鐘孟春，張春林，李 華，王寶琦

裝甲兵工程學(xué)院，北京 100072

1 引言

在對(duì)機(jī)械設(shè)備進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷時(shí)，通常會(huì)對(duì)設(shè)備的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理。但是，振動(dòng)信號(hào)中往往夾雜著很多噪聲，這對(duì)振動(dòng)信號(hào)的特征提取造成了很大的麻煩。所以，在進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)處理前，首先要對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。小波和小波包降噪方法由于其具有低熵性、多分辨率等優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)降噪中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

小波和小波包降噪的核心是如何選取閾值和閾值函數(shù)。常用的小波包降噪閾值主要有Sqtwolog規(guī)則閾值、Rigrsure規(guī)則閾值和Minimaxi規(guī)則閾值。以上三種閾值降噪的效果各不相同，其中Minimaxi與Stein閾值規(guī)則降噪較為保守，是將部分系數(shù)置零，不容易丟失真實(shí)信號(hào)成分，Sqtwolog固定形式的閾值降噪能更有效地去除噪聲。對(duì)于低頻信號(hào)，由小波包分解后，有用信號(hào)主要分布在低頻段，且頻率段能量值一般較高，而噪聲均勻分布在整個(gè)頻率段上，且頻段能量值一般較低。所以不同頻段的小波包分解系數(shù)對(duì)關(guān)心的有用信號(hào)和不關(guān)心的噪聲信號(hào)有著不同的反映。因此，用同一閾值對(duì)整個(gè)頻率段的小波包系數(shù)進(jìn)行閾值處理顯然是不合適的，不能得到理想的效果。

據(jù)此，需要對(duì)不同的頻段采取不同的閾值進(jìn)行處理。文獻(xiàn)[2]中的SMS法采用分段閾值處理時(shí)，對(duì)頻率段的分段較為粗糙，只是固定地對(duì)小波包分解后第一個(gè)節(jié)點(diǎn)采用Rigrsure規(guī)則閾值，最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)采用Sqtwolog規(guī)則閾值。這種分段閾值處理形式雖然較全局閾值處理有了一定的改善，但是對(duì)實(shí)際振動(dòng)信號(hào)中有用信號(hào)的保護(hù)與噪聲的去除效果不是非常理想。本文研究提出了一種更實(shí)際有效的小波包分段閾值降噪方法，重點(diǎn)在于頻段的劃分。由于頻段劃分基于能量，因此命名為最優(yōu)小波包能量分段閾值降噪方法（Best Wavelet Packet Energine Subsection threshold De-noising），簡稱BWPES。

2 小波包去噪理論概述

由于

由小波包兩尺度關(guān)系：

可得到由(t)與重構(gòu)的重構(gòu)算法。小波包的重構(gòu)算法為：

以小波包三層分解為例，其小波包分解樹如圖1所示。

圖1 三層小波包分解樹

圖1中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號(hào)數(shù)表示小波包分解的尺度數(shù)，分解具體如下關(guān)系：

小波包閾值去噪過程一般按如下步驟[3]進(jìn)行：

（1）選擇合適的小波與分解層次，進(jìn)行小波包分解。（2）確定最優(yōu)小波包基，計(jì)算最優(yōu)樹。

（3）選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝?，?duì)小波包分解系數(shù)的閾值進(jìn)行量化。

（4）小波包重構(gòu)。

其中最關(guān)鍵的還是閾值的選擇和閾值量化，它們直接關(guān)系到對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理的質(zhì)量。

3 改進(jìn)的小波包能量分段閾值降噪方法

3.1 小波基的選擇原則

小波包閾值去噪的第一步是選擇合適的小波函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，可見小波基的選擇對(duì)去噪性能是有重要影響的。首先，信號(hào)經(jīng)小波包分解后得到的小波系數(shù)越稀疏（即越多的小波系數(shù)接近零），越有利于去噪；其次，不通過的小波基重構(gòu)得到的信號(hào)，也直接影響到降噪效果[4]。

選擇分解小波時(shí)，一般選擇消失矩高，支撐尺寸小的小波基。消失矩越高，小波包分解的平滑項(xiàng)系數(shù)越接近零；支撐尺寸越短，越有利于信號(hào)奇異點(diǎn)的定位，可使較大的小波系數(shù)落在小波支撐尺寸內(nèi)。

選擇重構(gòu)小波時(shí)，一般選擇正則性高，對(duì)稱性好的小波基。這樣的小波基光滑性強(qiáng)，頻域局部性好，有利于消除由閾值處理后得到的小波系數(shù)所引入的誤差。

