郭徽東

(海軍92403部隊(duì)51分隊(duì),福州 350007)

基線固定條件下無(wú)源定位配置仿真分析

郭徽東

(海軍92403部隊(duì)51分隊(duì),福州 350007)

摘要：根據(jù)圓概率誤差和定位模糊區(qū)定位精度指標(biāo),對(duì)基線固定條件下無(wú)源定位最優(yōu)交會(huì)角進(jìn)行分析。利用函數(shù)極值點(diǎn)法則計(jì)算定位精度指標(biāo)理論極值,給出定位精度CEP等值曲線,并驗(yàn)證測(cè)向定位布站配置的有關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞:無(wú)源測(cè)向系統(tǒng)；無(wú)源定位；基線固定；配置

0引言

由于無(wú)源測(cè)向系統(tǒng)具有全方位、探測(cè)距離較遠(yuǎn)且在受到干擾的情況下仍能正常工作等優(yōu)點(diǎn),因此無(wú)源測(cè)向定位技術(shù)在軍用和民用領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用價(jià)值。目前,研究如何利用無(wú)源傳感器的合理布局來(lái)提高定位精度相對(duì)較少[1-2],且相關(guān)理論研究成果相對(duì)不成熟,對(duì)定位精度研究仍沒(méi)有具體量化指標(biāo)。文獻(xiàn)[1]研究了基線到目標(biāo)垂直距離量為常數(shù)條件下目標(biāo)定位模糊區(qū)和圓概率誤差的極值問(wèn)題,其研究條件對(duì)于海上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)實(shí)際而言不一定適合。文獻(xiàn)[3]研究了基線固定條件下圓概率誤差達(dá)到最小值時(shí)測(cè)向線交會(huì)角所滿足的必要條件,同時(shí)還分析了測(cè)向交叉定位系統(tǒng)中定位模糊區(qū)面積達(dá)到最小值的必要條件。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)后認(rèn)為當(dāng)偵察站與雷達(dá)成等邊三角形時(shí)模糊區(qū)面積最小。本文研究在基線相對(duì)固定條件下不同定位指標(biāo)方法之間定位精度的一般分布和最優(yōu)配置角度,對(duì)實(shí)現(xiàn)無(wú)源站效能最大化,充分發(fā)揮無(wú)源站前置效果和“靜默”特點(diǎn),提高對(duì)目標(biāo)的無(wú)源定位精度具有重要意義。

1誤差衡量標(biāo)準(zhǔn)

如圖1所示,設(shè)有一輻射源位于XY平面的E點(diǎn)(xe,ye)。在兩個(gè)偵察站“1”(x1,y1)和“2”(x2,y2)上對(duì)輻射源測(cè)向,測(cè)得的方位角分別為θ1和θ2(以方位基線為基準(zhǔn))。兩個(gè)位置線的夾角為β(無(wú)源定位交會(huì)角),輻射源到方位基線的距離為R,兩個(gè)無(wú)源站之間距離為L(zhǎng)(為常數(shù))。根據(jù)已知的點(diǎn)“1”和“2”坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)和方位角θ1、θ2便可確定輻射源點(diǎn)的坐標(biāo)(xe,ye)。由于測(cè)向總是存在誤差,所以會(huì)產(chǎn)生對(duì)雷達(dá)的定位誤差。因內(nèi)部噪聲的影響,在方向角測(cè)量過(guò)程中出現(xiàn)的隨機(jī)測(cè)向誤差會(huì)使不同傳感器兩條測(cè)向線的交點(diǎn)圍繞著真實(shí)點(diǎn)(xe,ye)隨機(jī)分布,在輻射源附近形成一個(gè)定位模糊區(qū)。根據(jù)文獻(xiàn)[4]的計(jì)算,以△θ1、△θ2表示兩個(gè)無(wú)源觀測(cè)站的測(cè)角誤差,以△D1、△D2表示目標(biāo)實(shí)際位置相對(duì)兩個(gè)無(wú)源觀測(cè)站交叉定位的距離誤差,則上述定位模糊區(qū)可用四邊形來(lái)近似表示為

圖1　雙站無(wú)源定位圖

(1)

