鮑玲鑫， 施慧華

(1. 福建農(nóng)林大學 計算機與信息學院， 福建 福州 350002；2. 華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

A-收斂與幾乎處處收斂

鮑玲鑫1， 施慧華2

(1. 福建農(nóng)林大學 計算機與信息學院， 福建 福州 350002；2. 華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

設A≡(ai)∞i=1?S+，其中,S+表示1單位球面上的所有正向量構(gòu)成的集合.Banach空間X中的序列(xn)稱為A-收斂于x∈X,是指對任意的ε>0，limi→∞ai，χA(ε)=0，其中,A(ε)={n∈N∶‖xn-x‖≥ε}.用兩種不同的收斂方式刻畫A-收斂，即證明對任意A≡(ai)∞i=1?S+，存在一個N上的理想IA,以及一族極端有限可加概率測度Pext(IA)，使A-收斂且理想IA-收斂和測度Pext(IA)-收斂互為等價.此外，證明A-收斂為測度Pext(IA)-幾乎處處收斂的充分必要條件是該A-收斂為非退化的.

統(tǒng)計收斂； 理想收斂； 幾乎處處收斂； 極端測度； Banach空間.

1 A-收斂和理想收斂與極端測度收斂

注釋1 1) 若令定義中A=(ei)， 則A-收斂等價于經(jīng)典的序列收斂.

記MA={x*°χ(·)∶x*∈?pA(e)}，則文獻[9]證明了MA?P(N，2N)，其中，P(N，2N)表示定義在可測空間(N，2N)上所有有限可加概率測度構(gòu)成的集合.

若I?2N滿足:1) 任意A，B∈I，A∪B∈I；2) 任意的A∈I及B?A，B∈I，則稱I為N上的一個理想.如果理想I還滿足:I≠?(N?I，包含所有單點集)，則稱I為非平凡(真，統(tǒng)計型)理想.對于上述定義的連續(xù)半范數(shù)pA，令IA={A∈2N∶pA(χA)=0}，則容易驗證IA為N上的一個非平凡的真理想.IA為統(tǒng)計型理想的充分必要條件參見文獻[9]的定理4.2.定義

設f是定義在X上的連續(xù)凸函數(shù)，則f在點x∈X的次微分映射?f(∶X→2X*)定義為

?f(x)={x*∈X*∶f(x+y)-f(x)≥x*，y，對任意的y∈X}.

性質(zhì)1是經(jīng)典的[10].

性質(zhì)1 設p是定義在X上連續(xù)的Minkowski泛函，則對任意給定x∈X，有1) ?f(x)是非空w*-緊凸集；2)x*∈?f(x)，當且僅當x*≤p，且x*，x=p(x).

定理2 1) 對任意的A∈2N，pA(χA)=0，當且僅當qA(χA)=0.

2) 根據(jù)文獻[8]的引理2.9可知，qA(e)=dist(e，XIA)=1=‖e‖.另外，不難驗證qA(x)≤‖x‖對一切x∈∞成立.根據(jù)性質(zhì)1中2)可知，?qA(e)??‖e‖.?‖e‖為文獻[9]中命題2.2的一部分.

基于此，只需找到一個x*∈?qA(e)使x*，x)=qA(x，便可以保證第一個“=”成立.對于上述在商空間∞/XIA中，利用Hahn-Banach定理可知，存在使‖‖=1，并且‖‖.根據(jù)經(jīng)典定理可知，存在唯一的使‖‖=‖x*‖及對所有的y∈∞成立.特別的，

再根據(jù)性質(zhì)1中2)可知，x*∈?qA(e).

對于第二個“=”，注意到性質(zhì)1中1)，?qA(e)是一個非空的w*-緊凸集.從而根據(jù)Krein-Milman定理得到第二個等號成立.

注釋2 由定理2中2)可知，?qA(e)°χ(·)??‖e‖°χ(·)=P(N，2N).定義

P(N，2N，IA)={μ∈P(N，2N)∶μ(A)=0對所有的A∈IA}.

根據(jù)定理2中1)，3)，在文獻[8]定理2.3的意義下，有P(N，2N，IA)??qA(e). 即有P(N，2N，IA)=?qA(e)°χ(·).