3.2 小波包分解并按頻率順序排列

小波包分解的過程實(shí)質(zhì)上是通過一組高/低通共軛濾波器的濾波以及“隔點(diǎn)重采樣”過程，而高通濾波所得到的信號(hào)采樣時(shí)，會(huì)導(dǎo)致頻率折疊。因此，小波包算法就出現(xiàn)了頻帶錯(cuò)位問題，所以，首先需要對(duì)錯(cuò)位的頻帶進(jìn)行排序。文獻(xiàn)[5]給出了小波包頻率的排序，即：每次通過低通濾波，直接頻段2分頻，經(jīng)過高通濾波器，頻段2分頻并取反。下面以3層小波包分解舉例，其頻率排序如圖2所示。

圖2 3層小波包分解實(shí)際頻率排序

圖2所計(jì)算的小波包頻率排序與仿真軟件MATLAB中的小波包分解頻率排序是一致的。

3.3 最優(yōu)小波包節(jié)點(diǎn)能量與分段閾值去噪

為了能更好地去除噪聲，本文采取最優(yōu)小波包節(jié)點(diǎn)能量與分段閾值相結(jié)合的去噪方法。根據(jù)最優(yōu)小波包基各節(jié)點(diǎn)能量的大小，判斷是否含有有用信號(hào)，并將其分為有用信號(hào)段、過渡段和噪聲段。

對(duì)于高頻噪聲段，采用去噪力度相對(duì)較大的Sqtwolog規(guī)則進(jìn)行閾值去噪，最大程度地去除噪聲。對(duì)于剩下的小波包，計(jì)算各個(gè)小波包節(jié)點(diǎn)的能量Ei，為了使不同的分解層數(shù)的小波包具有可比性，采用Ei/25-j（以5層小波包分解為例）表示各節(jié)點(diǎn)的能量，其中i代表節(jié)點(diǎn)編號(hào)，j代表節(jié)點(diǎn)所在層數(shù)，并把節(jié)點(diǎn)能量按大小排序。

小波包的能量越高，表示對(duì)應(yīng)的頻段中有用信號(hào)的成分越大；反之，說明噪聲成分更大。據(jù)此，可以按照能量值的大小確定信號(hào)段與過渡段的分界。這里需要指出的是，這里所謂的分界其實(shí)并不是嚴(yán)格意義上的分界，根據(jù)實(shí)際情況的不同，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出相對(duì)較合理的分界條件。下面以Matlab自帶的Doppler信號(hào)為例，根據(jù)小波函數(shù)的選擇原則，經(jīng)過對(duì)比分析之后，選擇db4小波作為分析小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層小波包分解，并且計(jì)算它的最優(yōu)小波包基，對(duì)其能量排序，取能量最低的4個(gè)小波包，求其能量的平均值Ea，當(dāng)某個(gè)小波包的節(jié)點(diǎn)能量大于n（n≥2，由經(jīng)驗(yàn)給出）倍Ea時(shí)，認(rèn)為該頻段為有用信號(hào)段，采用Rigrsure閾值規(guī)則進(jìn)行閾值去噪。剩下的小波包節(jié)點(diǎn)即為過渡段，使用Minimaxi閾值規(guī)則進(jìn)行閾值去噪。這里需要指出的是，此方法并不是適用于所有的振動(dòng)信號(hào)，n≥2的條件也等同于信號(hào)的SNR≥3，當(dāng)信號(hào)的SNR＜3或者信號(hào)是純噪聲時(shí)，此方法的降噪效果并不理想。所以在信號(hào)降噪之前，首先要對(duì)信號(hào)給出判斷，以及信噪比的估計(jì)，根據(jù)估計(jì)給出經(jīng)驗(yàn)值n。

總的來說，對(duì)信號(hào)首先用小波包分解，并且結(jié)算它的最優(yōu)小波包基。將分解后的小波包節(jié)點(diǎn)按頻率大小進(jìn)行重排序，對(duì)于高頻段的小波包節(jié)點(diǎn)，直接對(duì)其用Sqtwolog規(guī)則進(jìn)行閾值去噪。對(duì)于低頻段的小波包節(jié)點(diǎn)，通過進(jìn)行能量排序，劃定有用信號(hào)段和過渡段的分界。對(duì)于有用信號(hào)段，采取Rigrsure閾值規(guī)則進(jìn)行閾值去噪，對(duì)于過渡段，采取Minimaxi閾值規(guī)則進(jìn)行閾值去噪。通過這種方式，經(jīng)行閾值降噪，有效地提高了降噪的可靠性，極大程度地保留了有用信號(hào)。