當(dāng)測(cè)量誤差較小時(shí),可用微分代替增量的辦法對(duì)定位誤差進(jìn)行分析,可得

(2)

無(wú)源定位系統(tǒng)中通常采用兩種指標(biāo)來(lái)衡量目標(biāo)定位精度,一種是圓概率誤差(CEP),是指目標(biāo)落入內(nèi)部的概率為50%的誤差分布圓半徑,此時(shí)的定位誤差等概率輪廓線為一個(gè)橢圓[1],圓概率誤差表現(xiàn)形式見式(2)；另一種是定位模糊區(qū),當(dāng)目標(biāo)到基線的垂直距離作為參變量時(shí),文獻(xiàn)[1]認(rèn)為當(dāng)無(wú)源站與目標(biāo)成等邊三角形時(shí)模糊區(qū)面積最小,表現(xiàn)形式見式(1),文獻(xiàn)[4]給出了達(dá)到最小定位模糊區(qū)面積時(shí)多個(gè)被動(dòng)傳感器的布站準(zhǔn)則,認(rèn)為該準(zhǔn)則下的最優(yōu)交會(huì)角也滿足定位模糊區(qū)達(dá)到最小值的必要條件。上述文獻(xiàn)以模糊區(qū)面積最小為極值條件,推導(dǎo)達(dá)到極小值條件下的最優(yōu)交會(huì)角、布局態(tài)勢(shì),但一次求導(dǎo)得到的函數(shù)點(diǎn)并非是全局極小點(diǎn),不能作為實(shí)際應(yīng)用的理論依據(jù)。

2無(wú)源定位配置極值分析

為簡(jiǎn)單起見,定位模糊區(qū)位置誤差用近似四邊形來(lái)描述,如圖1所示。兩無(wú)源站之間的距離為L(zhǎng),四邊形面積可用式(1)表示。

令f(θ1,θ2)=sin-3(π-θ1-θ2)sinθ1sinθ2,因L,△θ1,△θ2為常數(shù),則可利用f(θ1,θ2)對(duì)θ1,θ2求導(dǎo),可得

(3)

(4)

文獻(xiàn)[1,4]依據(jù)極小值原理,?f(θ1,θ2)/?θ1=0，?f(θ1,θ2)/?θ2=0,分別對(duì)上述兩式進(jìn)行求解,得sin2θ1=0.25。根據(jù)三角幾何關(guān)系:θ1=±30°,θ2=±150°,認(rèn)為此時(shí)該四邊形近似模糊定位區(qū)的面積最小。最小模糊定位區(qū)的面積為

(5)

但是,模糊四邊形面積為標(biāo)準(zhǔn)的定位配置效果并非如文獻(xiàn)[1,4]論述,只利用一次求導(dǎo)得出的函數(shù)極小是錯(cuò)誤的,必須通過(guò)二次求導(dǎo)并驗(yàn)證其值,才能確定模糊四邊形面積方法是否確實(shí)有效[5]。下面引入函數(shù)極值點(diǎn)第二法則。設(shè)點(diǎn)是靜止點(diǎn):

(6)

又函數(shù)f(x)不僅在這點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)f′(x),而且在點(diǎn)x0處還有二階導(dǎo)數(shù)f″(x0),那么就可以把一切的檢驗(yàn)都轉(zhuǎn)化為對(duì)于f″(x0)符號(hào)的考察,這里假定f″(x0)不為零。把x0代入二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)內(nèi),若f″(x0)>0則函數(shù)有極小,若f″(x0)<0則函數(shù)有極大。根據(jù)第二法則,下面利用式(3)、(4)分別對(duì)θ1,θ2進(jìn)行求二次導(dǎo)數(shù)。令N=4L2△θ1△θ2，則有

(7)

(8)

令β=π-θ1-θ2,則有

12sin-5βcos2βsinθ1sinθ2-3sin-3βsinθ1sinθ2+

3sin-4βcosβcosθ1sinθ2)

(9)

12sin-5βcos2βsinθ1sinθ2+3sin-3βsinθ1sinθ2-

3sin-4βcosβsinθ1cosθ2)

(10)

