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探索性因子分析中主軸法下的平行分析

高石1，楊莉萍1*，白福寶2

(1.南京師范大學(xué)心理學(xué)院，南京 210097；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)人文社會(huì)科學(xué)學(xué)院，合肥 230036)

摘要：在探索性因子分析中，決定因子的提取數(shù)至關(guān)重要。平行分析是確定因子提取數(shù)較為常用的方法。目前國(guó)內(nèi)的心理學(xué)研究較多使用主成分方法下的平行分析，對(duì)主軸方法下的平行分析則鮮有論及。本研究介紹了主軸方法下平行分析的原理，并以具體實(shí)例說(shuō)明了該方法在心理統(tǒng)計(jì)中的具體運(yùn)用，希望藉此解決以傳統(tǒng)方法確定因子提取數(shù)所存在的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：探索性因子分析；主軸法；平行分析

1以傳統(tǒng)方法確定因子提取數(shù)存在的問(wèn)題

因子分析是目前使用最為廣泛的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。它是用少數(shù)幾個(gè)因子來(lái)描述許多指標(biāo)或變量間的聯(lián)系，在某一事物所蘊(yùn)含的眾多變量中尋找能夠描述該事物的幾個(gè)潛變量(或因子)的統(tǒng)計(jì)方法。該方法最早于1904由英國(guó)心理學(xué)家斯皮爾曼在研究智力結(jié)構(gòu)時(shí)提出。其發(fā)表的論文《客觀決定和測(cè)量一般智力》(General Intelligence，Objectively Determined and Measured)被視為因子分析方法誕生的標(biāo)志。然而，在使用因子分析方法的過(guò)程中，確定因子提取的個(gè)數(shù)一直是個(gè)比較棘手但又至關(guān)重要的問(wèn)題。有研究者認(rèn)為，它可能比因子提取和因子旋轉(zhuǎn)方式的選擇更為重要。

目前確定因子提取個(gè)數(shù)最為常用的方法是特征值大于1準(zhǔn)則和Cattell陡階檢驗(yàn)(又稱碎石圖檢驗(yàn))。這兩種方法之所以常用，可能在于它們是SPSS的默認(rèn)選項(xiàng)。然而這些方法自身存在一定的局限性。對(duì)于特征值大于1準(zhǔn)則而言，Hayton(2004)提出存在三種批評(píng)：首先，運(yùn)用特征值大于1準(zhǔn)則將得到總體相關(guān)矩陣的秩(the rank of population correlation matrix)的下限(Guttman，1954)。相關(guān)矩陣的秩等同于最小抽取的因子個(gè)數(shù)。因此，在實(shí)際操作中，我們將其視為抽取因子數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)并不合理。其次，這一準(zhǔn)則適用于總體相關(guān)矩陣，而在實(shí)際操作中，由于抽取的是樣本，抽樣誤差往往會(huì)增加矩陣的秩，導(dǎo)致所抽取的因子數(shù)過(guò)多(Horn，1965)。第三，研究者有時(shí)會(huì)面臨特征值略高或略低于1的情況。在使用這一規(guī)則時(shí)，常常表現(xiàn)得武斷(Fabrigar et al.，1999)。當(dāng)前在SPSS中，無(wú)論使用哪一種因子提取方法，都使用特征值大于1的準(zhǔn)則。而有研究者指出，這一準(zhǔn)則只適用于主成分分析，在主軸法中是不適用的(Russell，2002)。對(duì)于Cattell陡階檢驗(yàn)，因其主觀性和武斷性，所遭受的批評(píng)更多。例如，在特征值之間不存在明顯突變(break)時(shí)，很難確定適當(dāng)?shù)囊蜃犹崛?shù)。

2基于主軸因子法的平行分析原理

在眾多確定因子提取數(shù)的方法之中，平行分析(Parallel Analysis)是較為理想的方法之一。該方法是由Horn(1965)提出的平行檢驗(yàn)方法發(fā)展而來(lái)。平行分析基于對(duì)矩陣特征值的計(jì)算與比較，通過(guò)比較真實(shí)數(shù)據(jù)矩陣與隨機(jī)數(shù)據(jù)矩陣特征值的平均值或第95百分位數(shù)來(lái)決定因子的取舍(Russell，2002)。比較均值或是第95百分位數(shù)的結(jié)果通常具有一致性。假如出現(xiàn)不一致，則比較第95百分位數(shù)可以避免選取因子數(shù)過(guò)多(Hayton，2004)。因此，平行分析的關(guān)鍵在于矩陣特征值的計(jì)算。

