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        半嚴(yán)格凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

        2015-02-22 09:15:33李艷
        關(guān)鍵詞:李艷單調(diào)延安

        李艷

        (延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西延安716000)

        半嚴(yán)格凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

        李艷

        (延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西延安716000)

        凸函數(shù)是一類重要的函數(shù),它在凸分析和數(shù)學(xué)規(guī)劃等學(xué)科中扮演著主要的角色,在不等式證明方面及其它各領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文在楊新民對(duì)半嚴(yán)格凸函數(shù)研究的基礎(chǔ)上,給出了半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的一些性質(zhì),研究了它們?cè)诓坏仁阶C明中的應(yīng)用,并給出了若干例子。

        半嚴(yán)格凸函數(shù);性質(zhì);不等式;應(yīng)用

        一、引言

        凸函數(shù)是凸分析中研究的主要內(nèi)容,它在數(shù)理經(jīng)濟(jì)、工程、管理科學(xué)及優(yōu)化理論中有廣泛應(yīng)用,特別是在數(shù)學(xué)規(guī)劃的各個(gè)分支中經(jīng)常涉及到凸函數(shù)。文獻(xiàn)[1-5]中給出了上(下)凸函數(shù),嚴(yán)格上(下)凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。文獻(xiàn)[7-10]中給出了凸函數(shù)及嚴(yán)格凸函數(shù)在積分不等式中的應(yīng)用。楊新民在文獻(xiàn)[6]中給出半嚴(yán)格凸函數(shù)的定義,并討論了凸函數(shù)、半嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)之間的關(guān)系。

        本文對(duì)半嚴(yán)格凸函數(shù)作了進(jìn)一步研究和討論。在預(yù)備知識(shí)中給出半嚴(yán)格上(下)凸函數(shù)的定義,在主要結(jié)果中給出半嚴(yán)格上(下)凸函數(shù)的一些性質(zhì),研究它們?cè)诓坏仁阶C明中的應(yīng)用,并給出若干例子。這在一定意義上推廣和完善了半嚴(yán)格凸函數(shù)。

        二、預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]設(shè)函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對(duì)任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱?(x)為[a,b]上的凸函數(shù).

        定義2[1]設(shè)函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對(duì)任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱為[a,b]上的嚴(yán)格凸函數(shù).

        定義3[1]設(shè)函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對(duì)任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱?(x)為[a,b]上的半嚴(yán)格凸函數(shù).

        注:定義1[1[1]中不等式符號(hào)反向,則稱?(x)為[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù)。在下文中我們主要討論半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。

        三、主要結(jié)果

        現(xiàn)在我們提出半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的一些性質(zhì)。

        定理1設(shè)?(x)在區(qū)間[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù),則對(duì)于任意的a∈[0,1](或a∈[-1,0])有,a?(x)在[a,b]上是半嚴(yán)格上(下)凸函數(shù).

        直接由定義可證.

        定理2設(shè)?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?(x)+g(x)在[a,b]上也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈[a,b]有

        從而

        因此h(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),即?(x)+g(x)在[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        定理3 1。若?(u)是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)增加的函數(shù),g(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?(g(x))也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        2。若?(u)是半嚴(yán)格下凸且單調(diào)減少的函數(shù),g(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

        3。若?(u)是半嚴(yán)格下凸且單調(diào)增加的函數(shù),g(x)是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

        4。若?(u)是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)減少的函數(shù),g(x)是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        證明1。g(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則有

        而?(u)是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)增加的函數(shù),因此

        故?(g(x))是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        同理可證性質(zhì)2。-4。.

        由性質(zhì)3??傻?/p>

        1。若?(x)是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則e?(x)也是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

        2。若?(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則In?(x)也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        進(jìn)一步可得

        esinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)是半嚴(yán)格下凸函數(shù);

        Insinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)上是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

        定理4 1。設(shè)y=?(x)是半嚴(yán)格上凸且嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴(yán)格下凸嚴(yán)格增加函數(shù).

        2。設(shè)y=?(x)是半嚴(yán)格上凸且嚴(yán)格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴(yán)格上凸嚴(yán)格減少函數(shù).

        3。設(shè)y=?(x)是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴(yán)格上凸嚴(yán)格增加函數(shù).

        4。設(shè)y=?(x)是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴(yán)格下凸嚴(yán)格減少函數(shù).

        證明1。y=?(x)是嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)也是嚴(yán)格增加函數(shù).由y=?(x)是半嚴(yán)格上凸函數(shù),有

        即?-1(y)是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格增加的函數(shù).

        同理可證性質(zhì)2。-4。.

        下面我們給出半嚴(yán)格凸函數(shù)的一些應(yīng)用.先介紹Jensen不等式然后考慮在證明積分不等式方面的應(yīng)用.

        例1(Jensen不等式)設(shè)?(x)為[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù).t1>0(i=1,2,…,n)且則

        證明對(duì)n采用數(shù)學(xué)歸納法.

        當(dāng)n=2時(shí),有

        即為半嚴(yán)格上凸函數(shù)的定義.

        設(shè)結(jié)論對(duì)于n≤k-1時(shí)成立,下面證明n=k時(shí)結(jié)論也成立.

        由數(shù)學(xué)歸納法知,結(jié)論成立.

        例2設(shè)?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且m≤?(x)≤M,g(x)≥0,及∫bg(x)dx>0,R(t),R(t)在[m,M]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則

        證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,因此無論對(duì)[a,b]作怎樣的分割,其積分和的極限存在且相等.對(duì)[a,b]作n等分,并設(shè)

        考慮到R(t)為半嚴(yán)格上凸函數(shù)及

        例3設(shè)?(x),g(x)是[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),g(x)非常數(shù),則

        證明利用例2的結(jié)論.

        1。設(shè)R(t)=-et,則R(t)是半嚴(yán)格上凸函數(shù)

        2。設(shè)Q(t)=-et,則Q(t)是半嚴(yán)格上凸函數(shù).仿1。之證法,即可得

        O174.13

        A

        1674-6198(2015)03-0076-03

        2015-05-12

        李艷(1986-)女,陜西佳縣人,延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師。

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