楊占英,劉紅江
(1.中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)系,武漢430074;2.河南化工職業(yè)學(xué)院公共課教學(xué)部,鄭州450042)
雙代數(shù)是Hopf代數(shù)中的一個(gè)重要概念,許多學(xué)者對(duì)雙代數(shù)的概念和理論進(jìn)行了廣泛的研究,并且做了各種形式的推廣[1-2]。 Abdenacer Makhlouf和 Sergei Silvestrov給出了 Hom-雙代數(shù)的概念[3]。 Donald Yau 給出了擬三角Hom-雙代數(shù)的概念,討論了它們的一些性質(zhì)[4],并給出了李雙代數(shù)的一個(gè)等價(jià)條件[5]。 在此基礎(chǔ)上,我們把雙代數(shù)的一些性質(zhì)和文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論推廣到Hom-雙代數(shù),得到了Hom-雙代數(shù)的反對(duì)極和擬三角結(jié)構(gòu),并得出了兩個(gè)Hom-雙代數(shù)同構(gòu)的一個(gè)等價(jià)條件。
定義 1[3]:稱七元組 (V ,μ, α, η, Δ, β, ε)為一個(gè)Hom-雙代數(shù),是指該七元組滿足以下條件:(1) ( V ,μ, α, η) 是一個(gè)帶有單位元 η 的Hom-結(jié)合代數(shù);(2) ( V , Δ, β , ε) 是 一個(gè)帶有余單位 ε 的Hom-余結(jié)合余代數(shù);(3)線性映 射 Δ、 ε、 μ是相容 的,即Δ(e1) = e1? e1,e1=η (1 ), ε( μ( x ? y ) ) = ε( x) ε (y),ε( e1) = 1 , Δ( μ( x ? y ) ) = Δ ( x ) Δ(y )= μ ( x1?y1)?μ( x2?y2)。
定義 2[4]:稱七元組 ( A, μ, Δ, η, α,c, R)為一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù),是指該七元組滿足如下條件:(1) ( A, μ, Δ, α, c )是一個(gè)有弱單位元 c 的Hom-雙代數(shù);(2) R ∈A?A, R12=R?c , R23=c?R,R13=(τ?id)(R23),(Δ ?α) ( R) = R13R23,(τ ? Δ(x)) R=RΔ(x)。
在本文中,我們假設(shè) k 是一個(gè)域,所有代數(shù)、余代數(shù)、向量空間、張量積和線性映射都是定義在域 k 上的。在以下的證明和推導(dǎo)中,我們采用文獻(xiàn)[1]的余乘符號(hào),即對(duì)于余代數(shù) C 及任意的 c ∈C,記 Δ ( c ) = ∑ c1?c2,其中 c1和 c2∈C 。 在下文中,常常省略和號(hào),記作Δ( c )= c1? c2。 設(shè) V 和 W 是 兩個(gè)向量空間,τ:V?W→W?V 是 一個(gè)k -線性映射,記τ (v ? w )=w ? v,其中v∈V,w ∈W。
下面我們討論Hom-雙代數(shù)的反對(duì)極和擬三角結(jié)構(gòu),并給出Hom-雙代數(shù)同構(gòu)的等價(jià)條件。
命題1:設(shè) ( V ,μ, α, η, Δ, β, ε, S)是帶有反對(duì)極S的Hom-Hopf代數(shù),則有S ?α(x y ) = S ?α ( y) S ?α(x)和 Δ?(α ? S ) = τ ?(α ? S ? α ? S )? Δ成立。
證明:因?yàn)镾 ?α(x y ) = S ?α( x1y1) ε(x2)ε(y2)=S ?α(x1y1) ε( y2) x21S ( x22) = S ?α(x1y1) ε(y2) x2S ( x3)=S ?α(x1y1) x2y2S ( y3) S( x3) = S ?α(x11y11) x12y12S ( y2)S( x2) = S ? α((x1y1)1) (x1y1)2S ? α ( y2) S ? α(x2) = ε(x1y1)S ? α(y2) S ? α ( x2) = S ? α(y) S ? α(x),所以有S?α( x y)= S ? α ( y ) S ? α(x)成立。