令Pext(N，2N，IA)=ext ?qA(e)°χ(·).下文中分別用P(IA)和Pext(IA)表示P(N，2N，IA)和Pext(N，2N，IA).

證明 1)?2) 即為定理1.

2)?3) 由性質(zhì)1，定理2以及IA的定義即可驗證.

3)?4) 注意到注釋2的P(IA)??qA(e)即可得到.

4)?5) 只需利用定理2中3)即可驗證.

2 A-收斂與幾乎處處收斂

作為文獻[12]定理1.5的特殊情形，有如下結(jié)論成立.

定理4 設x*∈?qA(e)，則x*∈ext ?qA(e)當且僅當x*為∞上的保正交不變的泛函，即對任意的x=(x(n))，y=(y(n))∈∞滿足:xy=(x(n)y(n))=0，x*，xy=0.

基于此，可以得到如下結(jié)論.

證明 設x*∈ext ?qA(e)，若x*，en=0對一切n∈N成立，則此時有若存在某個n0∈N使x*，en0≠0，根據(jù)定理4可知，x*，en0x*，χN{n0}=0.從而有x*，en0=1及x*，χN{n0}=0.如果x*∈1，且注意到定理2中2)，可得x*=en0.下面只需證明x*∈1.因為所以存在正分解其中1∩P+及從而有

以及

注釋3 對任意的x*∈ext ?qA(e)，x*要么是純連續(xù)，要么是w*-序列連續(xù)的.從而對任意的μ∈Pext(IA)，μ要么是可數(shù)可加測度，要么是純有限可加測度.其中，相關概念與性質(zhì)可以參考文獻[13].

這里稱A-收斂為退化的原因是它等價于由有限個退化的測度定義的收斂.稱A∈2N為Pext(IA)-零測集是指對任意的μ∈Pext(IA)都有μ(A)=0.

注釋4 由定理3及定義3可知，序列(xn)?X為Pext(IA)-幾乎處處收斂于x總是意味著(xn)A-收斂于x.

下面給出A-收斂為幾乎處處收斂的一個充分必要條件.

證明 充分性是顯然的.因為如果A-收斂是退化的，根據(jù)定理5可知，存在有限個正整數(shù)A≡{n1，n2，…，nk}使Pext(IA)={en1°χ(·)，en2°χ(·)，…，enk°χ(·)}.對任意的x0∈X{0}，定義序列xn=x0，n∈A；=0，n∈NA.則不難驗證，(xn)A-收斂于x0，但不會Pext(IA)-幾乎處處收斂于x0.這是一個矛盾.

往證必要性.設(xn)A-收斂于x，且令

C0={n∈N∶‖x0-x‖≥1}，Ck={n∈N∶2-k<‖xn-x‖≤2-(k-1)}，(k=1，2，…).

下面證明上述3個斷言.

1) 對任意i≥m0，都存在唯一的k(i)∈N，使mk(i)≤ik(i)時，j?Bk.故而

注意到i→∞時，k(i)→∞.根據(jù)定理2中1)，3)可知

pA(χB)=0=qA(χB)=sup{(x*，χB)∶x*∈ext ?qA(e)}.

即得到B為Pext(IA)-零測集.

推論1 經(jīng)典統(tǒng)計收斂、A-統(tǒng)計收斂(包括lacunary-統(tǒng)計收斂和λ-統(tǒng)計收斂)在統(tǒng)計測度意義下都是幾乎處處收斂的.

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(責任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

OnA-Convergence and Almost Usual Convergence

BAO Lingxin1， SHI Huihua2

(1. School of Computer and Information， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， China； 2. School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

statistical convergence； ideal convergence； almost usual convergence； extreme measures； Banach space

1000-5013(2015)06-0726-05

10.11830/ISSN.1000-5013.2015.06.0726

2015-04-03

鮑玲鑫(1982-)，男，講師，博士，主要從事基礎數(shù)學泛函分析、Banach空間幾何的研究.E-mail:bolingxmu@sina.com.

國家自然科學基金專項數(shù)學天元基金資助項目(11426064, 11426061)； 國家自然科學基金青年基金資助項目(11401227, 11501108)； 福建省自然科學基金資助項目(2015J01579)

O 177.2

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