根據(jù)第二法則,二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)即式(9)和式(10)表示的f(θ1,θ2)/?2θ1、f(θ1,θ2)/?2θ2在文獻(xiàn)[1,4]所確定的θ1=±30°,θ2=±150°處,其值應(yīng)大于零,此時(shí)函數(shù)(5)才有全局極小值,即達(dá)到最優(yōu)配置條件。因式(9)、(10)表達(dá)式較為繁瑣,無(wú)法簡(jiǎn)單判斷其變化規(guī)律,下節(jié)以數(shù)值分析的方式對(duì)二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷。

3計(jì)算分析

3.1　極值計(jì)算

根據(jù)式(9)、(10),對(duì)模糊面積公式的二次導(dǎo)數(shù)進(jìn)行典型抽樣仿真,分別對(duì)主輔站與目標(biāo)形成等腰三角形時(shí)的二次導(dǎo)數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

圖2　二次導(dǎo)數(shù)值

根據(jù)第二法則,求θ1的二次導(dǎo)數(shù)并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。當(dāng)輔站固定測(cè)向角0°-60°時(shí)(主站與副站成等腰三角形配置),從圖2中看出,此時(shí)f″(θ1)<0,不滿足f″(θ1)>0函數(shù)有極小值的條件,說(shuō)明文獻(xiàn)[4]認(rèn)為無(wú)源站與目標(biāo)成等腰三角形(30°/150°)時(shí)模糊區(qū)面積最小的結(jié)論是錯(cuò)誤的。基線固定條件下,以模糊四邊形面積為指標(biāo)的雙站無(wú)源定位的模糊區(qū)不存在全局最小值,模糊四邊形面積值一般變化規(guī)律為從一個(gè)無(wú)限大值逐漸減小,其極限趨向零,或從無(wú)限接近零的正值逐漸增大,函數(shù)無(wú)極大值,依據(jù)模糊區(qū)面積指標(biāo)無(wú)法實(shí)現(xiàn)布站最優(yōu)配置。同理,對(duì)θ2的二次導(dǎo)數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,有f″(θ2)<0,不滿足f″(θ2)>0有極小值的條件。

3.2　定位誤差

上節(jié)是從極值理論角度對(duì)定位模糊區(qū)、圓概率誤差函數(shù)進(jìn)行分析。為更直觀地顯示定位誤差CEP與測(cè)向站與目標(biāo)夾角之間的關(guān)系,對(duì)典型的偵察站測(cè)向定位誤差進(jìn)行仿真分析。

測(cè)向站參數(shù)設(shè)置如下:

主站和輔站測(cè)向誤差方差為σθ1=σθ2=1.5°,基線長(zhǎng)度L=100km。對(duì)模糊四邊形面積和圓概率面積進(jìn)行數(shù)值模擬,圖3、圖4繪出無(wú)源站與目標(biāo)構(gòu)成三角關(guān)系中無(wú)源定位模糊四邊形面積和圓概率誤差極小值。圖3為模糊四邊形面積變化曲線,曲線呈鋸齒狀,變化無(wú)規(guī)律。θ1、θ2其中一個(gè)接近0°的小銳角,一個(gè)接近90°的角度,即造成目標(biāo)定位精度較高的位置在偵察站1附近并遠(yuǎn)離偵察站2,或者在偵察站2附近并遠(yuǎn)離偵察站1。這種態(tài)勢(shì)的發(fā)生無(wú)實(shí)際意義。由圖4看出圓概率誤差極小值曲線有規(guī)律,成對(duì)稱分布。根據(jù)文獻(xiàn)[3]和數(shù)值仿真結(jié)果,驗(yàn)證圓概率誤差為指標(biāo)時(shí),無(wú)源定位最優(yōu)交匯角為β=110°,偵察站目標(biāo)角為θ1=θ2=35°。

