萬紹峰,曹 龍,黃俊森,曹義華

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

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數值延拓算法應用于直升機配平計算的研究

萬紹峰,曹 龍,黃俊森,曹義華

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

直升機配平，本質上為非線性方程組的求解。以UH-60為例，建立直升機非線性飛行動力學模型；通過設置主旋翼軸前傾角為零簡化模型，數值延拓得到懸停狀態(tài)平衡解；以前飛速度為延拓參數，數值延拓完成定直平飛狀態(tài)的配平計算。使用MATLAB計算平臺，配平結果與參考數據吻合較好。結果表明：數值延拓方法簡單有效，其結果具有連續(xù)性和全面性，易于觀察解曲線走向。作為一類計算方法，數值延拓適用于直升機配平計算。

數值延拓；直升機；配平計算；非線性方程組

0 引言

配平計算，是一切飛行器建模分析的基礎，也是極其重要的一步。與固定翼飛行器相比，直升機由于存在旋翼氣動力，物理模型通常較為復雜；表現在數學中，為強非線性方程組，各個狀態(tài)變量之間耦合強烈，一般不易求解。

求解非線性方程組，傳統(tǒng)的數值方法是牛頓迭代法[1]。因為牛頓迭代法是局部收斂的，所以對于一般的直升機配平問題[2-3]，往往給不出合適的初值估計，導致迭代無法收斂。

本文采用動力系統(tǒng)理論[4]中的數值延拓[5-6]方法，以簡化模型為基礎，數值延拓得到直升機配平結果。

1 理論背景

1.1 動力系統(tǒng)理論

描述一個動力系統(tǒng)通常需要具備兩個要素：一是描述系統(tǒng)狀態(tài)的參量X∈Rn(稱為狀態(tài)點)，另一個是給出從一狀態(tài)點到另一個狀態(tài)點的對應法則F。具備以上兩個要素的系統(tǒng)被稱為動力系統(tǒng)。根據對應法則形式的不同，動力系統(tǒng)可分為連續(xù)動力系統(tǒng)和離散動力系統(tǒng)。

連續(xù)動力系統(tǒng)通常用一個常微分方程組的形式來描述：

式中，X∈Rn，為n維狀態(tài)向量；Fa(X)∈Rn，為n維向量函數；a∈Rk，為k維參數向量；X′為X的一階時間導數。

動力系統(tǒng)理論中，分析系統(tǒng)的第一步，是計算動力系統(tǒng)的平衡解。令狀態(tài)變量導數X′為0，即可得到平衡解，本質上為非線性代數方程組的求解。

1.2 數值延拓算法

k=1時計算系統(tǒng)平衡解。此時，需要求解方程組：

式中，a∈R，為標量參數。注意到方程組包含n+1個未知數，卻只有n個方程，此時它的解空間呈現為一條解曲線。

假設已經獲得了解曲線上的某一點(X1,a1)，并能從該點出發(fā)，順序解出曲線上的其他點(X2,a2)、(X3,a3)、…，那么所有點的集合就是我們需要的解曲線。這一類思想誕生出的算法被人們稱為數值延拓。

大部分數值延拓采用預報-校正。為了說明點集合是如何生成的，假設在解曲線上找到一個點(Xi,ai)，并且還有點(Xi,ai)處的歸一化切向量Vi。那么下一點(Xi+1,ai+1)的計算包含下面兩步，見圖1。

