劉紅平

長沙師范學(xué)院 電子信息工程系，長沙 410100

1 引言

多關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)是一個多輸入多輸出、高度耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)。如果能夠得到描述機(jī)器人動力學(xué)的精確數(shù)學(xué)模型，那么計算力矩控制[1]就能夠有效地實現(xiàn)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制。然而，計算力矩控制必須事先精確獲得機(jī)器人的動力學(xué)模型的先驗知識。但在實際中，即使獲得一個較為理想的機(jī)器人動力學(xué)模型也是很困難的。經(jīng)典的PD控制不依賴系統(tǒng)模型，然而難以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。在系統(tǒng)模型未知的情況下，為實現(xiàn)機(jī)械手的高性能控制，通常在控制律中引入補(bǔ)償項，以消除不確定性因素的影響。傳統(tǒng)的控制方法由于控制精度低（如：PID控制）或缺乏魯棒性（如：計算轉(zhuǎn)矩控制）等原因，往往難以保證良好的動態(tài)性能。考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性逼近能力，可以補(bǔ)償各種非線性未建模動態(tài)的影響，因此，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法成為機(jī)械手智能控制的重要手段[2-6]。然而，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固有的缺乏泛化性和容易陷入局部極小的缺陷，在一定程度上限制了其應(yīng)用。支持向量機(jī)的提出，有效地解決了這一問題[7-10]。

支持向量機(jī)（SVM）是一種基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的學(xué)習(xí)機(jī)[10-14]，通過結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)則來提高泛化能力。相對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說，SVM具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，在訓(xùn)練中不存在陷入局部最優(yōu)和維數(shù)災(zāi)難問題，小樣本學(xué)習(xí)也具有很強(qiáng)的泛化能力。文獻(xiàn)[15]在標(biāo)準(zhǔn)的支持向量機(jī)基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的Lagrangian支持向量機(jī)（LSVM），并將其應(yīng)用到分類問題，實驗結(jié)果表明，Lagrangian支持向量機(jī)具有更快的計算速度[16-20]。

本文首先將Lagrangian支持向量機(jī)推廣應(yīng)用到回歸問題，學(xué)習(xí)過程采用梯投影法[21-23]；然后將Lagrangian支持向量機(jī)應(yīng)用于機(jī)械手的滑模控制。具體來說，首先通過Lagrangian支持向量機(jī)對機(jī)械手系統(tǒng)進(jìn)行非線性補(bǔ)償；然后進(jìn)一步在線調(diào)整參數(shù)，并增加一個滑模魯棒控制項來消除逼近誤差對跟蹤性能的影響。最后，通過仿真實現(xiàn)，驗證了以上控制方法的有效性。

2 Lagrangian支持向量機(jī)

2.1 LSVM分類

首先考慮標(biāo)準(zhǔn)的支持向量機(jī)分類（SVC），標(biāo)準(zhǔn)的二階范數(shù)軟間隔SVC形式為：

其中，w=(w1，w2，…，wm)T∈Rm，φ(?):Rn→Rm為非線性映射；b為截距，C為正則參數(shù)，ξi為松弛變量；((x1，y1)，(x2，y2)，…，(xl，yl))為給定的樣本集，l為樣本個數(shù)。其對偶問題為：

上述SVC的特點是：含有等式約束，且當(dāng)樣本不可分時的取值并不唯一。Lagrangian支持向量機(jī)是上述標(biāo)準(zhǔn)SVC的一種改進(jìn)，在目標(biāo)函數(shù)b2中增加了項，對應(yīng)的LSVC形式如下：

通過引入拉格朗日函數(shù)，可將以上問題求解轉(zhuǎn)化為如下對偶問題：

式（5）相對式（2）來說，沒有了等式約束。因此，使得對應(yīng)問題的求解相對簡單。設(shè)對偶問題（5）的最優(yōu)解為，則唯一的b*滿足以下條件：

這樣得到如下的判別函數(shù)：

2.2 LSVM回歸

為了能夠?qū)agrangian支持向量機(jī)（LSVM）應(yīng)用于函數(shù)逼近，將上述LSVM推廣應(yīng)用到回歸問題。首先定義Huber損失函數(shù)：

其中ε為不敏感參數(shù)。對于具有Huber損失函數(shù)的LSVR定義如下：

通過引入約束優(yōu)化問題（9）的拉格朗日函數(shù)，并利用KKT互補(bǔ)條件，得到其對偶問題為：

假定通過求解上述二次規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解，則相應(yīng)的回歸函數(shù)為：

得到的Lagrangian支持向量機(jī)回歸結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中xi為支持向量機(jī)的輸入，y為輸出；βi可以看作支持向量機(jī)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值。

圖1 LSVR結(jié)構(gòu)示意圖

3 LSVR的學(xué)習(xí)

本部分主要研究如何通過樣本學(xué)習(xí)獲得LSVR的未知參數(shù)βi。為獲得最優(yōu)參數(shù)，必須求解含約束的二次規(guī)劃問題（11）。首先將式（11）改寫為如下矩陣形式：

將采用如下梯度投影法求解參數(shù)β：

其中，βk為k時刻變量β所在位置，s＞0為學(xué)習(xí)步長。

下面，將研究參數(shù)學(xué)習(xí)過程的收斂性。對于由式（16）描述的迭代學(xué)習(xí)過程，有如下定理：

定理1設(shè)β*為二次規(guī)劃問題（12）的唯一最優(yōu)解，則當(dāng) 0＜s＜2/λmax時，迭代式（16）收斂于β*，其中λmax為矩陣A的最大特征值。

