舒彬

（陜西學(xué)前師范學(xué)院，陜西 西安 710100）

在各個(gè)技術(shù)領(lǐng)域中，經(jīng)常見(jiàn)到以待定未知參數(shù)這類反問(wèn)題，要待定未知參數(shù)，最直接的方法是測(cè)量這些未知參數(shù)在一些離散點(diǎn)處的值，但似乎這類方法又行不通。此時(shí)只好通過(guò)測(cè)量微分方程組在若干點(diǎn)處的解的信息，來(lái)推算方程中的未知參數(shù)。對(duì)于參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化方法，其實(shí)是要在計(jì)算量和算法穩(wěn)定性之間有一個(gè)權(quán)衡，而信賴域方法用較少的計(jì)算成本提高了算法的穩(wěn)定性。信賴域法是一種比較復(fù)雜但很有效地優(yōu)化算法，本文以信賴域算法為基礎(chǔ)，討論了五行理論數(shù)學(xué)模型的參數(shù)反演問(wèn)題，最后給出了數(shù)值模擬。

1 問(wèn)題的提出

金木水火土相生關(guān)系是木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，就類似于大自然中，木燃燒為火，金屬產(chǎn)生于土中，金屬熔化則為水，水滋潤(rùn)則木長(zhǎng)，五者相生，金克木，火克金，水克火，土克水，木克土，互相聯(lián)系[1]。自然界萬(wàn)事萬(wàn)物都可取類比歸于這五個(gè)系統(tǒng)，這五大系統(tǒng)之間有生我，我生，克我，我克四種關(guān)系，因此構(gòu)成了四種關(guān)系五個(gè)方面。這種生中有克，克中有生的觀點(diǎn)基本上反映了控制論中的輸入與輸出的作用。

如果用y1,y2,y3,y4,y5分別代表五行木，火，土，金，水，并從五行之間的相互生克關(guān)系可得到五行動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程組，如下[2,3]：

上式中，pi(i= 1 ,2,...,10)代表輸入輸出的速率，yi(i= 1 ,2,...,5)代表五行陰與陽(yáng)的絕對(duì)值，t代表時(shí)間。在五行之間產(chǎn)生了陰陽(yáng)的輸出流動(dòng)，從而維持了生態(tài)間的陰陽(yáng)平衡。pi(i= 1 ,2,...,10)通常未知，它們的確定有著重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義[4]。

2 分析并實(shí)現(xiàn)算法步驟

將上述模型推廣到更為一般的數(shù)學(xué)模型，如下：

初始條件為：

其中，p1,p2,...,pm是參數(shù)，表示為向量：

假設(shè)已知參數(shù)p1,p2,...,pm和初始條件，那么求解(3)則可知此方程的變化規(guī)律。在實(shí)際生產(chǎn)問(wèn)題中，物體特性的參數(shù)用p1,p2,...,pm來(lái)表示，并且不可知，怎樣利用已知信息和上述方程組來(lái)確定未知的參數(shù)，即可構(gòu)成參數(shù)識(shí)別的反演問(wèn)題。

要反演參數(shù)p1,p2,...,pm，必須附加先驗(yàn)條件，可取有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的已知解，假設(shè)已知：y1(tl) ,y2(tl) ,...,yn(tl)，l= 1 ,2,...,r。但在實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)據(jù)的已知，難免有一定的誤差，從而實(shí)際應(yīng)得數(shù)據(jù)是：

其中，ε1l,ε2l,… ,εnl為擾動(dòng)量。

那么，參數(shù)反演可描述為求解以下的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題：

其中，yi(tl,p1,p2,...,pm)是以p1,p2,...,pm為參數(shù)解原問(wèn)題(1)獲得的相應(yīng)的計(jì)算值。

在信賴域內(nèi)通過(guò)求解一個(gè)二次規(guī)劃取到可行點(diǎn)，即是信賴域算法的思想。在解(3)時(shí)，可行點(diǎn) (p1(k),p2(k),...,pM(k))處，給出信賴域半徑rk下只需求解以下的子問(wèn)題便可得出搜索方向：

滿足

搜索方向得到后，修正信賴域半徑。

實(shí)現(xiàn)算法的過(guò)程：

步驟2 計(jì)算梯度

步驟4 如果ρ≤μ,令

否則，

步驟5 按下式修改信賴域半徑：

其中，μ= 0.25，η=0.75。

步驟6 置k=k+ 1 ,轉(zhuǎn)步驟2。

3 數(shù)值算例

3.1 參 數(shù)反演

模擬數(shù)值時(shí)，取初始條件

為了反演參數(shù)，需要附加一定的先驗(yàn)條件，先給出p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10真值，取

由數(shù)值計(jì)算得出y1,y2,y3,y4,y5在任意時(shí)刻t的數(shù)值解，并且把y1(t),y2(t),y3(t),y4(t),y5(t)在

處的值加上一定擾動(dòng)的δ＞0作為已知條件來(lái)反求參數(shù)。應(yīng)用信賴域算法時(shí)，參數(shù)的初始取值

μ=0.25,η=0.75，它的反演數(shù)據(jù)結(jié)果見(jiàn)表1：

表1 參數(shù)反演數(shù)值模擬結(jié)果

從表1可以看出，經(jīng)過(guò)8次迭代的反演值是與真值相比精度還要高。還可看到不同的初始猜測(cè)值得到了不同的反演結(jié)果，進(jìn)一步知對(duì)參數(shù)的初始猜測(cè)值，信賴域算法并不敏感。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)中常微分方程的未知參數(shù)應(yīng)用信賴域方法進(jìn)行了反演，模擬數(shù)值的結(jié)果說(shuō)明此算法的有效性。文中選擇了五個(gè)方程組和十個(gè)參數(shù)作為數(shù)值算例，證明了對(duì)多個(gè)方程組和多個(gè)參數(shù)信賴域算法也是可行的。

[1] 彭紹發(fā).淺析易學(xué)在行政管理中的應(yīng)用［J］.佳木斯大學(xué)社會(huì)科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，29(1).

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社.2003.

[3] 東北師大微分方程教研室.微分方程[M].北京：高等教育出版社.2005。

[4] 劉慧.宋廣華微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用探究［J］.科技信息（科學(xué)·教研）2008,6(13).