1) 預測一個新點；

2) 對預測點的校正。

圖1 預報-校正法

2 動力學模型

本文選取UH-60直升機建模。

文獻[7]詳細介紹了一類適用于飛行仿真的單旋翼直升機模型，其中最重要的是旋翼模型。

旋翼作為直升機升力最重要的來源，因為揮舞、擺振等運動存在，推導其氣動方程前需要以下假設：

1) 槳葉剖面安裝角沿徑向線性變化；

2) 不考慮反流區(qū)和失速的影響；

3) 槳尖損失系數為1；

4)β(t)=a0(t)-a1(t)cosψ-b1(t)sinψ，揮舞角寫成福氏級數時只取到一階。

文獻[7]同時提及了，對于前進比小于0.3的情況，所建模型精度滿足后續(xù)研究的要求。

為了使該模型同時適用于UH-60直升機，需要對文獻[7]中的模型做如下修改[8]：

1) 機身模型

UH-60機身氣動力模型使用文獻[9]中的風洞數據，通過回歸算法得到力和力矩的方程。機體力和力矩均為側滑角和仰角的函數。

2) 尾槳模型

UH-60尾槳向上斜置20°，不同于常規(guī)直升機。為了計算尾槳處的力和力矩，需要引入兩個坐標系：斜置尾槳軸系和斜置尾槳風軸系。

尾槳氣動力在斜置尾槳風軸系中的表達式和常規(guī)尾槳相似，只需替換對應項就能得到尾槳處產生的力和力矩。

3) 水平安定面模型

水平安定面帶可變入流角，這有兩個目的：一是消除低速時安定面處下洗沖擊引起的抬頭力矩；二是優(yōu)化爬升、巡航和自旋下降時的俯仰角。

4) 控制系統(tǒng)模型

UH-60控制系統(tǒng)包括了一個俯仰角偏斜舵機，它改變了縱向周期控制和槳盤傾斜角之間的關系，目的是為了提升飛行器的縱向靜穩(wěn)定性。

將所有力和力矩投影到體軸系，得到飛行器六自由度剛體運動方程。

式中，CB/E為地軸系到體軸系的轉換矩陣；X、Y、Z為合力在體軸系的分量；L、M、N為合力矩在體軸系的分量；uB、vB、wB為空速在體軸系下的分量；pB、qB、rB為角速度在體軸系下的分量；IB為直升機轉動慣量矩陣；下標B代表體軸系。

3 直升機配平

3.1 懸停狀態(tài)配平

懸停狀態(tài)平衡解是所有平衡解中最易求也是最重要的。求解懸停平衡解時，偏航角ψ置為0；空速分量uB、vB和wB，角速度分量pB、qB和rB均為0。將上述條件帶入式(3)、(4)中，得到：

式中，X、Y、Z、L、M和N均為四個操縱量δe、δa、δc、δp的函數。

式(5)、(6)聯立，六個方程求解六個未知數，包括操縱量δe、δa、δc、δp加兩個姿態(tài)角θ、φ。求解該問題，可選擇牛頓迭代法，但迭代需要給出良好的初值估計，一般情況下很難實現。

本文作者在大量嘗試不同初值發(fā)現迭代均無法收斂后，改變思路，選擇簡化物理模型，從簡化模型的解出發(fā)，得到真實情況下的配平解。

3.1.1 簡化模型求解

一般而言，機身、水平安定面和垂直安定面貢獻的力和力矩值相對較小，模型簡化時可考慮置為0。另外，觀察旋翼方程發(fā)現，如果將旋翼軸前傾角is置為O，能大大簡化方程形式。利用上述條件后，式(5)、(6)可簡化為：

上式中，HW、YW、TMR是旋翼氣動力分量，均為δe、δa和δc的函數；TTRCW是尾槳升力，僅為δp的函數；K是尾槳斜置角；下標MR代表旋翼，下標TR代表尾槳。

選取δe、δa和δc作為未知數，通過式(7)可依次得到θ、φ和δp的表達式，再帶入式(8)中。此時，問題簡化為三個方程求解三個未知數，求解難度大大降低。另外，當未知數個數降至3個時，可直接作圖觀察解的大致范圍，給出合理的初值估計，運用牛頓迭代輕松求解，結果見表1。