因?yàn)棣?(α ? S ) (x) = Δ?(α ? S ) (x2)ε( x1) = (α ?S( x2) )1? ε( x1) (α ? S( x2) )2=(α ?S( x2) )1?S( x11) x12(α ?S( x2))2=(α ?S( x3) )1?S( x1) x2(α ?S( x3))2=ε( x2)(α ? S( x4) )1?S( x1) x3( α ? S( x4) )2=S( x2) x3(α ?S( x5) )1?S( x1) x4( α ?S( x5) )2=S( x2) x31( α ?S( x4) )1?S( x1) x32( α ?S( x4) )2=S( x2)x31α ((S( x4))1) ? S( x1) x32α((S( x4) )2) = S( x2) x31α ((S( x4) )1) ? S( x1) x32α ((S( x4) )2)=α?S( x2) x31( S( x4)1) ? α?S( x1) x32( S( x4) )2=α?S( x2)(x3S ( x4) )1?α?S( x1) (x3S ( x4) )2=α?S( x2) ε(x3)?α?S( x1) = α ? S ( x2) ? α ? S ( x1) = τ ?(α ? S ? α ? S ) ? Δ(x),所以有 Δ ?(α ? S ) = τ ?(α ? S ? α ? S )? Δ成立。
命題2:若 (H , μ, Δ, α,c, R)是一個(gè)擬余可換Hom-雙代數(shù),其中 c 是Hom-結(jié)合代數(shù) ( H ,μ, α)的弱單位元,R ∈ H?H,則有下面結(jié)論成立:
1)(H , μop, Δ, α, c , R-1), ( H ,μ, Δop,α, c , R-1)和(H,μ, Δop,α, c , τ(R))也是擬余可換Hom-雙代數(shù)。
2)如果 ( H , μ, Δ, α,c, R)是一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù),那么 ( H ,μ, Δop,α, c , τ (R))也是擬三角Hom-雙代數(shù)。
證明:1)先證明 ( H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一個(gè)Hom-雙代數(shù),即證 ( H ,μop,α) 是Hom-結(jié)合代數(shù),(H,Δ, α)是Hom-余結(jié)合余代數(shù),且 Δ 、 μop是相容的; 再證明Hom-雙代數(shù) ( H , μop,Δ, α, c , R-1)滿足擬余可換條件。
因?yàn)?(H ,Δ, α)是Hom-結(jié)合代數(shù),所以對(duì)任意的x 、 y 、 z ∈H , 有α ( x ) y z = xyα ( z ),α ( x y) =α( x ) α (y)。由 α ? μop(x ? y ) = α ( y x ) = α (y ) α ( x )=μop?(α ? α ) ( x ? y ) μop?(α ? μop)(x ? y ? z) = zyα (x)=α( z ) y x = μop?(μop? α )(x ? y ? z ))可知,(H,μop,α)是一個(gè)Hom-結(jié)合代數(shù)。
(H ,Δ, α)顯然是Hom-余結(jié)合余代數(shù)。因?yàn)棣? μop(x ? y) ) = Δ ( y ) Δ( x ) = μop(x1?y1) ? μop(x2?y2),所以 Δ 和 μop是相容的。
因?yàn)?Δop(x) = R Δ ( x ) R-1,所以在(H , μop, Δ , α ,c, R-1)中 ,擬余可換條件 Δop(x) = R-1Δ(x) R是成立的,因此 (H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一個(gè)擬余可換的Hom-雙代數(shù)。
同樣可以證明 ( H , μ , Δop,α , c, R-1)和(H ,μ, Δop,α, c ,τ(R))都是擬余可換Hom-雙代數(shù)。
2)由結(jié)論 1)可知, ( H,μ, Δop,α, c , τ(R))是擬余可換Hom-雙代數(shù),現(xiàn)在只需驗(yàn)證 R 滿足擬三角條件。
