楊占英，劉紅江

（1.中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)系，武漢430074；2.河南化工職業(yè)學(xué)院公共課教學(xué)部，鄭州450042）

雙代數(shù)是Hopf代數(shù)中的一個(gè)重要概念，許多學(xué)者對(duì)雙代數(shù)的概念和理論進(jìn)行了廣泛的研究，并且做了各種形式的推廣［1-2］。 Abdenacer Makhlouf和 Sergei Silvestrov給出了 Hom-雙代數(shù)的概念［3］。 Donald Yau 給出了擬三角Hom-雙代數(shù)的概念，討論了它們的一些性質(zhì)［4］，并給出了李雙代數(shù)的一個(gè)等價(jià)條件［5］。 在此基礎(chǔ)上，我們把雙代數(shù)的一些性質(zhì)和文獻(xiàn)［5］中的結(jié)論推廣到Hom-雙代數(shù)，得到了Hom-雙代數(shù)的反對(duì)極和擬三角結(jié)構(gòu)，并得出了兩個(gè)Hom-雙代數(shù)同構(gòu)的一個(gè)等價(jià)條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1［3］：稱七元組 (V ,μ, α, η, Δ, β, ε)為一個(gè)Hom-雙代數(shù)，是指該七元組滿足以下條件：（1） ( V ,μ, α, η) 是一個(gè)帶有單位元 η 的Hom-結(jié)合代數(shù)；（2） ( V , Δ, β , ε) 是 一個(gè)帶有余單位 ε 的Hom-余結(jié)合余代數(shù)；（3）線性映 射 Δ、 ε、 μ是相容 的，即Δ(e1) = e1? e1，e1=η (1 )， ε( μ( x ? y ) ) = ε( x) ε (y)，ε( e1) = 1 ， Δ( μ( x ? y ) ) = Δ ( x ) Δ(y )= μ ( x1?y1)?μ( x2?y2)。

定義 2［4］：稱七元組 ( A, μ, Δ, η, α,c, R)為一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù)，是指該七元組滿足如下條件：（1） ( A, μ, Δ, α, c )是一個(gè)有弱單位元 c 的Hom-雙代數(shù)；（2） R ∈A?A， R12=R?c ， R23=c?R，R13=(τ?id)(R23)，(Δ ?α) ( R) = R13R23，(τ ? Δ(x)) R=RΔ(x)。

在本文中，我們假設(shè) k 是一個(gè)域，所有代數(shù)、余代數(shù)、向量空間、張量積和線性映射都是定義在域 k 上的。在以下的證明和推導(dǎo)中，我們采用文獻(xiàn)［1］的余乘符號(hào)，即對(duì)于余代數(shù) C 及任意的 c ∈C，記 Δ ( c ) = ∑ c1?c2，其中 c1和 c2∈C 。 在下文中，常常省略和號(hào)，記作Δ( c )= c1? c2。 設(shè) V 和 W 是 兩個(gè)向量空間，τ:V?W→W?V 是 一個(gè)k -線性映射，記τ (v ? w )=w ? v，其中v∈V，w ∈W。

2 主要結(jié)論

下面我們討論Hom-雙代數(shù)的反對(duì)極和擬三角結(jié)構(gòu)，并給出Hom-雙代數(shù)同構(gòu)的等價(jià)條件。

命題1：設(shè) ( V ,μ, α, η, Δ, β, ε, S)是帶有反對(duì)極S的Hom-Hopf代數(shù)，則有S ?α(x y ) = S ?α ( y) S ?α(x)和 Δ?(α ? S ) = τ ?(α ? S ? α ? S )? Δ成立。

證明：因?yàn)镾 ?α(x y ) = S ?α( x1y1) ε(x2)ε(y2)=S ?α(x1y1) ε( y2) x21S ( x22) = S ?α(x1y1) ε(y2) x2S ( x3)=S ?α(x1y1) x2y2S ( y3) S( x3) = S ?α(x11y11) x12y12S ( y2)S( x2) = S ? α((x1y1)1) (x1y1)2S ? α ( y2) S ? α(x2) = ε(x1y1)S ? α(y2) S ? α ( x2) = S ? α(y) S ? α(x)，所以有S?α( x y)= S ? α ( y ) S ? α(x)成立。

