靳永強 張慶展 康志宇 唐平（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

服務航天器超近程逼近失控目標的建模與控制

靳永強 張慶展 康志宇 唐平
（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

為在軌服務任務中實施對失控目標的安全逼近與對接，開展了服務航天器超近程逼近過程的動力學與控制研究。通過引入描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，推導了一種新穎的相對軌道誤差動力學模型；考慮對接機構安裝位置及安裝誤差，并結合相對姿態(tài)動力學模型，建立了逼近過程的相對姿態(tài)軌道耦合動力學模型；根據逼近路徑約束條件，設計了逼近過程的期望相對位置矢量導引律；基于相對姿態(tài)軌道一體化耦合動力學模型，設計了考慮未知有界干擾的自適應時變滑模控制律并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。仿真結果表明，設計期望相對位置矢量導引律的方法能夠實現逼近過程的相對運動構型變化控制，并且所設計的自適應時變滑模控制律具有較高的控制精度。

失控目標；控制；期望相對位置矢量；服務航天器

1 引言

對在軌失控航天器捕獲后進行維修、補給或移除等在軌服務，可延長其工作壽命、提升工作能力或減少空間碎片數量，對航天產業(yè)可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。失控航天器的對接口隨其姿態(tài)翻滾而運動，這對服務航天器超近程逼近至對接過程的建模和控制提出了新的要求。在此過程中，需控制服務航天器沿被動對接口方向逼近目標航天器，同時跟蹤其姿態(tài)變化使主動對接口指向被動對接口。顯然，此過程中服務航天器相對目標的位置和姿態(tài)是耦合的［1］。

相對姿態(tài)和軌道耦合動力學與控制是伴隨空間服務操作任務需求提出的。文獻［2］推導了編隊飛行中從星相對主星的姿軌耦合動力學模型；文獻［3］研究衛(wèi)星編隊飛行控制時，提出期望編隊點概念，并推導了相對軌道誤差動力學模型［3］。針對姿態(tài)穩(wěn)定目標的超近程逼近控制研究較多［4－6］。逼近失控目標時，服務航天器相對目標的位置和姿態(tài)需同時跟蹤目標的姿態(tài)進行快速變化，提高了對建模與控制要求。文獻［7］采用θ－D次優(yōu)控制方法研究了撓性航天器接近自由翻滾目標的控制問題，未考慮系統(tǒng)干擾和不確定性；文獻［8］采用模型預測控制方法研究了與旋轉平臺交會對接的位置控制問題，未考慮姿態(tài)部分；文獻［9］采用θ－D次優(yōu)控制算法設計了航天器間近距離相對運動的姿軌耦合控制器，但在動力學建模中未考慮對接口的安裝位置；文獻［10］針對與失控目標交會對接近距離段的姿軌耦合控制問題，設計了干擾自適應滑?？刂破?。時變滑?？刂瓶朔顺Ｒ?guī)滑?？刂圃谙到y(tǒng)相軌跡到達滑模面之前魯棒性弱的缺點，在航天器控制中有廣泛研究［11－12］。

文章綜合考慮在軌服務操作任務的多樣性及對相對運動構型需求的靈活性，在動力學建模中引入描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，推導了一種新穎的相對軌道誤差動力學模型。該模型將航天器間的相對位置跟蹤控制分解為描述相對位置變化的期望相對位置矢量設計和由位置誤差矢量描述的二階系統(tǒng)調節(jié)器設計。根據逼近路徑的約束條件，設計逼近過程的期望相對位置矢量導引律，控制航天器間的相對運動構型變化。考慮對接口安裝位置及誤差，推導了非點質量模型的相對姿軌一體化耦合動力學模型?；诖笋詈蟿恿W模型，設計了考慮未知有界干擾的自適應時變滑?？刂坡?，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。仿真中考慮工程實際需求，設置了逼近停泊點和啟動緩沖過程。

2 問題描述

為便于問題描述，引入相對軌道坐標系OT－xTyTzT：原點OT位于目標的質心，OTxT為地心與目標質心連線背離地心方向，OTzT為目標軌道面正法向，OTyT與OTzT、OTxT形成右手坐標系。Oi－xiyizi和Ob－xbybzb分別表示地心慣性坐標系和航天器本體坐標系［1］。

