靳永強(qiáng) 張慶展 康志宇 唐平（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

服務(wù)航天器超近程逼近失控目標(biāo)的建模與控制

靳永強(qiáng) 張慶展 康志宇 唐平
（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

為在軌服務(wù)任務(wù)中實(shí)施對(duì)失控目標(biāo)的安全逼近與對(duì)接，開(kāi)展了服務(wù)航天器超近程逼近過(guò)程的動(dòng)力學(xué)與控制研究。通過(guò)引入描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，推導(dǎo)了一種新穎的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型；考慮對(duì)接機(jī)構(gòu)安裝位置及安裝誤差，并結(jié)合相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，建立了逼近過(guò)程的相對(duì)姿態(tài)軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型；根據(jù)逼近路徑約束條件，設(shè)計(jì)了逼近過(guò)程的期望相對(duì)位置矢量導(dǎo)引律；基于相對(duì)姿態(tài)軌道一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了考慮未知有界干擾的自適應(yīng)時(shí)變滑模控制律并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)期望相對(duì)位置矢量導(dǎo)引律的方法能夠?qū)崿F(xiàn)逼近過(guò)程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化控制，并且所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)時(shí)變滑?？刂坡删哂休^高的控制精度。

失控目標(biāo)；控制；期望相對(duì)位置矢量；服務(wù)航天器

1 引言

對(duì)在軌失控航天器捕獲后進(jìn)行維修、補(bǔ)給或移除等在軌服務(wù)，可延長(zhǎng)其工作壽命、提升工作能力或減少空間碎片數(shù)量，對(duì)航天產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。失控航天器的對(duì)接口隨其姿態(tài)翻滾而運(yùn)動(dòng)，這對(duì)服務(wù)航天器超近程逼近至對(duì)接過(guò)程的建模和控制提出了新的要求。在此過(guò)程中，需控制服務(wù)航天器沿被動(dòng)對(duì)接口方向逼近目標(biāo)航天器，同時(shí)跟蹤其姿態(tài)變化使主動(dòng)對(duì)接口指向被動(dòng)對(duì)接口。顯然，此過(guò)程中服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的位置和姿態(tài)是耦合的［1］。

相對(duì)姿態(tài)和軌道耦合動(dòng)力學(xué)與控制是伴隨空間服務(wù)操作任務(wù)需求提出的。文獻(xiàn)［2］推導(dǎo)了編隊(duì)飛行中從星相對(duì)主星的姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)［3］研究衛(wèi)星編隊(duì)飛行控制時(shí)，提出期望編隊(duì)點(diǎn)概念，并推導(dǎo)了相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型［3］。針對(duì)姿態(tài)穩(wěn)定目標(biāo)的超近程逼近控制研究較多［4－6］。逼近失控目標(biāo)時(shí)，服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的位置和姿態(tài)需同時(shí)跟蹤目標(biāo)的姿態(tài)進(jìn)行快速變化，提高了對(duì)建模與控制要求。文獻(xiàn)［7］采用θ－D次優(yōu)控制方法研究了撓性航天器接近自由翻滾目標(biāo)的控制問(wèn)題，未考慮系統(tǒng)干擾和不確定性；文獻(xiàn)［8］采用模型預(yù)測(cè)控制方法研究了與旋轉(zhuǎn)平臺(tái)交會(huì)對(duì)接的位置控制問(wèn)題，未考慮姿態(tài)部分；文獻(xiàn)［9］采用θ－D次優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)了航天器間近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的姿軌耦合控制器，但在動(dòng)力學(xué)建模中未考慮對(duì)接口的安裝位置；文獻(xiàn)［10］針對(duì)與失控目標(biāo)交會(huì)對(duì)接近距離段的姿軌耦合控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了干擾自適應(yīng)滑模控制器。時(shí)變滑模控制克服了常規(guī)滑?？刂圃谙到y(tǒng)相軌跡到達(dá)滑模面之前魯棒性弱的缺點(diǎn)，在航天器控制中有廣泛研究［11－12］。

