高鵬娥， 李慶奎

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原　030006)

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一類網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的預(yù)測控制

高鵬娥， 李慶奎*

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原030006)

摘要：研究了具有隨機時延和數(shù)據(jù)包丟失的一類網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的預(yù)測控制問題.利用網(wǎng)絡(luò)的包傳輸特性和時戳技術(shù)，設(shè)計有效的預(yù)測控制機制來補償隨機時延和數(shù)據(jù)包丟失對系統(tǒng)的影響.通過引入誤差變量，將閉環(huán)系統(tǒng)建模為一類離散時間切換系統(tǒng).根據(jù)切換系統(tǒng)理論，得到具有H∞給定性能的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.最后，通過一個仿真例子說明本文所提方法的有效性.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)； 串級控制； 隨機時延； 預(yù)測機制

0引言

在實際過程控制中，串級控制系統(tǒng)具有快速克服副回路中的擾動, 顯著改善系統(tǒng)控制性能的特點[1]，被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)[2]、機器人系統(tǒng)[3]、車輛系統(tǒng)[4]、航空系統(tǒng)[5]等.隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展，控制系統(tǒng)的相關(guān)信號主要通過通信網(wǎng)絡(luò)進行傳輸和交換，而不是傳統(tǒng)的點對點的直接連接.將網(wǎng)絡(luò)引入串級控制系統(tǒng)，使其控制回路的實時信息通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，便形成了網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)[6].

網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)具有網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)和串級控制系統(tǒng)的雙重優(yōu)點，既可以降低成本，減小功耗，實現(xiàn)資源共享，進行遠程操作，又可以充分利用副回路有效地克服內(nèi)干擾的影響，改善控制性能.然而，通訊網(wǎng)絡(luò)的引入也帶來了一些不可避免的問題，例如數(shù)據(jù)傳輸時延，數(shù)據(jù)包丟失，數(shù)據(jù)包錯序等[7,8].一般而言，數(shù)據(jù)傳輸時延和數(shù)據(jù)包丟失通常會降低系統(tǒng)的性能，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，如何處理這些問題引起了人們廣泛的關(guān)注[9,10].值得注意的是，現(xiàn)有關(guān)于這些問題的研究結(jié)果主要針對單回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，基于多回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的分析與控制雖已取得一定進展，但尚有不足.文獻[11]僅針對帶有時延的網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)進行系統(tǒng)的分析和建模，并沒有研究相應(yīng)的控制器的設(shè)計問題.文獻[1]假設(shè)控制回路隨機時延小于一個采樣周期，對這類系統(tǒng)進行了分析.文獻[12]表明，通訊時延對網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的控制性能具有影響，隨著通訊時延的增加系統(tǒng)性能逐漸降低.針對過程控制中廣泛存在的網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)，我們有必要對其控制回路中出現(xiàn)較長時延和數(shù)據(jù)包丟失的情形展開討論.在現(xiàn)有處理單回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的這些問題的方法中[13-15]，預(yù)測控制被認為是補償較長時延和數(shù)據(jù)包丟失對系統(tǒng)影響的一種有效方法[16,17].那么，如何設(shè)計合適的預(yù)測控制機制來補償時延和丟包對網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的影響具有重要意義.

本文采用預(yù)測控制的方法來補償隨機時延和數(shù)據(jù)包丟失對一類網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的影響.由于實際中系統(tǒng)的狀態(tài)往往不可以直接量測，我們采用基于觀測器的預(yù)測策略.充分利用網(wǎng)絡(luò)的包傳輸特性和時戳技術(shù)，構(gòu)造有效的預(yù)測控制機制.通過主氣溫系統(tǒng)的數(shù)值仿真證明所提方法的有效性.具體組織結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)給出所考慮系統(tǒng)的模型和采用的預(yù)測控制機制.第3節(jié)分析了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和H∞性能.第4節(jié)做數(shù)值模擬以檢驗本文預(yù)測機制的有效性.第5節(jié)總結(jié)全文.