2.1 相對軌道動力學模型

服務航天器與目標之間的位置關系如圖1所示。圖1中，rt、rs分別為目標、服務航天器的位置矢量；ld和δr分別為服務航天器的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，用于描述航天器間的相對運動構型變化。則有關系式

結合慣性系中軌道動力學與式（1），在相對軌道系中建立相對軌道誤差動力學模型為

圖1 服務航天器與目標之間的位置關系Fig.1 Position between servicing spacecraft and target

式（3）由位置誤差矢量δr描述的相對軌道誤差動力學模型的平衡狀態(tài)是零狀態(tài)，并且其控制量uo包含與期望相對位置矢量ld相關控制量。引入期望相對位置矢量ld和位置誤差矢量δr，將航天器間的相對位置跟蹤控制分解為描述相對運動構型變化的ld設計和由δr描述的二階系統(tǒng)調節(jié)器設計，簡化了相對位置運動構型的描述和控制器的設計。

式（3）描述的是將航天器看作質點的相對軌道誤差動力學模型，而超近程逼近過程是控制兩航天器對接口之間的相對狀態(tài)。則需建立考慮對接口安裝的相對軌道誤差動力學模型。

圖2中，rds、rdt分別為主、被動對接口的安裝位置矢量，且，其中為期望安裝位置矢量，δds、δdt為安裝位置誤差矢量；rdt／s為兩對接口之間在相對軌道系中的位置矢量。則有關系式

圖2 兩對接口間的位置關系Fig.2 Position between the two docking ports

式中 RTt、Rst分別為目標本體系到相對軌道系、服務航天器本體系的坐標轉換矩陣。

2.2 相對姿態(tài)動力學模型

定義σst為采用修正羅德里格參數描述的服務航天器相對目標的姿態(tài)；ωst＝ωs－Rstωt為相對姿態(tài)角速度，其中ωs、ωt分別為服務航天器、目標本體相對慣性系的姿態(tài)角速度，則相對姿態(tài)運動學和動力學方程的具體表達式見文獻［13］。結合文獻［13］中的相對姿態(tài)運動學和動力學方程，可得類拉格朗日方程形式的相對姿態(tài)動力學模型為

2.3 期望相對位置矢量導引律

為實現對失控目標的逼近至對接，需控制服務航天器沿被動對接口方向逼近目標航天器，同時跟蹤其姿態(tài)變化使主動對接口沿逼近方向指向被動對接口。假設失控目標可向服務航天器提供其運動狀態(tài)信息，或服務航天器利用自身設備可獲取目標的運動狀態(tài)信息。則在相對軌道系內設計期望相對位置矢量ld運動規(guī)律為

可根據任務需求設計l（t）的運動規(guī)律，如考慮逼近啟動時的緩沖，引入指數函數設計為

式中 P為緩沖時間常數；v為期望逼近速率；l0為期望相對位置的初始值。

式（5）和式（6）描述了超近程逼近失控目標至對接過程的相對位置誤差和相對姿態(tài)動力學模型。式（7）描述了逼近過程的相對位置導引律。由此可知控制系統(tǒng)的目的是，設計相對軌道和姿態(tài)控制律，在式（7）給出的相對位置導引律下，使Δr→0，→0，σst→0，→0。

3 相對姿軌耦合控制律設計

由式（11）可知控制系統(tǒng)的目的是，設計相對姿軌一體化耦合控制律，使x→0， x→0。針對式（11）描述的服務航天器超近程逼近失控目標的相對姿軌耦合動力學模型，本節(jié)基于自適應方法和時變滑模思想給出一種自適應時變滑模耦合控制器。時變滑模保證了系統(tǒng)的全局魯棒性；切換增益的自適應消除了控制器參數選擇時需已知系統(tǒng)不確定性上界的要求。

假設閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)已知或可測，則根據等速度規(guī)律變化斜率的時變滑模面S定義為

