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        基于電磁協(xié)變理論由庫侖定律導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律

        2015-02-23 03:55:23鄭福昌

        鄭福昌

        (武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,福建 武夷山 354300)

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        基于電磁協(xié)變理論由庫侖定律導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律

        鄭福昌

        (武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,福建 武夷山 354300)

        摘要基于電磁協(xié)變理論由庫侖定律導(dǎo)出了畢奧-薩伐爾定律,不僅解決了引入畢奧-薩伐爾定律數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性問題,也加深對(duì)電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量在不同慣性參考系中具有相對(duì)性的觀測(cè)效應(yīng)的理解。說明電磁場(chǎng)量的相對(duì)性是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映。

        關(guān)鍵詞電磁場(chǎng)變換; 庫侖定律; 畢奧-薩伐爾定律

        在大學(xué)物理教科書中,對(duì)畢奧-薩伐爾定律的引入,都是介紹完長直流磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果后,不做推導(dǎo)直接引入。查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn),對(duì)引入的根據(jù)有以下三種不同說法: (1)是拉普拉斯以概括實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法得到的;(2)畢奧-薩伐爾定律是拉普拉斯從畢奧和薩伐爾的實(shí)驗(yàn)結(jié)果倒推出來的;(3)拉普拉斯用絕妙的數(shù)學(xué)分析幫助畢奧和薩伐爾把實(shí)驗(yàn)結(jié)果提高到理論高度得到了該定律等等[1-3]。不論那種說法,終歸缺乏數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性。以下,嘗試由庫侖定律出發(fā)利用電磁協(xié)變理論導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律公式。

        1電磁場(chǎng)變換關(guān)系式理論推導(dǎo)

        1.1 電磁場(chǎng)張量

        (1)

        (2)

        (3)

        式中i≠j≠k,很明顯,式(3)右邊恰是由四維矢量算符?/?xμ和四維矢量Av相乘而形成的二階張量的一些分量。

        (4)

        由于對(duì)指標(biāo)μ,v是反對(duì)稱的,所以一定有

        (5)

        于是,式(3)又可寫成形式為

        (6)

        其中

        (7)

        1.2 四維二階張量分量的變換規(guī)律

        如果存在有四維變換式

        (8)

        其中μ,v,λ,τ=1,2,3,4,則應(yīng)有

        (9)

        于是可得到變換后四維二階張量的分量

        (10)

        若令

        (11)

        則有

        (12)

        (13)

        其中

        (14)

        式(13)就是協(xié)變的電磁場(chǎng)四維二階張量分量的變換規(guī)律。

        1.3 電磁場(chǎng)變換關(guān)系式

        滿足式(13)變換系數(shù)的變換式是電磁波相位不變變換式

        (15)

        因式(15)中

        (16)

        (17)

        依據(jù)麥克斯韋場(chǎng)方程的協(xié)變性要求,經(jīng)式(17)變換后四維二階張量的分量應(yīng)滿足

        (18)

        把式(18)代入式(17),就可得到協(xié)變的電磁場(chǎng)張量分量變換規(guī)律為

        (19)

        1.3.1磁場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出

        按式(19)變換規(guī)律,有

        (20)

        (21)

        同理可證

        (22)

        (23)

        于是,可證得

        (24)

        (25)

        1.3.2電場(chǎng)變換關(guān)系式的導(dǎo)出

        按照式(19)變換規(guī)律,還可看出

        (26)

        (27)

        同理可證

        (28)

        (29)

        于是,有

        (30)

        (31)

        (32)

        2用電磁場(chǎng)的變換關(guān)系導(dǎo)出點(diǎn)電荷的畢奧-薩伐爾定律

        用上述電磁場(chǎng)的變換公式來推演一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的電荷q在r處產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式。把電荷q放在s參考系的原點(diǎn),并使q對(duì)s保持靜止。在s系中觀察就有一個(gè)靜電場(chǎng),有庫侖定律得到點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式是

        (33)

        (34)

        =φ(Bxi+Byj+Bzk)-[(vyEz-vzEy)i

        +(vzEx-vxEz)j+(vxEy-vyEx)k]/c2

        (35)

        (36)

        (37)

        圖1 q放在S系的原點(diǎn)處,S′系相對(duì)于S系以速度V沿任一方向平動(dòng)

        3導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律標(biāo)準(zhǔn)形式

        為了得到畢奧-薩伐爾定律的標(biāo)準(zhǔn)形式,可以取一截面面積為S,通有電流為I的通電導(dǎo)線。并在導(dǎo)線上取一長為dl的電流元Idl,設(shè)dl導(dǎo)體內(nèi)的載流子數(shù)目為dN,單位體積內(nèi)載流子數(shù)目n。

        導(dǎo)體內(nèi)各個(gè)以速度為V同向運(yùn)動(dòng)的載流子,在相同的某一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)為dN個(gè)載流子單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的矢量和,即

        (38)

        因?yàn)镮=nqSV,dN=nSdl,有

        (39)

        將式(39)代入式(38),得

        (40)

        該式正是由庫侖定律出發(fā)運(yùn)用電磁場(chǎng)的協(xié)變理論導(dǎo)出的畢奧-薩伐爾定律。

        通過以上分析可以看出,電磁場(chǎng)的相對(duì)論變換充分體現(xiàn)了電磁場(chǎng)的相對(duì)性和統(tǒng)一性,空間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是同一物質(zhì)形式——電磁場(chǎng)所表現(xiàn)的兩個(gè)側(cè)面。它們并非彼此獨(dú)立、互不相干,在一個(gè)參考系中的純磁場(chǎng)(或純電場(chǎng)),在另一個(gè)參考系中可能還會(huì)存在電場(chǎng)(或磁場(chǎng))。電場(chǎng)量和磁場(chǎng)量卻是電磁場(chǎng)在某個(gè)慣性參考系中的觀測(cè)效應(yīng),具有相對(duì)性。電磁場(chǎng)量的相對(duì)性正是電磁場(chǎng)統(tǒng)一性的反映,沒有這種相對(duì)性就談不上它的統(tǒng)一性,反之亦然。

        參考文獻(xiàn):

        [1]肖軍.統(tǒng)一場(chǎng)及動(dòng)體電磁理論[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社,2008.

        [2]趙凱華,陳熙謀.新概念物理學(xué)教程電磁學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

        [3]付林興,鄧志武.畢奧-薩伐爾定律的推導(dǎo)[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,28(1):28-29.

        編輯王菊平

        Biot-savart is derived from Coulomb’s law based on electromagnetic theory of covariant

        ZHENG Fu-chang

        (College of mechanical and electrical engineering, Wuyi University, Wuyishan 354300, Fujian, China)

        AbstractBased on electromagnetic theory of covariant, Biot-savart is derived from Coulomb’s law, not only introducing the Biot-savart law rigor in Mathematics problems, deepen an electric field and magnetic field in different inertial frames of reference has a comparative observation of effect of understanding. description the relativity of electromagnetic field is the reflects of the integrity.

        Key wordselectromagnetic field transform; Coulomb’s law; Biot-savart law

        作者簡(jiǎn)介鄭福昌,男,山西大同人,副教授,主要研究方向?yàn)槲锢砝碚摷拔锢斫虒W(xué)。

        收稿日期2015-05-29

        doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.13

        中圖分類號(hào)O44

        文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

        文章編號(hào)1003-8078(2015)06-0045-05

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