汲守峰，劉 卉

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

變量對稱性問題的計算分析

汲守峰，劉 卉

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

高等數(shù)學(xué)中很多問題的求解涉及函數(shù)的多個自變量，如果某幾個自變量具有奇偶性或定義域關(guān)于坐標(biāo)原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對稱，就可以利用變量的對稱性簡化計算過程。

函數(shù)奇偶性；變量對稱性；簡化計算

0 引言

高等數(shù)學(xué)中的很多問題在計算時若考慮變量的對稱性會大大簡化計算過程。在多元函數(shù)微分學(xué)中，自變量之間若具有對稱性，則函數(shù)對處于對稱位置的自變量求偏導(dǎo)數(shù)時其結(jié)果類似[1]。多元函數(shù)積分學(xué)中，某個自變量在積分區(qū)間對稱時，以定積分關(guān)于自變量的對稱性或奇偶性為基礎(chǔ)[2]，也會減小計算的難度。在應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法[3]計算有多個變量問題的條件極值時，對變量進(jìn)行對稱性分析可有效簡化方程組[4]，從而簡化計算過程。本文通過以下幾個實例，分析變量對稱性問題的方便解法，并應(yīng)用Matlab軟件驗證結(jié)論。

1 對稱性問題的計算分析

1.1 利用對稱性求解拉格朗日乘數(shù)法目標(biāo)函數(shù)的極值

對目標(biāo)函數(shù)的自變量加以限制的條件極值問題，通過引入拉格朗日函數(shù)的方法，為找到內(nèi)部可能存在的最值點提供了可行的解決辦法。但在對各個自變量求偏導(dǎo)得到的方程組求解時，可能會因變量個數(shù)過多導(dǎo)致求解困難，而多數(shù)條件極值問題其變量之間往往具有對稱性，考慮對稱性可充分簡化方程組及減少變量個數(shù)，使計算變得簡單。

例1 求函數(shù)f(x，y，z)=x4+y4+z4在滿足條件xyz=8時的極值。

解 引入拉格朗日函數(shù)：f(x，y，z，k)=x4+y4+z4+k(xyz-8)，

利用Matlab R2012a Command Window命令窗口獲得該非線性方程組的解：

>>syms k x y z real

[k，x，y，z]=solve('4*x^3+k*y*z=0'，'4*y^3+k*x*z=0'，'4*z^3+k*x*y=0'，'x*y*z=8')

k=vpa(k，3)，x=vpa(x，3)，y=vpa(y，3)，z=vpa(z，3)

運行結(jié)果：

k=

-8.0

-8.0

-8.0

-8.0

x=

2.0

-2.0

-2.0

2.0

y=

2.0

-2.0

2.0

-2.0

z=

2.0

2.0

-2.0

-2.0

得到4個駐點(x，y，z)為C1(2，2，2)，C2(-2，-2，2)，C3(2，-2，-2)，C4(-2，2，-2)，函數(shù)值均為48。根據(jù)對稱性，只需對其中一個點進(jìn)行說明，比如C1(2，2，2)，f(C1)=48。

考慮第一卦限在曲面xyz=8上，

所以函數(shù)h(x，y)的最小值只能在閉區(qū)域D的內(nèi)部取得，而其內(nèi)部只有一個可能的極值點(2，2)，故(2，2)是函數(shù)h(x，y)的極小值點，即P1(2，2，2)是f(x，y，z)的極小值點。

由變量的對稱性可知C2(-2，-2，2)，C3(2，-2，-2)，C4(-2，2，-2)也是f(x，y，z)的極小值點，極小值為48。

1.2 利用變量對稱性求超越方程根的個數(shù)

當(dāng)x≥2時，易知f(x)≥0，那么只需討論f(x)在[0，2]內(nèi)零點的個數(shù)。

利用Matlab R2012a Command Window命令窗口獲得該超越方程的正解。

設(shè)函數(shù)y=x^1/6+x^1/4+x^1/2-2*cos(x)，求其正根

>>p=2；

y=inline('x^1/6+x^1/4+x^1/2-p*cos(x)'，'x'，'p')；

[x，yx]=fzero(y，[0，5]，[]，p)

運行結(jié)果：

x=

1.0623

yx=

-1.1102e-16

再輸入命令：

>>x=-2∶0.1∶2

y=abs(x)^1/6+abs(x)^1/4+abs(x)^1/2-p*cos(x)

plot(x，y，'-ro')

grid on

title('y的函數(shù)圖像')

xlabel('x')

ylabel('y')

legend('y=abs(x)^1/6+abs(x)^1/4+abs(x)^1/2-2*cosx')

輸出圖1。

圖1 函數(shù)y在區(qū)間[-2，2]上的圖像

1.3 具有對稱性的二重積分的計算

若D關(guān)于x(y)軸對稱，D1是D位于x(y)軸上(右)方的部分，f(x，y)是D上連續(xù)函數(shù)，則

解 原積分區(qū)域D不具有對稱性，添加輔助線y=-sinx，將D分成兩部分D1，D2(見圖2)，對于D1：f(x，y)=f(x，-y)，是關(guān)于y的偶函數(shù)；對于D2：f(x，y)=f(-x，y)，是關(guān)于x的偶函數(shù)。

圖2 積分區(qū)域D的圖形

因為yxf(x2+y2)為y或x的奇函數(shù)，所以

通過添加輔助線使得積分區(qū)域變成關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的區(qū)域，再根據(jù)被積函數(shù)的某一項或幾項的奇偶性進(jìn)行運算，明顯簡化了運算過程。

1.4 利用對稱性計算曲面積分

若曲面∑關(guān)于xoy(或yoz或zox)坐標(biāo)面對稱，曲面∑1是曲面∑位于xoy上方(yoz前方或zox右方)的部分，f(x，y，z)在曲面∑上連續(xù)，則

由x，y，z的對稱性，有

所以I=I1+I2+I3+I4=

2 結(jié)語

利用變量對稱性對求解的問題進(jìn)行簡化計算，除上述討論情形外，還可以應(yīng)用于三重積分、對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分及計算偏導(dǎo)數(shù)等方面。若不考慮變量的對稱性直接計算，則過程較為繁瑣，同時也容易出錯，而利用變量的對稱性可使計算過程大幅簡化，也便于檢查。

[1] 廖為鯤.淺談具有對稱性的二重積分的解法[J].科教導(dǎo)刊，2013(4)：172.

[2] 楊羅輝，張玲.一類二重積分的簡便算法[J].高等函授學(xué)報：自然科學(xué)版，2005(19)：27-30.

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊[M].7版.北京：高等教育出版社，2007：116-121.

[4] 劉秀君.考研高等數(shù)學(xué)選講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013：61-62.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

An Analysis and Calculation of Variable Symmetry

JI Shou-feng， LIU Hui

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

Many problems in higher mathematics are related to multiple variables of functions. If certain independent variables have parity or the definition domain on coordinate origin， the axes， and the coordinate plane are symmetrical， simplified calculation can be achieved through variable symmetry.

parity of function； variable symmetry； simplified calculation

O172.2

A

1672-349X(2015)05-0011-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.005