證明β*由于為式（12）的唯一最優(yōu)解，則β*必滿足最優(yōu)條件：

將式（16）（17）兩式相減，得：

設(shè)矩陣A的特征值為λi，i=1，2，…，l，要使得βk收斂于β*，必須有：

由此即可得 0＜s＜2/λmax時，βk收斂于β*，故得證。

4 機(jī)械手控制

在本章中，將把Lagrangian支持向量機(jī)回歸（LSVR）應(yīng)用于機(jī)械手系統(tǒng)的控制。對于具有n自由度的機(jī)械手，其動力學(xué)方程為：

其中，q∈Rn為關(guān)節(jié)角位移量，M(q)∈Rn×n為慣性矩陣，C(q，)∈Rn為向心力和哥氏力，G(q)∈Rn為重力矩，F(xiàn)()∈Rn為摩擦力，τ∈Rn為控制力矩。系統(tǒng)（20）具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1(q)-2C(q，)為反對稱矩陣，即：

性質(zhì)2慣性矩陣M(q)為有界的對稱正定矩陣，即存在m1，m2＞0使得：m1I≤M(q)≤m2I

在本文中，系統(tǒng)的控制目標(biāo)為使得關(guān)節(jié)輸出q(t)跟蹤參考輸出qd(t)。對應(yīng)跟蹤誤差為：

定義誤差函數(shù)：

其中，Λ為對稱正定矩陣，則

其中，Kv為對稱正定矩陣。當(dāng)f未知時，用支持向量機(jī)去學(xué)習(xí)f，用其估計值代替f。然而，由于估計誤差的存在，使得控制器（24）并不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須對控制律進(jìn)行修正。根據(jù)支持向量機(jī)回歸逼近理論，存在一個最佳逼近，使得：

其中Δ為有界的逼近誤差，W*為最佳逼近參數(shù)，K(x)為核函數(shù)。然而，在實際中通過有限樣本的學(xué)習(xí)難以精確獲得最佳參數(shù)，一般只能獲得參數(shù)的近似估計值，即

此時控制力矩為：

觀察上式，可以將其看作關(guān)于參數(shù)的含有結(jié)構(gòu)不確定性Δ(t)的模型。對于參數(shù)不確定性，設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)律，對于結(jié)構(gòu)不確定性，可在控制器式（28）的基礎(chǔ)上增加一個魯棒控制器。在設(shè)計魯棒控制器時，假設(shè)存在常數(shù)L＞0，使得有界的逼近誤差實際中，逼近誤差的界也常難以直接得到，因此，先給定L的一個估計值，然后再進(jìn)行在線調(diào)整。

綜合以上分析，實際的控制器由兩部分組成：

且對應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)律為：

圖2 LSVR控制器框圖

對于此控制器有如下定理：

定理2對于由式（20）描述的機(jī)械手系統(tǒng)，若系統(tǒng)控制器由式（29）～（33）確定，則閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明定義系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)：

對以上Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得：

故由Lyapunov穩(wěn)定性理論可得系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，定理得證。

5 仿真實例

以兩關(guān)節(jié)機(jī)械手為例，對本文提出的控制方法進(jìn)行仿真。考慮如圖3所示的二關(guān)節(jié)機(jī)器手系統(tǒng)，其動力學(xué)模型由式（20）描述，其中：

首先利用LSVM對系統(tǒng)進(jìn)行非線性補(bǔ)償，其中LSVM的正則參數(shù)C=5，高斯核函數(shù)中的寬度參數(shù)σ=2。實施控制時，相應(yīng)的控制參數(shù)取為：Kv=diag(15，10)，Λ=diag(5，5)，kL=0.5，Γ=10。所得到的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。另外，為突出跟蹤效果，將本文所提出的方法與經(jīng)典的PD控制方法進(jìn)行了對比，其中比例和微分系數(shù)的大小選擇與本文提出的控制器中誤差和誤差變化率的系數(shù)相同。跟蹤誤差比較效果如圖6和圖7所示。觀察仿真結(jié)果可知，本文設(shè)計的控制器實現(xiàn)了對參考信號的跟蹤，且比PD控制具有更好的跟蹤性能。這是因為本文提出控制器可以看作在PD控制器的基礎(chǔ)上增加了一個非線性前饋補(bǔ)償器，前饋補(bǔ)償能夠抵消系統(tǒng)非線性和不確定性的影響，有助于提高控制器的跟蹤性能。

圖3 兩關(guān)節(jié)機(jī)械手模型

圖4 第一關(guān)節(jié)的輸出q1(t)與參考輸出q1d(t)

圖5 第二關(guān)節(jié)的輸出q2(t)與參考輸出q2d(t)

圖6 第一關(guān)節(jié)的輸出誤差e1(t)

圖7 第二關(guān)節(jié)的輸出誤差e2(t)

6 結(jié)束語

本文將Lagrangian支持向量機(jī)推廣應(yīng)用到回歸問題，并提出了基于梯度投影法的學(xué)習(xí)方法，與標(biāo)準(zhǔn)的SVM相比，LSVM具有更快的學(xué)習(xí)速度。進(jìn)而采用LSVR補(bǔ)償來實現(xiàn)對機(jī)械手的控制，由于補(bǔ)償誤差的存在，因此，在自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)上增加了一個魯棒控制器，使得控制系統(tǒng)具有了更好的跟蹤性能。對兩關(guān)節(jié)機(jī)械手的仿真結(jié)果表明本文的方法優(yōu)于傳統(tǒng)的PD控制。

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