文章綜合考慮在軌服務(wù)操作任務(wù)的多樣性及對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型需求的靈活性，在動(dòng)力學(xué)建模中引入描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，推導(dǎo)了一種新穎的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型。該模型將航天器間的相對(duì)位置跟蹤控制分解為描述相對(duì)位置變化的期望相對(duì)位置矢量設(shè)計(jì)和由位置誤差矢量描述的二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)。根據(jù)逼近路徑的約束條件，設(shè)計(jì)逼近過(guò)程的期望相對(duì)位置矢量導(dǎo)引律，控制航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化。考慮對(duì)接口安裝位置及誤差，推導(dǎo)了非點(diǎn)質(zhì)量模型的相對(duì)姿軌一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型?；诖笋詈蟿?dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了考慮未知有界干擾的自適應(yīng)時(shí)變滑?？刂坡桑⒗美钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。仿真中考慮工程實(shí)際需求，設(shè)置了逼近停泊點(diǎn)和啟動(dòng)緩沖過(guò)程。

2 問(wèn)題描述

為便于問(wèn)題描述，引入相對(duì)軌道坐標(biāo)系OT－xTyTzT：原點(diǎn)OT位于目標(biāo)的質(zhì)心，OTxT為地心與目標(biāo)質(zhì)心連線背離地心方向，OTzT為目標(biāo)軌道面正法向，OTyT與OTzT、OTxT形成右手坐標(biāo)系。Oi－xiyizi和Ob－xbybzb分別表示地心慣性坐標(biāo)系和航天器本體坐標(biāo)系［1］。

2.1 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

服務(wù)航天器與目標(biāo)之間的位置關(guān)系如圖1所示。圖1中，rt、rs分別為目標(biāo)、服務(wù)航天器的位置矢量；ld和δr分別為服務(wù)航天器的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，用于描述航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化。則有關(guān)系式

結(jié)合慣性系中軌道動(dòng)力學(xué)與式（1），在相對(duì)軌道系中建立相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型為

圖1 服務(wù)航天器與目標(biāo)之間的位置關(guān)系Fig.1 Position between servicing spacecraft and target

式（3）由位置誤差矢量δr描述的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型的平衡狀態(tài)是零狀態(tài)，并且其控制量uo包含與期望相對(duì)位置矢量ld相關(guān)控制量。引入期望相對(duì)位置矢量ld和位置誤差矢量δr，將航天器間的相對(duì)位置跟蹤控制分解為描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的ld設(shè)計(jì)和由δr描述的二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)化了相對(duì)位置運(yùn)動(dòng)構(gòu)型的描述和控制器的設(shè)計(jì)。

式（3）描述的是將航天器看作質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型，而超近程逼近過(guò)程是控制兩航天器對(duì)接口之間的相對(duì)狀態(tài)。則需建立考慮對(duì)接口安裝的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型。

圖2中，rds、rdt分別為主、被動(dòng)對(duì)接口的安裝位置矢量，且，其中為期望安裝位置矢量，δds、δdt為安裝位置誤差矢量；rdt／s為兩對(duì)接口之間在相對(duì)軌道系中的位置矢量。則有關(guān)系式

圖2 兩對(duì)接口間的位置關(guān)系Fig.2 Position between the two docking ports

式中 RTt、Rst分別為目標(biāo)本體系到相對(duì)軌道系、服務(wù)航天器本體系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

定義σst為采用修正羅德里格參數(shù)描述的服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的姿態(tài)；ωst＝ωs－Rstωt為相對(duì)姿態(tài)角速度，其中ωs、ωt分別為服務(wù)航天器、目標(biāo)本體相對(duì)慣性系的姿態(tài)角速度，則相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程的具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。結(jié)合文獻(xiàn)［13］中的相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，可得類拉格朗日方程形式的相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為

2.3 期望相對(duì)位置矢量導(dǎo)引律

為實(shí)現(xiàn)對(duì)失控目標(biāo)的逼近至對(duì)接，需控制服務(wù)航天器沿被動(dòng)對(duì)接口方向逼近目標(biāo)航天器，同時(shí)跟蹤其姿態(tài)變化使主動(dòng)對(duì)接口沿逼近方向指向被動(dòng)對(duì)接口。假設(shè)失控目標(biāo)可向服務(wù)航天器提供其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，或服務(wù)航天器利用自身設(shè)備可獲取目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息。則在相對(duì)軌道系內(nèi)設(shè)計(jì)期望相對(duì)位置矢量ld運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

