亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        半嚴格凸函數(shù)的性質及應用

        2015-02-22 09:15:33李艷
        延安職業(yè)技術學院學報 2015年3期
        關鍵詞:李艷單調延安

        李艷

        (延安職業(yè)技術學院,陜西延安716000)

        半嚴格凸函數(shù)的性質及應用

        李艷

        (延安職業(yè)技術學院,陜西延安716000)

        凸函數(shù)是一類重要的函數(shù),它在凸分析和數(shù)學規(guī)劃等學科中扮演著主要的角色,在不等式證明方面及其它各領域有著廣泛的應用。本文在楊新民對半嚴格凸函數(shù)研究的基礎上,給出了半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的一些性質,研究了它們在不等式證明中的應用,并給出了若干例子。

        半嚴格凸函數(shù);性質;不等式;應用

        一、引言

        凸函數(shù)是凸分析中研究的主要內容,它在數(shù)理經(jīng)濟、工程、管理科學及優(yōu)化理論中有廣泛應用,特別是在數(shù)學規(guī)劃的各個分支中經(jīng)常涉及到凸函數(shù)。文獻[1-5]中給出了上(下)凸函數(shù),嚴格上(下)凸函數(shù)的定義和性質。文獻[7-10]中給出了凸函數(shù)及嚴格凸函數(shù)在積分不等式中的應用。楊新民在文獻[6]中給出半嚴格凸函數(shù)的定義,并討論了凸函數(shù)、半嚴格凸函數(shù)和嚴格凸函數(shù)之間的關系。

        本文對半嚴格凸函數(shù)作了進一步研究和討論。在預備知識中給出半嚴格上(下)凸函數(shù)的定義,在主要結果中給出半嚴格上(下)凸函數(shù)的一些性質,研究它們在不等式證明中的應用,并給出若干例子。這在一定意義上推廣和完善了半嚴格凸函數(shù)。

        二、預備知識

        定義1[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱?(x)為[a,b]上的凸函數(shù).

        定義2[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱為[a,b]上的嚴格凸函數(shù).

        定義3[1]設函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1,x2∈[a,b],以及任意λ∈(0,1),有

        則稱?(x)為[a,b]上的半嚴格凸函數(shù).

        注:定義1[1[1]中不等式符號反向,則稱?(x)為[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù)。在下文中我們主要討論半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的性質及應用。

        三、主要結果

        現(xiàn)在我們提出半嚴格上凸函數(shù)和半嚴格下凸函數(shù)的一些性質。

        定理1設?(x)在區(qū)間[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù),則對于任意的a∈[0,1](或a∈[-1,0])有,a?(x)在[a,b]上是半嚴格上(下)凸函數(shù).

        直接由定義可證.

        定理2設?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù),則?(x)+g(x)在[a,b]上也是半嚴格上凸函數(shù).

        證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù),對任意x1,x2∈[a,b]有

        從而

        因此h(x)是半嚴格上凸函數(shù),即?(x)+g(x)在[a,b]上是半嚴格上凸函數(shù).

        定理3 1。若?(u)是半嚴格上凸且單調增加的函數(shù),g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則?(g(x))也是半嚴格上凸函數(shù).

        2。若?(u)是半嚴格下凸且單調減少的函數(shù),g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格下凸函數(shù).

        3。若?(u)是半嚴格下凸且單調增加的函數(shù),g(x)是半嚴格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格下凸函數(shù).

        4。若?(u)是半嚴格上凸且單調減少的函數(shù),g(x)是半嚴格下凸函數(shù),則?(g(x))是半嚴格上凸函數(shù).

        證明1。g(x)是半嚴格上凸函數(shù),則有

        而?(u)是半嚴格上凸且單調增加的函數(shù),因此

        故?(g(x))是半嚴格上凸函數(shù).

        同理可證性質2。-4。.

        由性質3??傻?/p>

        1。若?(x)是半嚴格下凸函數(shù),則e?(x)也是半嚴格下凸函數(shù).

        2。若?(x)是半嚴格上凸函數(shù),則In?(x)也是半嚴格上凸函數(shù).

        進一步可得

        esinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)是半嚴格下凸函數(shù);

        Insinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)上是半嚴格上凸函數(shù).

        定理4 1。設y=?(x)是半嚴格上凸且嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格下凸嚴格增加函數(shù).