目前探索性因子分析主要采用兩種方法：主成分分析法和主軸因子法。在使用這兩種方法時(shí)，特征值計(jì)算所依據(jù)的矩陣有所不同，分別為相關(guān)矩陣和約相關(guān)矩陣。相關(guān)矩陣通常表示為R，約相關(guān)矩陣通常表示為R*(方便起見(jiàn)，以下直接使用R和R*表示)，由此產(chǎn)生相對(duì)應(yīng)的兩組特征值，即R的特征值和R*的特征值(顏鐵成，2007)。這里R與R*的區(qū)別在于矩陣對(duì)角線元素。前者對(duì)角線元素均為1，后者的對(duì)角線元素則可采用多種方法進(jìn)行估計(jì)，例如最大相關(guān)法(max|r|)，參照析因迭代法(iteration by refactoring)，復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方(squared multiple correlation，簡(jiǎn)稱SMC)等(王權(quán)，1993)。此外，Widaman(1985)提出，可用復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方作為初始估計(jì)，通過(guò)不斷迭代，使用最小二乘法來(lái)估計(jì)矩陣的對(duì)角線元素。

主成分分析是依據(jù)R的特征值進(jìn)行，其假定所有觀測(cè)變量的方差都能為公因子所解釋，即公因子方差為1。而主軸因子法則是基于R*的特征值進(jìn)行的，其假定所有觀測(cè)變量的方差不一定完全被公因子所解釋，公因子方差不一定是1?；绢A(yù)設(shè)不同原本是主成分分析與主軸因子法之間的一個(gè)重要區(qū)別(孫曉軍，周宗奎，2009)。但在實(shí)際運(yùn)用中，無(wú)論是采用主成分分析還是主軸因子法，SPSS所給出的特征值都是基于主成分分析法所得到的特征值(顏鐵成，2007)。有研究者比較這兩組特征值的大小，發(fā)現(xiàn)R矩陣的特征值通常要比R*的特征值要大(顏鐵成，2007)。因此，在采用主軸因子方法的前提下，根據(jù)SPSS所輸出的特征值來(lái)進(jìn)行平行分析是不合理的。

主軸法下平行分析的做法應(yīng)該是：首先對(duì)約相關(guān)矩陣R*的主對(duì)角線元素進(jìn)行估計(jì)，產(chǎn)生真實(shí)數(shù)據(jù)的約相關(guān)矩陣R*的估計(jì)矩陣，以此計(jì)算出對(duì)應(yīng)的特征值。再按照相同過(guò)程計(jì)算出隨機(jī)矩陣的約相關(guān)矩陣R*的特征值。隨機(jī)矩陣的被試人數(shù)和變量數(shù)要求與真實(shí)矩陣相同。因?yàn)樘卣髦荡砹艘蜃铀忉尩淖儺?，通過(guò)比較真實(shí)數(shù)據(jù)的特征值與隨機(jī)數(shù)據(jù)的特征值可以決定因子的取舍。當(dāng)從真實(shí)數(shù)據(jù)中抽取的因子所解釋的變異比從模擬的隨機(jī)數(shù)據(jù)中抽取的相應(yīng)因子所解釋的變異大時(shí)，應(yīng)保留該因子，否則當(dāng)舍棄。

以下擬借助一個(gè)實(shí)例，說(shuō)明在主軸因子法下應(yīng)如何正確使用平行分析。

3基于主軸因子法的平行分析實(shí)例

3.1工具性軟件

實(shí)現(xiàn)平行分析的具體方法有很多，例如在SPSS、SAS中通過(guò)編寫程序語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)(Oconnor，2000)，或使用具有平行分析功能的軟件Vista(The Visual Statistics System)(Young，2003)等。前者所涉及的軟件雖具有較高的普及性，但編寫程序語(yǔ)言并非易事。盡管已經(jīng)有研究者公布了這一實(shí)現(xiàn)過(guò)程的程序語(yǔ)言，然而對(duì)于一般的初學(xué)者，仍然很不方便。因此，本研究選擇采用第二種方法。Vista是由北卡羅來(lái)納州大學(xué)教堂山分校教授Young及其學(xué)生歷時(shí)10年開(kāi)發(fā)的一種可視化統(tǒng)計(jì)分析軟件。該軟件是公開(kāi)、免費(fèi)的，可以直接從開(kāi)發(fā)者的網(wǎng)站下載。軟件的安裝、運(yùn)行、導(dǎo)入數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)等一系列操作均在可視化操作界面上完成，易于掌握。

3.2數(shù)據(jù)來(lái)源

本案所使用的數(shù)據(jù)來(lái)自一項(xiàng)對(duì)大學(xué)生公正感的問(wèn)卷調(diào)查研究。該研究在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)規(guī)范的量表編制程序，編制了與大學(xué)生公正感有關(guān)的特質(zhì)公正感問(wèn)卷，來(lái)了解大學(xué)生公正感的基本情況。該問(wèn)卷采用自陳方式，共包含24個(gè)題項(xiàng)，從“1-非常不符合”到“5-非常符合”，共分五個(gè)等級(jí)計(jì)分。