可根據(jù)任務(wù)需求設(shè)計(jì)l（t）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如考慮逼近啟動(dòng)時(shí)的緩沖，引入指數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)為

式中 P為緩沖時(shí)間常數(shù)；v為期望逼近速率；l0為期望相對(duì)位置的初始值。

式（5）和式（6）描述了超近程逼近失控目標(biāo)至對(duì)接過(guò)程的相對(duì)位置誤差和相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。式（7）描述了逼近過(guò)程的相對(duì)位置導(dǎo)引律。由此可知控制系統(tǒng)的目的是，設(shè)計(jì)相對(duì)軌道和姿態(tài)控制律，在式（7）給出的相對(duì)位置導(dǎo)引律下，使Δr→0，→0，σst→0，→0。

3 相對(duì)姿軌耦合控制律設(shè)計(jì)

由式（11）可知控制系統(tǒng)的目的是，設(shè)計(jì)相對(duì)姿軌一體化耦合控制律，使x→0， x→0。針對(duì)式（11）描述的服務(wù)航天器超近程逼近失控目標(biāo)的相對(duì)姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型，本節(jié)基于自適應(yīng)方法和時(shí)變滑模思想給出一種自適應(yīng)時(shí)變滑模耦合控制器。時(shí)變滑模保證了系統(tǒng)的全局魯棒性；切換增益的自適應(yīng)消除了控制器參數(shù)選擇時(shí)需已知系統(tǒng)不確定性上界的要求。

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)已知或可測(cè)，則根據(jù)等速度規(guī)律變化斜率的時(shí)變滑模面S定義為

式中 A＝diag（a1，a2，…，a6）和B＝diag（b1，b2，…，b6）為常值對(duì)角矩陣；T＞0為兩種滑模面的切換時(shí)間；k＞0為滑模面的斜率。

S滿足下列兩個(gè)條件：

1）在初始時(shí)刻，系統(tǒng)的初始值位于滑模面上，即

2）T時(shí)刻滑模面滿足連續(xù)平滑過(guò)渡，即

由式（13）和式（14）可得

式中 x（0）i、（0）i分別為x（0）、（0）的元素，i＝1，2，…，6。

假設(shè)系統(tǒng)受到的環(huán)境干擾、對(duì)接機(jī)構(gòu)安裝位置誤差以及服務(wù)航天器慣量不確定性等造成的復(fù)合干擾d有界，并假設(shè)d滿足如下條件［13］：

式中 di＞0（i＝1，2，3）為干擾邊界參數(shù)。

則設(shè)計(jì)相對(duì)姿軌耦合的自適應(yīng)時(shí)變滑?？刂坡蔀?/p>

式中 γi＞0（i＝1，2）為自適應(yīng)常數(shù)，決定了的自適應(yīng)速度，＞0（i＝1，2，3）為干擾邊界自適應(yīng)參數(shù)。從式（18）可以看出，切換增益自適應(yīng)機(jī)理為：根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)偏離所設(shè)計(jì)滑模面的程度對(duì)切換增益進(jìn)行在線調(diào)整。一旦狀態(tài)偏離所設(shè)計(jì)滑模面，便對(duì)式（18）進(jìn)行積分，不斷增大切換增益值，直至系統(tǒng)狀態(tài)收斂到所設(shè)計(jì)的滑模面上。

將式（17）代入 V可得

將式（18）代入式（20）可得

由式（21）并結(jié)合式（16）可知， V≤0是半負(fù)定的，因此V（t）是非增有界的。這說(shuō)明S（t）、是有界的。令Q（t）＝－ V，對(duì)其從0到t進(jìn)行積分，可得由V（0）和V（t）是有界的，可得

由式（22），根據(jù)Barbalat引理知，當(dāng)t→!時(shí)，Q（t）→0。又由式（16）可推得，當(dāng)t→!時(shí)，S（t）→0。直觀上講，由t→!時(shí)，S（t）→0并不能直接得到當(dāng)t→!時(shí)→0，i＝1，2。但是，閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性可解釋為：由自適應(yīng)切換增益的計(jì)算式（18）可知，若‖S‖1≠0，則會(huì)一直增大，直到滿足滑模到達(dá)條件 （即＞‖d‖!），從而，滑動(dòng)模態(tài)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)。此時(shí)，根據(jù)時(shí)變滑模函數(shù)的表達(dá)式（12）可得，系統(tǒng)跟蹤誤差x（t）漸近收斂，從而保證了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