        2。設y=?(x)是半嚴格上凸且嚴格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格上凸嚴格減少函數(shù).

        3。設y=?(x)是半嚴格下凸且嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格上凸嚴格增加函數(shù).

        4。設y=?(x)是半嚴格下凸且嚴格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)是半嚴格下凸嚴格減少函數(shù).

        證明1。y=?(x)是嚴格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1(y)也是嚴格增加函數(shù).由y=?(x)是半嚴格上凸函數(shù),有

        即?-1(y)是半嚴格下凸且嚴格增加的函數(shù).

        同理可證性質2。-4。.

        下面我們給出半嚴格凸函數(shù)的一些應用.先介紹Jensen不等式然后考慮在證明積分不等式方面的應用.

        例1(Jensen不等式)設?(x)為[a,b]上的半嚴格上凸函數(shù).t1>0(i=1,2,…,n)且則

        證明對n采用數(shù)學歸納法.

        當n=2時,有

        即為半嚴格上凸函數(shù)的定義.

        設結論對于n≤k-1時成立,下面證明n=k時結論也成立.

        由數(shù)學歸納法知,結論成立.

        例2設?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且m≤?(x)≤M,g(x)≥0,及∫bg(x)dx>0,R(t),R(t)在[m,M]上是半嚴格上凸函數(shù),則

        證明?(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上可積,因此無論對[a,b]作怎樣的分割,其積分和的極限存在且相等.對[a,b]作n等分,并設

        考慮到R(t)為半嚴格上凸函數(shù)及

        例3設?(x),g(x)是[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),g(x)非常數(shù),則

        證明利用例2的結論.

        1。設R(t)=-et,則R(t)是半嚴格上凸函數(shù)

        2。設Q(t)=-et,則Q(t)是半嚴格上凸函數(shù).仿1。之證法,即可得

        O174.13

        A

        1674-6198(2015)03-0076-03

        2015-05-12

        李艷(1986-)女,陜西佳縣人,延安職業(yè)技術學院教師。

        猜你喜歡
        李艷單調延安
        歡喜? ?
        當代作家(2023年3期)2023-04-23 01:58:26
        驚蟄,萬物復蘇萌人懂 ……
        當代作家(2023年3期)2023-04-23 01:58:26
        6 Things You Must Know about Major Cold
        數(shù)列的單調性
        數(shù)列的單調性
        春天的電話
        對數(shù)函數(shù)單調性的應用知多少
        從延安整風運動說起
        當代陜西(2019年17期)2019-10-08 07:41:42
        Body languages in English teaching
        走進延安
        陜西畫報(2015年2期)2015-03-11 02:21:23
        国产实拍日韩精品av在线 | 亚洲AV无码精品呻吟| 日本一区二区三区专区 | 四虎影在永久在线观看| 人人爽久久涩噜噜噜av| 中文字幕不卡在线播放| 性一交一乱一乱一视频亚洲熟妇 | 国产成人av片在线观看| 久久天天躁夜夜躁狠狠85麻豆| 无码少妇精品一区二区免费动态 | av资源吧首页在线观看| 日本熟妇另类一区二区三区| 亚洲av午夜福利精品一区二区| 香蕉视频一级| 中文字幕中文字幕人妻黑丝| 精品人妻一区二区三区浪人在线 | 一区二区三区内射美女毛片| 丰满少妇被猛烈进入| 国产成人亚洲合集青青草原精品| 亚洲高清在线观看免费视频| 精品一区二区av在线| 美女脱了内裤张开腿让男人桶网站| 中国年轻丰满女人毛茸茸| 中文字幕亚洲乱亚洲乱妇| 性感女教师在线免费观看| 一本色道久久88精品综合| 欧美午夜a级精美理论片| 中文字幕这里都是精品| 色欲色香天天天综合网www| 国产成人啪精品视频免费软件| 日本道免费精品一区二区| 亚洲午夜经典一区二区日韩| 色欲人妻综合aaaaa网| 欧美另类视频在线| 国产极品嫩模大尺度在线播放| 青春草在线视频观看| 亲子乱aⅴ一区二区三区下载| 天堂av无码大芭蕉伊人av孕妇黑人| 日本一区二区三区免费| 精人妻无码一区二区三区| 亚洲色偷偷综合亚洲av伊人|