式中 A＝diag（a1，a2，…，a6）和B＝diag（b1，b2，…，b6）為常值對角矩陣；T＞0為兩種滑模面的切換時間；k＞0為滑模面的斜率。

S滿足下列兩個條件：

1）在初始時刻，系統(tǒng)的初始值位于滑模面上，即

2）T時刻滑模面滿足連續(xù)平滑過渡，即

由式（13）和式（14）可得

式中 x（0）i、（0）i分別為x（0）、（0）的元素，i＝1，2，…，6。

假設系統(tǒng)受到的環(huán)境干擾、對接機構安裝位置誤差以及服務航天器慣量不確定性等造成的復合干擾d有界，并假設d滿足如下條件［13］：

式中 di＞0（i＝1，2，3）為干擾邊界參數。

則設計相對姿軌耦合的自適應時變滑?？刂坡蔀?/p>

式中 γi＞0（i＝1，2）為自適應常數，決定了的自適應速度，＞0（i＝1，2，3）為干擾邊界自適應參數。從式（18）可以看出，切換增益自適應機理為：根據系統(tǒng)狀態(tài)偏離所設計滑模面的程度對切換增益進行在線調整。一旦狀態(tài)偏離所設計滑模面，便對式（18）進行積分，不斷增大切換增益值，直至系統(tǒng)狀態(tài)收斂到所設計的滑模面上。

將式（17）代入 V可得

將式（18）代入式（20）可得

由式（21）并結合式（16）可知， V≤0是半負定的，因此V（t）是非增有界的。這說明S（t）、是有界的。令Q（t）＝－ V，對其從0到t進行積分，可得由V（0）和V（t）是有界的，可得

由式（22），根據Barbalat引理知，當t→!時，Q（t）→0。又由式（16）可推得，當t→!時，S（t）→0。直觀上講，由t→!時，S（t）→0并不能直接得到當t→!時→0，i＝1，2。但是，閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性可解釋為：由自適應切換增益的計算式（18）可知，若‖S‖1≠0，則會一直增大，直到滿足滑模到達條件 （即＞‖d‖!），從而，滑動模態(tài)會在有限時間內出現。此時，根據時變滑模函數的表達式（12）可得，系統(tǒng)跟蹤誤差x（t）漸近收斂，從而保證了整個閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

可得作用在服務航天器本體的控制加速度ubs和控制力矩Tc為

式（18）提供了一種估計系統(tǒng)干擾上界的方法，但其僅在“理想”滑模（即S（t）＝0）情況下有效。在實際工程應用中，由于外部擾動、模型不確定性及有限切換頻率等因素影響，滑模函數無法嚴格為零。此時，由式（18）可知切換增益會持續(xù)增大直至無界?？刹捎胹igma修正法來解決的漂移現象，同時為減小式（17）中的符號函數引起的抖振問題，用飽和函數來代替［15］。修正后的自適應律為

式中 τi＞0為較小常數，i＝1，2，3。

4 仿真驗證

假設目標為GEO軌道上的失控航天器，其在繞最大主慣量軸z軸旋轉的同時存在小幅章動。取三軸姿態(tài)旋轉角速度分別為ωx＝0.005（°）／s、ωy＝0.01（°）／s和ωz＝0.2（°）／s；初始軌道參數為at＝42 164 137m、et＝0.005、it＝0.5°、Ωt＝10°、ωt＝20°和ft＝215°。

綜合考慮工程實際中的逼近安全性、相對導航切換策略、服務航天器控制能力以及對接初始條件等因素，設計服務航天器期望相對距離l（t）的導引律為：假設服務航天器從距目標120m出發(fā)，以0.08m／s的速度開始逼近目標，在距目標30m處設置一停泊點，服務航天器停泊3min，然后以0.04m／s的速度逼近目標至對接。l（t）運動規(guī)律的具體表達式為

GEO航天器受到的環(huán)境干擾加速度一般在10－6m／s2數量級?？紤]系統(tǒng)其他因素影響，取相對干擾加速為［3.1，4.0，3.6］T×10－5m／s2。取作用在服務航天器上的干擾力矩模型為［15］