可得作用在服務(wù)航天器本體的控制加速度ubs和控制力矩Tc為

式（18）提供了一種估計(jì)系統(tǒng)干擾上界的方法，但其僅在“理想”滑模（即S（t）＝0）情況下有效。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于外部擾動(dòng)、模型不確定性及有限切換頻率等因素影響，滑模函數(shù)無(wú)法嚴(yán)格為零。此時(shí)，由式（18）可知切換增益會(huì)持續(xù)增大直至無(wú)界?？刹捎胹igma修正法來(lái)解決的漂移現(xiàn)象，同時(shí)為減小式（17）中的符號(hào)函數(shù)引起的抖振問(wèn)題，用飽和函數(shù)來(lái)代替［15］。修正后的自適應(yīng)律為

式中 τi＞0為較小常數(shù)，i＝1，2，3。

4 仿真驗(yàn)證

假設(shè)目標(biāo)為GEO軌道上的失控航天器，其在繞最大主慣量軸z軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)存在小幅章動(dòng)。取三軸姿態(tài)旋轉(zhuǎn)角速度分別為ωx＝0.005（°）／s、ωy＝0.01（°）／s和ωz＝0.2（°）／s；初始軌道參數(shù)為at＝42 164 137m、et＝0.005、it＝0.5°、Ωt＝10°、ωt＝20°和ft＝215°。

綜合考慮工程實(shí)際中的逼近安全性、相對(duì)導(dǎo)航切換策略、服務(wù)航天器控制能力以及對(duì)接初始條件等因素，設(shè)計(jì)服務(wù)航天器期望相對(duì)距離l（t）的導(dǎo)引律為：假設(shè)服務(wù)航天器從距目標(biāo)120m出發(fā)，以0.08m／s的速度開(kāi)始逼近目標(biāo)，在距目標(biāo)30m處設(shè)置一停泊點(diǎn)，服務(wù)航天器停泊3min，然后以0.04m／s的速度逼近目標(biāo)至對(duì)接。l（t）運(yùn)動(dòng)規(guī)律的具體表達(dá)式為

GEO航天器受到的環(huán)境干擾加速度一般在10－6m／s2數(shù)量級(jí)?？紤]系統(tǒng)其他因素影響，取相對(duì)干擾加速為［3.1，4.0，3.6］T×10－5m／s2。取作用在服務(wù)航天器上的干擾力矩模型為［15］

式中 A0＝1.5×10－5Nm；ωs為服務(wù)航天器的軌道角速度。

圖3 目標(biāo)本體系下的對(duì)接口間相對(duì)位置和速度Fig.3 Relative position and velocity between docking ports in target fixed body frame

圖4 相對(duì)位置和速度誤差曲線Fig.4 Errors of relative position and relative velocity

圖5 相對(duì)姿態(tài)角和相對(duì)角速度誤差曲線Fig.5 Errors of relative attitude angle and relative angular velocity

圖6 控制加速度和控制力矩曲線Fig.6 Control acceleration and control moment

圖7 相對(duì)軌道坐標(biāo)系內(nèi)服務(wù)航天器相對(duì)位置曲線Fig.7 Relative position of servicing spacecraft in the relative orbit coordinate system