1問題描述和預(yù)測機制

基于實際的工業(yè)過程控制，我們考慮一類典型的網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)見圖1所示.主次傳感器分別與主次對象直接連接，傳輸主次對象的輸出變量. 控制信號直接驅(qū)動次對象從而控制主對象來達到控制目的.實時的網(wǎng)絡(luò)分別存在于主傳感器與主控制器之間、次傳感器與次控制器之間及次控制器與執(zhí)行器之間.顯然，網(wǎng)絡(luò)的引入會引起數(shù)據(jù)傳輸時延和數(shù)據(jù)包丟失，我們將設(shè)計合適的預(yù)測控制機制來積極地補償其對系統(tǒng)的影響.

圖1　預(yù)測控制下的NCCS

本文考慮的主對象是離散時間線性時不變的，其狀態(tài)空間為：

(1)

其中x1(k)∈Rnx1和y1(k)∈Rny1分別表示主對象的狀態(tài)和輸出，ω(k)∈Rnω是外部擾動輸入，主要存在于內(nèi)環(huán)中，A1，B1，D1和F1分別為具有適當維數(shù)的常矩陣.次對象也是離散時間線性時不變的，其狀態(tài)空間為：

(2)

其中x2(k)∈Rnx2,y2(k)∈Rny2和u2(k)∈Rnu2分別表示次對象的狀態(tài)，輸出和控制輸入，A2,B2,C2,D2和F2分別為具有適當維數(shù)的常矩陣.

設(shè)計如下狀態(tài)反饋控制器:

(3)

本文假設(shè)串級系統(tǒng)完全可控，通過極點配置方法，可以找到控制器增益K1和K2使得系統(tǒng)在沒有網(wǎng)絡(luò)的情形下是穩(wěn)定的.

為了研究方便，給出如下基本假設(shè)：

假設(shè)1反饋通道中的隨機時延為dk滿足0≤dk≤d；為了避免數(shù)據(jù)包錯序，假設(shè)dk+1≤dk+1.前饋通道中的隨機時延為hk滿足0≤hk≤h.

假設(shè)2經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包都帶有時間戳.

設(shè)數(shù)據(jù)包在傳感器與控制器之間通過網(wǎng)絡(luò)傳輸時發(fā)生的最大連續(xù)丟包數(shù)為N.充分利用網(wǎng)絡(luò)的包傳輸特性，在k時刻，可測輸出數(shù)據(jù)ym(k-i)(m∈{1,2},i∈{0,1,…,N})和它們的時間戳裝在同一個包中通過網(wǎng)絡(luò)進行傳輸.在控制器端嵌入一個緩沖器來存儲測量輸出數(shù)據(jù).當新的數(shù)據(jù)包到達時，觀測器端通過比較新來數(shù)據(jù)包和儲存數(shù)據(jù)包的時間戳計算出連續(xù)丟失的數(shù)據(jù)包個數(shù)j(j∈{0,1,…,N})，依次選擇從時刻k-dk-j到k-dk的測量輸出數(shù)據(jù)往前預(yù)測狀態(tài)，觀測器端最后一步的狀態(tài)預(yù)測為：

(4)

(5)

注1dk表示運行時刻k和輸出數(shù)據(jù)包從傳感器端發(fā)送時刻之間的差值.hk表示運行時刻k和預(yù)測控制包從控制器端發(fā)送時刻之間的差值.當k時刻有新的數(shù)據(jù)包到達控制器端，而k+1時刻沒有新的數(shù)據(jù)包到達或出現(xiàn)數(shù)據(jù)包丟失時，k+1時刻使用k時刻到達的輸出數(shù)據(jù)包，即，dk+1=dk+1.

基于可利用的輸出信息，觀測器端往前預(yù)測到時刻k-dk+1對應(yīng)的狀態(tài).從時刻k-dk+2到k+h的狀態(tài)預(yù)測值由下面的式子給出：

(6)

B2u2(k-dk+i-1)i∈{2,…,dk+h}

(7)

由(1),(2),(4)和(5)式可得，狀態(tài)誤差方程為：

(8)

由(4)和(6)式可得：

A1dk+h-1B1y2(k-dk)+

(9)

由(5)和(7)式可得：

(10)

從而，預(yù)測控制值為：

(11)

或者，

(12)

在k時刻，控制器端發(fā)送的預(yù)測控制值序列為：

(13)

綜上可知，u2(k+h)是最新計算出來的預(yù)測控制值，而u2(k+i)(i∈{0,1,…,h-1})與前面的數(shù)據(jù)包中的值是相同的.同樣，在執(zhí)行器端嵌入一個緩沖器來存儲未來的預(yù)測控制值.基于前饋通道中的實際時延hk，預(yù)測選擇器從控制值序列中選擇匹配的控制值，然后發(fā)送給執(zhí)行器.