本案采用分層隨機(jī)抽樣，在福建、浙江和江蘇3省的六所大學(xué)抽取大學(xué)生被試，共發(fā)放問(wèn)卷430份，回收有效問(wèn)卷409份，回收有效率為95.12%。信度檢驗(yàn)表明為，問(wèn)卷測(cè)量的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.882，達(dá)到顯著水平。

3.3統(tǒng)計(jì)處理

首先，使用SPSS16.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)的KMO測(cè)量值為0.860，處于0.80.9之間，表明適合作因子分析。本研究的主要目的在于提供如何在主軸法下進(jìn)行平行分析的樣本，因而選用主軸法來(lái)提取因子和計(jì)算特征值。表1是使用Vista對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平行分析得出的結(jié)果，同時(shí)根據(jù)表1結(jié)果繪制了圖1：

表1　真實(shí)樣本與隨機(jī)樣本的特征值比較

圖1　真實(shí)數(shù)據(jù)特征值與隨機(jī)數(shù)據(jù)特征值比較

從表1可以看出，真實(shí)數(shù)據(jù)特征值在第八個(gè)因子時(shí)大于隨機(jī)數(shù)據(jù)特征值的平均值，但小于95%分位值。根據(jù)前文提到的原則，比較隨機(jī)數(shù)據(jù)特征值第95百分位數(shù)，保留七個(gè)因子。同時(shí)應(yīng)參考這七個(gè)因子對(duì)方差的累積貢獻(xiàn)率以及經(jīng)旋轉(zhuǎn)后因子的可解釋性。如果這七個(gè)因子的方差貢獻(xiàn)率太低，則可考慮適當(dāng)多保留一些因子。圖1顯示，因子數(shù)在13以后出現(xiàn)了負(fù)值。這是因?yàn)楫?dāng)R的對(duì)角線元素被小于單位1的數(shù)取代后，比如，用變量的公共因素的估計(jì)值取代后，從理論上說(shuō)，矩陣的R的正定和半正定特性將得以保持。但在實(shí)際操作中，約相關(guān)矩陣R*并沒(méi)有保持正定和半正定性，此即會(huì)有負(fù)的特征值出現(xiàn)(王權(quán)，1993)。

在此需要說(shuō)明的是，由于對(duì)R*的對(duì)角線元素進(jìn)行估計(jì)有多種方法，因此采用不同的估計(jì)方法所算出的特征值會(huì)略有不同，但并不會(huì)對(duì)平行分析的結(jié)果產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響。本研究所使用的Vista在對(duì)R*對(duì)角線元素進(jìn)行估計(jì)時(shí)，采用的是前文提到的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方作為估計(jì)值，進(jìn)而計(jì)算出特征值。這一方法與前文提到的SPSS程序語(yǔ)言所使用的方法一致(Oconnor，2000)。另外，對(duì)于因子個(gè)數(shù)的保留問(wèn)題還應(yīng)參照其他標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行綜合判斷，即在遵守簡(jiǎn)約性原則與完備性原則的前提下，根據(jù)研究者前期的理論建構(gòu)、自身的專業(yè)知識(shí)及研究經(jīng)驗(yàn)綜合決定因子的取舍(沐守寬，顧海根，2011)。

致謝：感謝美國(guó)西北大學(xué)William.Revelle教授，愛(ài)荷華州立大學(xué)Daniel W.Russell教授以及南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系周宇給予本研究的指導(dǎo)和幫助。

參考文獻(xiàn)

沐守寬，顧海根.(2011).探索性因素分析因子抽取方法的比較.心理學(xué)探新，31(5)，477-484.

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Young，F(xiàn).W.(2003).Vista(The Visual Statistics System).[computer software] [on-line].Retrieved from http：//forrest.psych.unc.edu/research/index.html.

The Application of Parallel Analysis Based on(Using)the Principal

Axis Factoring in Exploratory Factor Analysis

Gao Shi1，Yang Liping1，Bai Fubao2

(1.School of Psychology，Nanjing Normal University，Nanjing 210097；

2.School of Humanities & Social Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036)

Abstract：The decision of how many factors to retain is a critical issue in exploratory factor analysis.Parallel analysis(PA)is one of the most commonly used methods.Present domestic studies have focused mainly on parallel analysis using principal component factoring(PA-PCF)，but parallel analysis using principal axis factoring(PA-PAF)is rarely found.In this article，the rationale of PA-PAF is introduced and the specific procedure of conducting PA-PAF in exploratory factor analysis by using raw data is presented in order to deal with the challenge of factor retention encountered in traditional methods.

Key words：exploratory factor analysis；principal axis factoring；parallel analysis

中圖分類號(hào)：B841.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5184(2015)05-0471-03

通訊作者：*楊莉萍，E-mail：lpy2908@yahoo.com.cn。