4 基于matlab軟件的去噪仿真

為了驗(yàn)證BWPES算法的有效性和優(yōu)越性，以MATLAB（R2010a）作為平臺(tái)，對(duì)Matlab自帶的噪聲測試信號(hào)Doppler信號(hào)進(jìn)行測試仿真，Doppler信號(hào)屬于非線性非平穩(wěn)信號(hào)，和需要處理的信號(hào)較接近，有利于反應(yīng)實(shí)際信號(hào)的處理效果。

為了能定量對(duì)比不同降噪方法的降噪效果，需要引入小波去噪效果的評(píng)價(jià)方法。常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)有信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）和平滑度指標(biāo)。

信噪比是測量信號(hào)中噪聲量度的傳統(tǒng)方法，它的計(jì)算公式[6]為：

均方根誤差是指原始信號(hào)與去噪后的估計(jì)信號(hào)之間的方差的平方根，它的計(jì)算公式[7]為：

由于信噪比在評(píng)價(jià)去噪指標(biāo)時(shí)，有時(shí)不能完全反應(yīng)去噪的效果，還引入了平滑度函數(shù)，它在評(píng)價(jià)去噪效果時(shí)，表現(xiàn)更好，它的計(jì)算公式[8]為：

式中，x(n)為原始信號(hào)；(n)為經(jīng)小波包降噪后的估計(jì)信號(hào)；n為信號(hào)長度。

下面分別用Rigrsure準(zhǔn)則、Sqtwolog準(zhǔn)則、Minimaxi準(zhǔn)則、小波Wden自動(dòng)去噪以及文獻(xiàn)[5]中的SMS閾值降噪方法與本文提出的BWPES降噪方法進(jìn)行對(duì)比分析。為了使結(jié)果對(duì)比更具可靠性，在使用不同方法進(jìn)行閾值降噪的過程中，使用統(tǒng)一的小波基函數(shù)、閾值函數(shù)和小波分解層數(shù)，如圖3～9。

圖3 Matlab中的noisdopp信號(hào)

圖4 Rigrsure準(zhǔn)則降噪后信號(hào)

圖5 Sqtwolog準(zhǔn)則降噪后信號(hào)

圖6 Minimaxi準(zhǔn)則降噪后信號(hào)圖

圖7 小波Wden自動(dòng)降噪后信號(hào)

圖9 BWPES降噪后信號(hào)

表1 降噪效果對(duì)比

通過不同降噪方法的效果對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，雖然各種不同的方法都起到了一定作用的降噪效果，但是由于Rigrsure和minnimax閾值選取規(guī)則比較保守，僅將部分系數(shù)置零[9]，因此在信號(hào)去噪的過程中，噪聲去除不夠徹底。Sqtwolog閾值選取規(guī)則是選用固定的閾值，相對(duì)去噪力度較大[10]，在去除高頻噪聲的同時(shí)，把高頻段的信號(hào)也同時(shí)去除了。小波Wden自動(dòng)降噪的實(shí)質(zhì)也是根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)選擇一種單一的閾值選取規(guī)則[11]，因此也無法避免單一閾值選取所帶來的負(fù)面影響，而文獻(xiàn)[2]中提出的方法雖然避免了單一閾值選取帶來的不利影響，但是降噪效果仍然不是很理想。在此基礎(chǔ)上，本文提出了最優(yōu)小波包能量分段閾值降噪方法，通過計(jì)算最優(yōu)小波包的能量，并依據(jù)能量進(jìn)行分段去噪，不僅能最大程度地去除噪聲，而且還能分辨出高頻信號(hào)和高頻噪聲，大大提高了小波包降噪的可靠性。

5 結(jié)束語

本文通過比較不同的閾值選取規(guī)則進(jìn)行小波包降噪的效果，指出了各自存在的缺點(diǎn)，提出了最優(yōu)小波包能量分段閾值降噪方法，并跟其他小波包降噪方法進(jìn)行對(duì)比分析，得出最優(yōu)小波包能量分段閾值降噪方法明顯優(yōu)于其他小波包降噪方法，在機(jī)械設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中可以運(yùn)用此方法，這將大大提高特征提取的準(zhǔn)確性。

本文的降噪方法在高SNR信號(hào)降噪中取得了較好的效果，但是并不是適用于所有的振動(dòng)信號(hào)，信號(hào)降噪的另一個(gè)關(guān)鍵問題是噪聲估計(jì)，過多的噪聲估計(jì)和過少的噪聲估計(jì)都將不利于有用信號(hào)從被噪聲污染的信號(hào)中提取出來。所以，如何更加精確地進(jìn)行噪聲估計(jì)是下一步需要努力研究的方向。

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