由圖3可見(jiàn)，在期望相對(duì)位置矢量ld導(dǎo)引下，服務(wù)航天器從距目標(biāo)120m處沿被動(dòng)對(duì)接口方向以0.08m／s的接近速度，經(jīng)1 125s到達(dá)距目標(biāo)30m的停泊點(diǎn)；180s后在指數(shù)函數(shù)導(dǎo)引緩沖下，以0.04m／s的速度逼近目標(biāo)至對(duì)接。由圖4可知，經(jīng)過(guò)110s左右服務(wù)航天器對(duì)接口跟蹤上期望相對(duì)位置狀態(tài)（包括位置和速度）的變化。逼近初始和停泊初始時(shí)相對(duì)位置狀態(tài)誤差較大，由初始位置誤差和逼近速度突變?cè)斐?；而停泊結(jié)束后，由于指數(shù)函數(shù)的引導(dǎo)使得再次逼近平滑啟動(dòng)，相對(duì)位置狀態(tài)誤差較??；并且其他穩(wěn)態(tài)跟蹤時(shí)段相對(duì)位置穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.005m，相對(duì)速度穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.000 3m／s。由圖5可看出，經(jīng)過(guò)115s左右服務(wù)航天器跟蹤上目標(biāo)的姿態(tài)狀態(tài)（包括姿態(tài)和角速度）變化，相對(duì)姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.05°，相對(duì)角速度穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.002（°）／s，并且停泊時(shí)段不影響相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)跟蹤。由圖6可得出，在服務(wù)航天器逼近初始和停泊初始時(shí)，控制加速度和力矩相對(duì)較大，在完成對(duì)目標(biāo)位置和姿態(tài)跟蹤后迅速減小，并以相對(duì)較小的控制加速度和力矩維持相對(duì)位置狀態(tài)和相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)跟蹤。圖7給出了逼近過(guò)程的相對(duì)軌跡，顯示逼近軌跡為螺旋曲線。仿真結(jié)果表明文章考慮對(duì)接口安裝位置及誤差而推導(dǎo)的超近程逼近失控目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型是正確的，考慮慣量不確定性和有界干擾設(shè)計(jì)控制律是有效的，并具有一定的魯棒性。

5 結(jié)束語(yǔ)

服務(wù)航天器超近程逼近失控目標(biāo)至對(duì)接的過(guò)程中相對(duì)姿態(tài)和軌道是耦合的。文章考慮對(duì)接口安裝位置及安裝誤差，推導(dǎo)了相對(duì)姿軌一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)引入描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，將相對(duì)軌道跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問(wèn)題?？紤]相對(duì)姿軌耦合性及未知有界干擾影響，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)時(shí)變滑?？刂坡?。仿真中結(jié)合工程實(shí)際，設(shè)置服務(wù)航天器逼近目標(biāo)的停泊點(diǎn)和考慮逼近啟動(dòng)過(guò)程緩沖。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明，文章所建模型和所設(shè)計(jì)的控制算法是有效的，并具有較好的控制性能。通過(guò)期望相對(duì)位置矢量來(lái)控制相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型運(yùn)動(dòng)的方法，同樣適用于其他空間操作的控制實(shí)現(xiàn)，如航天器的空間快速繞飛及編隊(duì)飛行隊(duì)形保持等。

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Modeling and Controlling for Servicing Spacecraft Approaching a Tumbling target in Close Proximity

JIN Yongqiang ZHANG Qingzhan KANG Zhiyu TANG Ping
（Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109）

To insure the safety of autonomous approaching and docking of a tumbling target in on－orbit servicing missions，the dynamics and control for servicing spacecraft approaching in close proximity was researched.By introducing the desired relative position vector and the position error vector，which figured the relative motion configuration，a novel relative position dynamic model was derived.Considering the installation location and errors of docking mechanisms，the coupled relative position and attitude dynamic model of approaching was established.The motion law of the desired relative position vector was designed under the constraint of approaching path.Based on the integrated coupled dynamic model and considering unknown boundary interferences，the adaptive time－varying sliding mode control law was proposed，and the close－loop system was proved to be steady by using of the Lyapunov stability theory.Simulation results show that the approach of designing the desired relative position vector can control the configuration changes of the relative motion，and the adaptive time－varying sliding mode control law achieves a comparatively high precision.And the coupled model and the control law are effective with perfect performance.

Tumbling target；Control；Desired relative position vector；Servicing spacecraft

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.001

（編輯：王曉宇）

上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)（13QB1404000，14XD1423400）資助項(xiàng)目

2015－01－22。

收修改稿日期：2015－03－10

靳永強(qiáng) 1981年生，2008年獲北京理工大學(xué)控制理論與控制工程專業(yè)博士學(xué)位，高級(jí)工程師。研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)和姿態(tài)軌道控制。