因?yàn)棣?(α ? S ) (x) = Δ?(α ? S ) (x2)ε( x1) = (α ?S( x2) )1? ε( x1) (α ? S( x2) )2=(α ?S( x2) )1?S( x11) x12(α ?S( x2))2=(α ?S( x3) )1?S( x1) x2(α ?S( x3))2=ε( x2)(α ? S( x4) )1?S( x1) x3( α ? S( x4) )2=S( x2) x3(α ?S( x5) )1?S( x1) x4( α ?S( x5) )2=S( x2) x31( α ?S( x4) )1?S( x1) x32( α ?S( x4) )2=S( x2)x31α ((S( x4))1) ? S( x1) x32α((S( x4) )2) = S( x2) x31α ((S( x4) )1) ? S( x1) x32α ((S( x4) )2)=α?S( x2) x31( S( x4)1) ? α?S( x1) x32( S( x4) )2=α?S( x2)(x3S ( x4) )1?α?S( x1) (x3S ( x4) )2=α?S( x2) ε(x3)?α?S( x1) = α ? S ( x2) ? α ? S ( x1) = τ ?(α ? S ? α ? S ) ? Δ(x)，所以有 Δ ?(α ? S ) = τ ?(α ? S ? α ? S )? Δ成立。

命題2：若 (H , μ, Δ, α,c, R)是一個(gè)擬余可換Hom-雙代數(shù)，其中 c 是Hom-結(jié)合代數(shù) ( H ,μ, α)的弱單位元，R ∈ H?H，則有下面結(jié)論成立：

1）(H , μop, Δ, α, c , R-1)， ( H ,μ, Δop,α, c , R-1)和(H,μ, Δop,α, c , τ(R))也是擬余可換Hom-雙代數(shù)。

2）如果 ( H , μ, Δ, α,c, R)是一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù)，那么 ( H ,μ, Δop,α, c , τ (R))也是擬三角Hom-雙代數(shù)。

證明：1）先證明 ( H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一個(gè)Hom-雙代數(shù)，即證 ( H ,μop,α) 是Hom-結(jié)合代數(shù)，(H,Δ, α)是Hom-余結(jié)合余代數(shù)，且 Δ 、 μop是相容的； 再證明Hom-雙代數(shù) ( H , μop,Δ, α, c , R-1)滿足擬余可換條件。

因?yàn)?(H ,Δ, α)是Hom-結(jié)合代數(shù)，所以對(duì)任意的x 、 y 、 z ∈H ， 有α ( x ) y z = xyα ( z )，α ( x y) =α( x ) α (y)。由 α ? μop(x ? y ) = α ( y x ) = α (y ) α ( x )=μop?(α ? α ) ( x ? y ) μop?(α ? μop)(x ? y ? z) = zyα (x)=α( z ) y x = μop?(μop? α )(x ? y ? z ))可知，(H,μop,α)是一個(gè)Hom-結(jié)合代數(shù)。

(H ,Δ, α)顯然是Hom-余結(jié)合余代數(shù)。因?yàn)棣? μop(x ? y) ) = Δ ( y ) Δ( x ) = μop(x1?y1) ? μop(x2?y2)，所以 Δ 和 μop是相容的。

因?yàn)?Δop(x) = R Δ ( x ) R-1，所以在(H , μop, Δ , α ,c, R-1)中 ，擬余可換條件 Δop(x) = R-1Δ(x) R是成立的，因此 (H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一個(gè)擬余可換的Hom-雙代數(shù)。

同樣可以證明 ( H , μ , Δop,α , c, R-1)和(H ,μ, Δop,α, c ,τ(R))都是擬余可換Hom-雙代數(shù)。

2）由結(jié)論 1）可知， ( H,μ, Δop,α, c , τ(R))是擬余可換Hom-雙代數(shù)，現(xiàn)在只需驗(yàn)證 R 滿足擬三角條件。