式中 A0＝1.5×10－5Nm；ωs為服務航天器的軌道角速度。

圖3 目標本體系下的對接口間相對位置和速度Fig.3 Relative position and velocity between docking ports in target fixed body frame

圖4 相對位置和速度誤差曲線Fig.4 Errors of relative position and relative velocity

圖5 相對姿態(tài)角和相對角速度誤差曲線Fig.5 Errors of relative attitude angle and relative angular velocity

圖6 控制加速度和控制力矩曲線Fig.6 Control acceleration and control moment

圖7 相對軌道坐標系內服務航天器相對位置曲線Fig.7 Relative position of servicing spacecraft in the relative orbit coordinate system

由圖3可見，在期望相對位置矢量ld導引下，服務航天器從距目標120m處沿被動對接口方向以0.08m／s的接近速度，經1 125s到達距目標30m的停泊點；180s后在指數函數導引緩沖下，以0.04m／s的速度逼近目標至對接。由圖4可知，經過110s左右服務航天器對接口跟蹤上期望相對位置狀態(tài)（包括位置和速度）的變化。逼近初始和停泊初始時相對位置狀態(tài)誤差較大，由初始位置誤差和逼近速度突變造成；而停泊結束后，由于指數函數的引導使得再次逼近平滑啟動，相對位置狀態(tài)誤差較小；并且其他穩(wěn)態(tài)跟蹤時段相對位置穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.005m，相對速度穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.000 3m／s。由圖5可看出，經過115s左右服務航天器跟蹤上目標的姿態(tài)狀態(tài)（包括姿態(tài)和角速度）變化，相對姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.05°，相對角速度穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不大于0.002（°）／s，并且停泊時段不影響相對姿態(tài)狀態(tài)跟蹤。由圖6可得出，在服務航天器逼近初始和停泊初始時，控制加速度和力矩相對較大，在完成對目標位置和姿態(tài)跟蹤后迅速減小，并以相對較小的控制加速度和力矩維持相對位置狀態(tài)和相對姿態(tài)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)跟蹤。圖7給出了逼近過程的相對軌跡，顯示逼近軌跡為螺旋曲線。仿真結果表明文章考慮對接口安裝位置及誤差而推導的超近程逼近失控目標的數學模型是正確的，考慮慣量不確定性和有界干擾設計控制律是有效的，并具有一定的魯棒性。

5 結束語

服務航天器超近程逼近失控目標至對接的過程中相對姿態(tài)和軌道是耦合的。文章考慮對接口安裝位置及安裝誤差，推導了相對姿軌一體化耦合動力學模型。通過引入描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，將相對軌道跟蹤控制問題轉化為調節(jié)器設計問題。考慮相對姿軌耦合性及未知有界干擾影響，設計了自適應時變滑?？刂坡?。仿真中結合工程實際，設置服務航天器逼近目標的停泊點和考慮逼近啟動過程緩沖。數學仿真結果表明，文章所建模型和所設計的控制算法是有效的，并具有較好的控制性能。通過期望相對位置矢量來控制相對運動構型運動的方法，同樣適用于其他空間操作的控制實現，如航天器的空間快速繞飛及編隊飛行隊形保持等。

［1］ LU W，GENG Y H，CHEN X Q，et al.Relative position and attitude coupled control for autonomous docking with a tumbling target［J］.International Journal of Control and Automation，2011，4（4）：1－22.

［2］ PAN H，KAPILA V.Adaptive nonlinear control for spacecraft formation flying with coupled translational and attitude dynamics［C］.Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control，Orlando，Florida，December，2001.

［3］ XING G Q，PARVEZ S A.Implementation of autonomous GPS guidance and control for the spacecraft formation flying［J］.Frontier Science，2008，2（5）：56－66.

［4］ SUBBARAO K，WELSH S J.Nonlinear control of motion synchronizations for satellite proximity operations［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（5）：1284－1294.

［5］ 朱志斌，李果，何英姿，等.基于滾動優(yōu)化的模塊航天器姿軌協同控制 ［J］.中國空間科學技術，2011，31（2）：1－8.