2穩(wěn)定性分析

為了書寫方便，下面用p代替h+dk-h.基于本文提出的預(yù)測控制機制，次對象狀態(tài)為：

x2(k+1)=A2x2(k)+B2u2(k)+C2ω(k)=

(A2+B2K2)x2(k)+B2K1x1(k)-

(14)

由(1),(4)和(6)式可得：

?

=A1p-1(A1-L1D1)e1(k-p)+

H(A2-L2D2)e2(k-p)+

(15)

其中

H=A1p-2B1D2+A1p-3B1D2A2+…+B1D2A2p-2

Θ1=B1F2

Θi=A1Θi-1+B1D2A2i-2C2i∈{2,…,p-1}

Θp=H(C2-L2F2)-A1p-1L1F1

由(2), (5)和(7)式可得：

A2x2(k-1)+B2u2(k-1)+C2ω(k-1)-

?

=A2p-1(A2-L2D2)e2(k-p)-

(16)

由(14),(15)和(16)式可得：

x2(k+1)=(A2+B2K2)x2(k)+B2K1x1(k)-

B2K1A1p-1(A1-L1D1)e1(k-p)-

B2(K1H+K2A2p-1)(A2-L2D2)e2(k-p)+

(B2K2A2p-1(L2F2-C2)-B2K1Θp)ω(k-p)-

(17)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)為：

其中

Ω0=C2

Ωi=-B2(K2A2i-1C2+K1Θi)i∈{1,2,…,p-1}

Ωp=B2K2A2p-1(L2F2-C2)-B2K1Θp

該閉環(huán)系統(tǒng)是離散時間切換系統(tǒng)，描述為：

(18)

X(k)=[x1T(k) x2T(k) E1T(k) E2T(k)]T

E1(k)=[e1T(k) e1T(k-1)…e1T(k-d-h)]T

E2(k)=[e2T(k) e2T(k-1)…e2T(k-d-h)]T

定理給定正常數(shù)γ>0，若存在適當維數(shù)的矩陣Pi>0，使得?i∈，滿足下面的矩陣不等式：

(19)

則離散時間切換系統(tǒng)(18)在任意的切換信號下是漸近穩(wěn)定的，并且具有給定的H∞性能指標γ.

證明：構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)

V(x(k))=XT(k)Pσ(k)X(k)

(20)

令σ(k)=i，無擾動時，沿系統(tǒng)(18)軌線的差分為，

ΔV(x(k))=Vj(x(k+1))-Vi(x(k))=

XT(k+1)PjX(k+1)-XT(k)PiX(k)=

XT(k)(ΦiTPjΦi-Pi)X(k)=

XT(k)ΘiX(k)

(21)

由Schur補引理可得，

(22)

由(19)式可知，Θi<0，即無擾動時，滿足ΔV(x(k))<0，系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的.

為了給出系統(tǒng)(18)的H∞性能分析，定義性能指標為：

(23)

由零初始條件，有V(x(0))=0，對于任意的N>0,V(x(N))>0,則

V(x(0))-V(x(N+1))≤

(24)

(D1x1(k)+F1ω(k))T(D1x1(k)+F1ω(k))=

ξT(k)Πiξ(k)

(25)

令

(26)

利用Schur補引理，由(19)式可得Πi<0.顯然，當N→∞時，

(27)

當控制回路中的時延為定常時延時，閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為如下形式：

(28)

針對(28)式給出的閉環(huán)系統(tǒng)，有如下的結(jié)論.

推論給定正常數(shù)γ>0，若存在適當維數(shù)的矩陣P>0, 滿足下面的矩陣不等式：

(29)

證明過程相似于上面的定理，這里省略了詳細的證明.

注2顯然(19)和(29)式不是線性矩陣不等式，不可以直接利用MATLAB線性矩陣不等式工具箱來求解.類似于文獻[18]，我們把矩陣不等式轉(zhuǎn)化為帶有線性矩陣不等式約束的非線性最小化問題.在Km和Lm(m∈{1,2})提前設(shè)計好的情形下，可以找到可行解Pi(i∈).