設(shè)R = si?ti∈ H ? H ， 則由已知條件可知， R 滿足 擬 三 角 條 件 ， 即(α ?Δop)(τ( R ) ) =? α (s)? j α( sj) ? titj，故有(α ? Δop)(τ( R ) ) = titj? α (sj)?α(si) = (τ(R ) )13( τ(R))12。 因?yàn)?α ? Δ) R = R13R12=sjsi? α ( ti) ? α (tj)，所以(Δop? α)(τ( R ) ) = α (ti)?α(tj) ? sjsi=(τ( R ) )13( τ(R))23。 綜合以上證明過程，可知 ( H ,μ, Δop,α, c , τ(R))是一個(gè)擬三角Hom-雙代數(shù)。

命題 3：設(shè) (H ,μH, ηH, ΔH, εH)和(G,μG, ηG, ΔG,εG)是兩個(gè)雙代數(shù)，線性映射 α : H → H 和 β:G→G是雙代數(shù)同態(tài)映射， β 和 β ? β 是 單射，Hα=(H , μα=α ? μH,Δα=ΔH?α, α)，Gβ= ( G,μβ= β ?μG, Δβ= ΔG?β, β)， 則以下兩個(gè)結(jié)論是等價(jià)的：1）Hom-雙代數(shù) Hα和 Hom-雙代數(shù) Gβ同構(gòu)；2）存在一個(gè)雙代數(shù)同構(gòu) r : H →G ， 使得 rα =βr。

證明：由結(jié)論2）可以得出結(jié)論1）是顯然的，現(xiàn)在證明由結(jié)論1）可以得出結(jié)論2）。

設(shè)r: Hα→Gβ是Hom-雙代數(shù)同構(gòu)，則存在雙射使得 rα =βr成立。

下面證明 r 是雙代數(shù)同態(tài)，即 r 既是代數(shù)同態(tài)又是余代數(shù)同態(tài)。

由于 r 是Hom-結(jié)合代數(shù)同態(tài)，故有μβ?(r ?r)= r ? μα， r α=β r ， 因 而 ， 對(duì) 任 意 的 x 、 y∈H，有μβ(r ? r)( x ? y) = β ? μG( r( x) ? r ( y) ) = β(r( x) r( y ))rμα(x ? y) = r α μH(x ? y) = r α ( x y) = β r( x y)。又由于 β 是單射，故有 r ( x y) = r( x) r( y)，即 r 是代數(shù)同態(tài)。

因?yàn)?r 是Hom-余結(jié)合余代數(shù)同態(tài)，所以有Δβ?r = ( r ? r )?Δα， r α=β r ， 故有(β ? β ) (r ?r)?ΔH(x) = (β r ? β r ) ? ΔH(x) = (r α ? r α ) ? ΔH(x )=(r ? r ) (α ? α ) ? ΔH( x) = (r ? r ) ? Δα( x) = Δβ?r( x)== (β ? β ) ? ΔG?r ( x )。 又因?yàn)?β ? β 是單射，所以(r ? r) ? ΔH( x) = ΔG?r ( x )，即 r 是余代數(shù)同態(tài)。

綜上所述，可知存在一個(gè)雙代數(shù)同構(gòu) r : H→G，使得 rα =βr。

［1］ SWEEDLER M E.Hopf Algebras［M］.New York：Benjamin,1969：1-48.

［2］ KASSEL C.Quantum Groups［M］.New York：Springer-Verlag,1995：368-381.

［3］ MAKHLOUF A,SILVESTROV S D.Hom-algebras and Hom-coalgebras［J］.Journal of Algebra and Its Applications,2010,9（4）：553-589.

［4］ YAU D.Hom-quantum Groups I：Quasi-triangular Hombialgebras［J］.Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical,2009,45（6）：1-21.

［5］ YAU D.The Classical Hom-Yang-Baxter Equation and Hom-Lie Bialgebras［J］.MathematicalPhysics,2009,5（12）：1-22.