圖3　模糊四邊形面積最小值變化

圖4　圓概率誤差最小值變化

圖5　σθ1=σθ2=1.5°圓概率誤差等值線圖

圖6　σθ1=σθ2=3°圓概率誤差等值線圖

圖7　σθ1=σθ2=1.5°模糊四邊形面積等值線圖

圖8　σθ1=σθ2=3°模糊四邊形面積等值線圖

圖5～圖8分別為σθ1=σθ2=1.5°,σθ1=σθ2=3°時(shí)無(wú)源定位圓概率誤差和模糊四邊形面積等值線圖。根據(jù)理論推導(dǎo)和結(jié)論分析,以兩無(wú)源站之間的組網(wǎng)無(wú)源定位概率圓與模糊四邊形面積等值線圖為例,實(shí)際分析無(wú)源定位配置使用。

從圓概率誤差等值線(圖5、圖6)中可以看出,如果等值線繪制足夠密,圓概率誤差極小值就會(huì)以更小的封閉橢圓的形式表現(xiàn)出來(lái),并且概率圓面積的最小值為基線垂直平分線上。結(jié)合文獻(xiàn)[1-3]可以得出,基線固定條件下無(wú)源定位精度最優(yōu)交會(huì)角為110°,兩個(gè)無(wú)源觀測(cè)站和目標(biāo)呈等腰三角形分布。

從模糊四邊形面積等值線(圖7、圖8)中可以看出,其最小值并不分布在兩站配置的中間部分,一般分布為離偵察站越近其定位模糊四邊形面積越小,偵察站附近且交會(huì)角較大時(shí)其定位模糊四邊形越小。從等值線趨勢(shì)上看,模糊四邊形面積值會(huì)有一個(gè)鞍點(diǎn),也就是局部極小值,其點(diǎn)也在基線的垂直平分線上。但是,從整圖和數(shù)據(jù)結(jié)果分析上看,模糊四邊形面積無(wú)極小值,越是靠近基站其值越小。綜合模糊四邊形面積等值圖和理論推導(dǎo)結(jié)果:無(wú)源站基線固定條件下,以模糊四邊形面積為指標(biāo)的雙站無(wú)源定位無(wú)法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)配置；模糊四邊形面積值一般變化規(guī)律為從一個(gè)無(wú)限大值逐漸減小,其極限趨向零；或從無(wú)限接近零的正值逐漸增大,函數(shù)無(wú)極大值。

由于模糊四邊形和圓概率誤差兩種定位指標(biāo)是不同的定位指標(biāo)方法,圓概率誤差一般設(shè)置在50%,其面積一般與測(cè)向誤差緊密相關(guān)。如果提高其落入概率值,圓概率將有所增大。而模糊四邊形面積的變化不僅依賴測(cè)向誤差,偵察站和目標(biāo)的三角關(guān)系極大影響其面積大小。應(yīng)當(dāng)將兩種方法進(jìn)行綜合運(yùn)用,以達(dá)到更好的效果。

4結(jié)束語(yǔ)

本文分析了無(wú)源定位中的定位模糊區(qū)和圓概率誤差問(wèn)題,依據(jù)二次導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)了以定位模糊區(qū)面積為定位指標(biāo)的配置。無(wú)源定位站基線固定時(shí)不存在極值點(diǎn)。同時(shí)仿真實(shí)現(xiàn)基線固定條件下兩個(gè)無(wú)源傳感器定位模糊區(qū)面積、圓概率誤差等值曲線,得出了相關(guān)的結(jié)論。上述問(wèn)題的研究對(duì)于實(shí)現(xiàn)無(wú)源觀測(cè)站的合理配置和優(yōu)化選擇、提高定位精度具有一定的借鑒意義。

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Simulation analysis of passive location configuration under

condition of fixed baseline

GUO Hui-dong

(Team 51, Unit 92403 of the PLA Navy, Fuzhou 350007)

Abstract:According to the circular error probability (CEP) and the location accuracy index in the location ambiguity area, the optimal cut angle for the passive location is analyzed under the condition of the fixed baseline. The theoretical extreme values of the location accuracy are calculated through the extreme point rule of the function with the CEP equivalent curves given. Moreover, the conclusions related to the direction-finding location station distribution and configuration are verified.

Keywords:passive direction-finding system; passive location; fixed baseline; configuration

中圖分類號(hào):TN953.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1009-0401(2015)04-0007-04

作者簡(jiǎn)介:郭徽東(1976-),男,工程師,博士,研究方向:雷達(dá)數(shù)據(jù)處理。

收稿日期:2015-05-27