表1 is=0°狀態(tài)下的解

3.1.2 以is為參數延拓

實際模型中，旋翼軸前傾角值為3°。以表1中is=0°狀態(tài)下的解為起始點，選擇is增大方向為延拓方向，數值延拓，延拓得到的解曲線見圖2。

全部的延拓曲線應該有6條，即δe、δa、δc、δp、θ、φ隨is變化的曲線，這里只給出了一條。圖2中每一個點都對應一個平衡狀態(tài)，只是旋翼前傾角is不同。如果沿反方向延拓，我們就能得到旋翼后傾時對應的平衡狀態(tài)。如果減小步長，理論上我們能精確得到任意is時對應的平衡狀態(tài)。需要注意的是：圖2中每一個點都是以前一個點為基礎而得到的，整條曲線的得到只需要知道起始點的值(即表1的值)。

從圖2中可以看出，以is為延拓參數，總距操縱解曲線先上升后下降，直接得到is=3°狀態(tài)下的解，見表2。

圖2 以is為參數延拓

狀態(tài)變量值δe-0.0443mδa-0.0404mδc0.1449mδp-0.0742m?-0.0168radθ0.1349rad

回過來考察式(5)、(6)，表2中is=3°狀態(tài)下的解已非常接近實際懸停配平解，以其為初值估計，運用牛頓迭代輕松求解，得到真實情況下懸停配平解，見表3。

表3 懸停配平解

3.2 前飛狀態(tài)配平

前飛配平時以前飛地速uE為延拓參數，故需補充相應方程，體現速度在體軸系和地軸系間的轉換：

此時，以表3懸停配平解為起始點，選擇uE增大方向為延拓方向，數值延拓，延拓得到的解曲線見圖3-8，圖中提及的參考數據來自文獻[8]。

圖3 定直平飛縱向周期操縱配平曲線

圖4 定直平飛橫向周期操縱配平曲線

圖5 定直平飛總距操縱配平曲線

圖3-8中，數值延拓每進行一次預報-校正，就得到解曲線上的一個點，以符號“×”顯示。前飛速度0～30m/s階段步長小，曲線顯得密集。由圖3-8可以得到各操縱量和姿態(tài)角隨前飛速度增長的變化趨勢，以及各個速度下的配平解。

另外，起始點也可以不選擇懸停狀態(tài)。假設我們知道30m/s時直升機的配平解，只需要沿兩個方向數值延拓，也能得到整條解曲線。

圖6 定直平飛腳蹬操縱配平曲線

圖7 定直平飛滾轉角φ配平曲線

圖8 定直平飛俯仰角θ配平曲線

4 結論

本文采用數值延拓方法，完成UH-60直升機配平。從簡化狀態(tài)解出發(fā)，數值延拓得到懸停配平解；從懸停配平解出發(fā)，數值延拓得到任意前飛速度下的配平解。計算結果與參考數據吻合較好，數值延拓適用于直升機配平計算，得到的配平解連續(xù)、全面，計算效率高。

另外，因為數值延拓解的全面性，對于飛行器飛行包線、參數優(yōu)化等研究也有一定的借鑒意義。

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Helicopter Trim Calculation by Numerical Continuation Method

WAN Shaofeng，CAO Long，HUANG Junsen，CAO Yihua

(School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

Helicopter trim calculation is essentially to solve nonlinear equations. The UH-60 helicopter nonlinear flight dynamics model was built. The model was simplified by setting the main rotor shaft forward tilt angle to zero and equilibrium solutions were found by numerical continuation method in hover state. With the forward velocity as a continuation parameter, trim calculation was accomplished by numerical continuation method at the hover in the forward. The whole process was conducted through using the MATLAB software as the computational platform and trim solutions agree well with the referenced data. The results show that, numerical continuation is simple and effective, the results are continuous and full-scale, and it’s easy to watch the trend of the solution curve. As a computational method, numerical continuation is suitable for helicopter trim calculation.

numerical continuation；helicopter；trim；nonlinear equations

2014-09-15

萬紹峰(1991-)，男，江西南昌縣人，碩士生。

1673-1220(2015)02-011-05

V212.4

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