1=(1,3,5,7)與X2=(7,5,3,1)就完全相似，因為有x2(k)=-x1(k)+8成立，同理，X1也與序列X3=(2,4,6,8)完全相似，因為有x3(k)=x1(k)+1成立；但是從實際圖形來看，這些拆線卻并不滿足有學(xué)者提出相似性關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)。事實上，X1和X2就好比上山和下山所做的功，上山和下山雖然道路相同，但是運動效果明顯不相似。那是否有必要對關(guān)聯(lián)度引入負相關(guān)的概念值得進一步研究。

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