3仿真例子

在本節(jié)中，我們選取文獻[1]中的主氣溫控制系統(tǒng)為實例模型.取采樣間隔為1s，系統(tǒng)的參數(shù)矩陣為：

主次對象的初始狀態(tài)分別為x1(0)=[0.10]T和x2(0)=[110]T.擾動主要存在于內(nèi)環(huán)中，并且隨機地分布在區(qū)間[-0.01,0.01]上.給定H∞性能指標γ=0.2，通過極點配置方法，分別取矩陣K1,L1和K2,L2為：

下面給出三種情形下的數(shù)值仿真以說明本文所提方法的有效性：

(1)情形一：本地控制，即串級系統(tǒng)中沒有網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果如圖2所示.

(2)情形二：串級系統(tǒng)中引入網(wǎng)絡(luò)，但是沒有采用預(yù)測控制.設(shè)反饋通道中存在兩步定常時延，前饋通道中存在一步定常時延.圖3的仿真結(jié)果表明，閉環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的.

(3)情形三：串級系統(tǒng)中引入網(wǎng)絡(luò)，而且采用預(yù)測控制.首先，針對情形二下的時延，采用預(yù)測控制機制后的仿真結(jié)果如圖4所示.其次，針對反饋通道具有最大時延界3和前饋通道具有最大時延界2的隨機時延，仿真結(jié)果如圖5所示.

圖2　本地控制

圖3　定常時延下無補償?shù)臓顟B(tài)響應(yīng)

圖4　定常時延下有補償?shù)臓顟B(tài)響應(yīng)

圖5　 隨機時延下有補償?shù)臓顟B(tài)響應(yīng)

由圖2可知，控制回路中存在一定的時延時，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.然而，采用本文所提出的預(yù)測控制機制，對控制回路中的時延進行補償后，獲得了理想的效果.比較圖2和圖4可以看出，進行補償后的效果與沒有網(wǎng)絡(luò)延遲的本地控制效果幾乎一樣.由圖2、圖4和圖5可知，次對象在100s時幾乎達到穩(wěn)定狀態(tài)，而主對象在200s時才能幾乎達到穩(wěn)定狀態(tài).顯然，內(nèi)環(huán)比外環(huán)具有更快速的響應(yīng)，次對象的狀態(tài)提前反映出響應(yīng)趨勢，驅(qū)動主對象的狀態(tài)趨向穩(wěn)定.

4結(jié)論

本文采用了預(yù)測控制方法來補償隨機時延和數(shù)據(jù)包丟失對網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的影響.充分利用網(wǎng)絡(luò)的包傳輸特性和時戳技術(shù)，設(shè)計了有效的預(yù)測控制機制.基于切換系統(tǒng)理論，分析了所建立的離散時間切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和H∞性能.以主氣溫控制系統(tǒng)模型為例子，證明了本文所設(shè)計的預(yù)測控制機制能有效地補償時延和丟包對這類網(wǎng)絡(luò)化串級控制系統(tǒng)的影響.

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Predictive control for a class of networked cascade control systems

GAO Peng-e, LI Qing-kui*

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

Abstract:This paper is concerned with the predictive control problem of a class of networked cascade control systems (NCCSs) with random delays and packet dropouts.Using the packet-based transmission and time-stamp technique,the effective predictive control scheme is proposed to compensate the effect of random delays and packet dropouts in the NCCSs framework. By introducing error variables,the resulting closed-loop system is figureted as a discrete time switched linear system.Based on switched system theory,a sufficient condition is obtained to ensure that the closed-loop system is asymptotically stable with the prescribedH∞performance.Finally,a simulation example of a NCCS for the main steam temperature is given to illustrate the effectiveness of the construction approach.

Key words:networked system; cascade control; random delays; predictive scheme

通訊作者:李慶奎(1971-)，男，山東郯城人，副教授，博士，研究方向：切換時滯系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、供應(yīng)鏈系統(tǒng)，sdlqk01@sxu.edu.cn

作者簡介:高鵬娥(1989-)，女，山西呂梁人，在讀碩士研究生，研究方向：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

基金項目：山西省科技廳自然科學(xué)基金項目(2013011035-3); 山西省留學(xué)回國人員科技活動擇優(yōu)資助項目(2014); 教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金項目(2013-47)

*收稿日期:2015-10-21

中圖分類號：TP13

文獻標志碼：A

*文章編號：1000-5811(2015)06-0172-07