設(shè)R = si?ti∈ H ? H , 則由已知條件可知, R 滿足 擬 三 角 條 件 , 即(α ?Δop)(τ( R ) ) =? α (s)? j α( sj) ? titj,故有(α ? Δop)(τ( R ) ) = titj? α (sj)?α(si) = (τ(R ) )13( τ(R))12。 因?yàn)?α ? Δ) R = R13R12=sjsi? α ( ti) ? α (tj),所以(Δop? α)(τ( R ) ) = α (ti)?α(tj) ? sjsi=(τ( R ) )13( τ(R))23。 綜合以上證明過程,可知 ( H ,μ, Δop,α, c , τ(R))是一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù)。
命題 3:設(shè) (H ,μH, ηH, ΔH, εH)和(G,μG, ηG, ΔG,εG)是兩個(gè)雙代數(shù),線性映射 α : H → H 和 β:G→G是雙代數(shù)同態(tài)映射, β 和 β ? β 是 單射,Hα=(H , μα=α ? μH,Δα=ΔH?α, α),Gβ= ( G,μβ= β ?μG, Δβ= ΔG?β, β), 則以下兩個(gè)結(jié)論是等價(jià)的:1)Hom-雙代數(shù) Hα和 Hom-雙代數(shù) Gβ同構(gòu);2)存在一個(gè)雙代數(shù)同構(gòu) r : H →G , 使得 rα =βr。
證明:由結(jié)論2)可以得出結(jié)論1)是顯然的,現(xiàn)在證明由結(jié)論1)可以得出結(jié)論2)。
設(shè)r: Hα→Gβ是Hom-雙代數(shù)同構(gòu),則存在雙射使得 rα =βr成立。
下面證明 r 是雙代數(shù)同態(tài),即 r 既是代數(shù)同態(tài)又是余代數(shù)同態(tài)。
由于 r 是Hom-結(jié)合代數(shù)同態(tài),故有μβ?(r ?r)= r ? μα, r α=β r , 因 而 , 對(duì) 任 意 的 x 、 y∈H,有μβ(r ? r)( x ? y) = β ? μG( r( x) ? r ( y) ) = β(r( x) r( y ))rμα(x ? y) = r α μH(x ? y) = r α ( x y) = β r( x y)。又由于 β 是單射,故有 r ( x y) = r( x) r( y),即 r 是代數(shù)同態(tài)。
因?yàn)?r 是Hom-余結(jié)合余代數(shù)同態(tài),所以有Δβ?r = ( r ? r )?Δα, r α=β r , 故有(β ? β ) (r ?r)?ΔH(x) = (β r ? β r ) ? ΔH(x) = (r α ? r α ) ? ΔH(x )=(r ? r ) (α ? α ) ? ΔH( x) = (r ? r ) ? Δα( x) = Δβ?r( x)== (β ? β ) ? ΔG?r ( x )。 又因?yàn)?β ? β 是單射,所以(r ? r) ? ΔH( x) = ΔG?r ( x ),即 r 是余代數(shù)同態(tài)。
綜上所述,可知存在一個(gè)雙代數(shù)同構(gòu) r : H→G,使得 rα =βr。
[1] SWEEDLER M E.Hopf Algebras[M].New York:Benjamin,1969:1-48.
[2] KASSEL C.Quantum Groups[M].New York:Springer-Verlag,1995:368-381.
[3] MAKHLOUF A,SILVESTROV S D.Hom-algebras and Hom-coalgebras[J].Journal of Algebra and Its Applications,2010,9(4):553-589.
[4] YAU D.Hom-quantum Groups I:Quasi-triangular Hombialgebras[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2009,45(6):1-21.
[5] YAU D.The Classical Hom-Yang-Baxter Equation and Hom-Lie Bialgebras[J].MathematicalPhysics,2009,5(12):1-22.