李艷
(延安職業(yè)技術學院,陜西延安716000)
半嚴格凸函數(shù)的性質及應用
李艷
(延安職業(yè)技術學院,陜西延安716000)
凸函數(shù)是一類重要的函數(shù),它在凸分析和數(shù)學規(guī)劃等學科中扮演著主要的角色,在不等式證明方面及其它各領域有著廣泛的應用。本文在楊新民對半嚴格凸函數(shù)研究的基礎上,給出了半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的一些性質,研究了它們在不等式證明中的應用,并給出了若干例子。
半嚴格凸函數(shù);性質;不等式;應用
凸函數(shù)是凸分析中研究的主要內容,它在數(shù)理經(jīng)濟、工程、管理科學及優(yōu)化理論中有廣泛應用,特別是在數(shù)學規(guī)劃的各個分支中經(jīng)常涉及到凸函數(shù)。文獻[1-5]中給出了上(下)凸函數(shù),嚴格上(下)凸函數(shù)的定義和性質。文獻[7-10]中給出了凸函數(shù)及嚴格凸函數(shù)在積分不等式中的應用。楊新民在文獻[6]中給出半嚴格凸函數(shù)的定義,并討論了凸函數(shù)、半嚴格凸函數(shù)和嚴格凸函數(shù)之間的關系。
本文對半嚴格凸函數(shù)作了進一步研究和討論。在預備知識中給出半嚴格上(下)凸函數(shù)的定義,在主要結果中給出半嚴格上(下)凸函數(shù)的一些性質,研究它們在不等式證明中的應用,并給出若干例子。這在一定意義上推廣和完善了半嚴格凸函數(shù)。
定義1[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有
則稱?(x)為[a,b]上的凸函數(shù).
定義2[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有
則稱為[a,b]上的嚴格凸函數(shù).
定義3[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有
則稱?(x)為[a,b]上的半嚴格凸函數(shù).
注:定義1[1[1]中不等式符號反向,則稱?(x)為[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù)。在下文中我們主要討論半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的性質及應用。
現(xiàn)在我們提出半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的一些性質。
定理1設?(x)在區(qū)間[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù),則對于任意的a∈[0,1](或a∈[-1,0])有,a?(x)在[a,b]上是半嚴格上(下)凸函數(shù).
直接由定義可證.
定理2設?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù),則?(x)+g(x)在[a,b]上也是半嚴格上凸函數(shù).
證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù),對任意x1,x2∈[a,b]有
從而
因此h(x)是半嚴格上凸函數(shù),即?(x)+g(x)在[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù).
定理3 1。若?(u)是半嚴格上凸且單調增加的函數(shù),g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則?(g(x))也是半嚴格上凸函數(shù).
2。若?(u)是半嚴格下凸且單調減少的函數(shù),g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格下凸函數(shù).
3。若?(u)是半嚴格下凸且單調增加的函數(shù),g(x)是半嚴格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格下凸函數(shù).
4。若?(u)是半嚴格上凸且單調減少的函數(shù),g(x)是半嚴格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格上凸函數(shù).
證明1。g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則有
而?(u)是半嚴格上凸且單調增加的函數(shù),因此
故?(g(x))是半嚴格上凸函數(shù).
同理可證性質2。-4。.
由性質3??傻?/p>
1。若?(x)是半嚴格下凸函數(shù),則e?(x)也是半嚴格下凸函數(shù).
2。若?(x)是半嚴格上凸函數(shù),則In?(x)也是半嚴格上凸函數(shù).
進一步可得
esinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)是半嚴格下凸函數(shù);
Insinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)上是半嚴格上凸函數(shù).
定理4 1。設y=?(x)是半嚴格上凸且嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格下凸嚴格增加函數(shù).
2。設y=?(x)是半嚴格上凸且嚴格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格上凸嚴格減少函數(shù).
3。設y=?(x)是半嚴格下凸且嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格上凸嚴格增加函數(shù).
4。設y=?(x)是半嚴格下凸且嚴格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格下凸嚴格減少函數(shù).
證明1。y=?(x)是嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)也是嚴格增加函數(shù).由y=?(x)是半嚴格上凸函數(shù),有
即?-1(y)是半嚴格下凸且嚴格增加的函數(shù).
同理可證性質2。-4。.
下面我們給出半嚴格凸函數(shù)的一些應用.先介紹Jensen不等式然后考慮在證明積分不等式方面的應用.
例1(Jensen不等式)設?(x)為[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù).t1>0(i=1,2,…,n)且則
證明對n采用數(shù)學歸納法.
當n=2時,有
即為半嚴格上凸函數(shù)的定義.
設結論對于n≤k-1時成立,下面證明n=k時結論也成立.
由數(shù)學歸納法知,結論成立.
例2設?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且m≤?(x)≤M,g(x)≥0,及∫bg(x)dx>0,R(t),R(t)在[m,M]上是半嚴格上凸函數(shù),則
證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,因此無論對[a,b]作怎樣的分割,其積分和的極限存在且相等.對[a,b]作n等分,并設
考慮到R(t)為半嚴格上凸函數(shù)及
例3設?(x),g(x)是[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),g(x)非常數(shù),則
證明利用例2的結論.
1。設R(t)=-et,則R(t)是半嚴格上凸函數(shù)
2。設Q(t)=-et,則Q(t)是半嚴格上凸函數(shù).仿1。之證法,即可得
O174.13
A
1674-6198(2015)03-0076-03
2015-05-12
李艷(1986-)女,陜西佳縣人,延安職業(yè)技術學院教師。