ZHU ZHIBIN，LI GUO，HE YINGZI，et al.Relative cooperative attitude and position control of fractioned spacecraft based on iterative optimization［J］.Chinese Space Science and Technology，2011，31（2）：1－8.

［6］ GAO X Y，YAO W，LIU H.An optimal control approach to robust control of spacecraft rendezvous system on elliptical orbit［C］.31st Chinese Control Conference，Hefei，2012.

［7］ XIN M，PAN H J.Nonlinear optimal control of spacecraft approaching a tumbling target［J］.Aerospace Science and Technology，2011，15（2）：79－89.

［8］ HYEONGJUN P，STEFANO D C，ILYA K.Model predictive control for spacecraft rendezvous and docking with a rotating tumbling platform and for debris avoidance［C］∥Proceeding of the 2011 American Control Conference，San Francisco，2011.

［9］ 李鵬，岳曉奎，袁建平.基于θ－D方法的在軌操作相對姿軌耦合控制 ［J］.中國空間科學技術，2012，32（4）：8－14.

LI PENG，YUE XIAOKUI，YUAN JIANPING.Coupled control of relative position and attitude based onθ－D technique for on－orbit operations［J］.Chinese Space Science and Technology，2012，32（4）：8－14.

［10］ 姜博嚴，胡慶雷，石忠，等.與翻滾目標近距離交會對接的相對姿軌耦合控制 ［J］.宇航學報，2014，35（1）：54－60.

JIANG BOYAN，HU QINGLEI，SHI ZHONG，et al.Relative position and attitude coupled controller design for approaching and docking with a freely tumbling target［J］.Journal of Astronautics，2014，35（1）：54－60.

［11］ JIN Y Q，LIU X D，QIU W，et al.Time－varying sliding mode controls in rigid spacecraft attitude tracking［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21（4）：352－360.

［12］ CONG B L，LIU X D，CHEN Z，et al.Time－varying sliding mode control for spacecraft attitude tracking maneuvers with a quadratic cost［C］∥Proceedings of the 30th Chinese Control Conference，Yantai，2011.

［13］ XING G Q，PARVEZ S A.Relative attitude kinematics ＆dynamics equations and its applications to the general spacecraft attitude state tracking control problem［J］.Frontier Science，2008，2（7）：26－34.

［14］ MENG Q，ZHANG T，SONG J Y.Autonomous fault－tolerant time－varying attitude tracking control of uncertain flexible satellite［C］.10th IEEE International Conference on Control and Automation，Hangzhou，2013.

［15］ WHEELER G，SU C Y，Stepanenko Y.A sliding mode controller with improved adaption laws for upper bounds on the norm of uncertainties［J］.Automatica，1998，34（12）：1657－1661.

Modeling and Controlling for Servicing Spacecraft Approaching a Tumbling target in Close Proximity

JIN Yongqiang ZHANG Qingzhan KANG Zhiyu TANG Ping
（Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109）

To insure the safety of autonomous approaching and docking of a tumbling target in on－orbit servicing missions，the dynamics and control for servicing spacecraft approaching in close proximity was researched.By introducing the desired relative position vector and the position error vector，which figured the relative motion configuration，a novel relative position dynamic model was derived.Considering the installation location and errors of docking mechanisms，the coupled relative position and attitude dynamic model of approaching was established.The motion law of the desired relative position vector was designed under the constraint of approaching path.Based on the integrated coupled dynamic model and considering unknown boundary interferences，the adaptive time－varying sliding mode control law was proposed，and the close－loop system was proved to be steady by using of the Lyapunov stability theory.Simulation results show that the approach of designing the desired relative position vector can control the configuration changes of the relative motion，and the adaptive time－varying sliding mode control law achieves a comparatively high precision.And the coupled model and the control law are effective with perfect performance.

Tumbling target；Control；Desired relative position vector；Servicing spacecraft

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.001

（編輯：王曉宇）

上海市科學技術委員會（13QB1404000，14XD1423400）資助項目

2015－01－22。

收修改稿日期：2015－03－10

靳永強 1981年生，2008年獲北京理工大學控制理論與控制工程專業(yè)博士學位，高級工程師。研究方向為航天器總體設計和姿態(tài)軌道控制。