李瑾

(河南財政稅務高等?？茖W校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

Caputo型分數(shù)階微積分求解及其誤差估計

李瑾

(河南財政稅務高等專科學校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

研究Caputo 型分數(shù)階微分函數(shù)的正解情況，考察其正解的唯一性問題，進而研究其數(shù)值求解的誤差估計，所得結果拓展了Wyss的研究成果.

分數(shù)階微積分; Caputo型； Chebyshev 多項式； 誤差估計； 唯一性.

分數(shù)階微積分在一些混沌領域，如在遺傳數(shù)理得到了較為廣泛的應用[1-3].然而，由于其應用上的非局部性，使得分數(shù)階微積分數(shù)值計算較為復雜，進而導致發(fā)展較為緩慢[4].Diethelm[5]根據(jù)前人的研究成果[6-11]，給出了幾種較為常見的分數(shù)階微積分的數(shù)值算法，并提出了分數(shù)階微積分的Gauss求解原理及算法.本文基于Sugiura等[12]的分數(shù)階微積分Chebyshev 多項式數(shù)值算法模型，考察Wyss等[13]設計的Caputo 型分數(shù)階微分函數(shù)的正解情況，進而研究其數(shù)值求解的誤差估計.

1 分數(shù)階積分及其拓展算法

Wyss和Chneider建構了分數(shù)階積分函數(shù)，令φ(x)，ψ(x)為已知函數(shù)，所組成的偏微分方程為

為進一步研究高階分數(shù)階積分，Miyakoda拓展了Wyss的研究成果，建構基于Chebyshev多項式逼近的高階分數(shù)階積分[13].為此，令函數(shù)f(x)分數(shù)階積分為

結合文獻[3]的研究，對上述方程進行多項式逼近，可得到

T0(x)=1，T1(x)=x，Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x).

結合式(4)，由方程(1)可得

為了進一步得出該多項式的算法，記pn為式(4)的n次多項式，于是有

于是,可得到

由方程(9)中Ti(2x-1)(i=1，2，…，n)的系數(shù)，可以得到

所以，分數(shù)階積分(1)的數(shù)值算法為

式(11)中:α>a，t∈[0，1]，ak，bk由方程(4)及方程(10)給出.

2 Caputo型分數(shù)階微分的數(shù)值算法

首先，給出Caputo型分數(shù)階導數(shù)的定義.令函數(shù)f(t)的Caputo型分數(shù)階導數(shù)為

式(12)中:Γ(·)是Gamma函數(shù).接下來，對該導數(shù)進行Chebyshev多項處理，可得

進而得到

為了進一步明確bi，將方程(16)～(18)整合,可得到

可以發(fā)現(xiàn)

式(18)中：k=1，2，…，n-2;bn-1=bn-2=0.于是,可得到Caputo型的分數(shù)階導數(shù)的數(shù)值算法為

當前糧食的機械干燥方法主要包括熱風干燥、真空干燥、微波干燥、太陽能干燥、熱泵干燥、就倉干燥、紅外輻射干燥以及熱風——微波聯(lián)合干燥等新型干燥技術，其中熱風干燥技術依舊是應用較普遍的干燥技術[2]。為此，利用DHG-9240A型熱風干燥試驗裝置進行試驗，分析在不同溫度、風速和物料薄層厚度條件下高水分小麥的熱風干燥特性，并建立高水分小麥熱風干燥數(shù)學模型，進而揭示高水分小麥的熱風干燥規(guī)律和干燥機理，為高水分小麥熱風干燥工藝建立及其設備研制提供理論依據(jù)。

式(19)中：α∈(1，2)，t∈[0，1]，而dk，bk分別由方程(17)，(18) 確定.

3 Caputo型分數(shù)階微分方程解的唯一性問題

當t∈(0，+∞)，(0，∞)→R時，f(x)的a階(a∈R+)分數(shù)階積分為

所以，其Caputo型分數(shù)階導數(shù)則為

假設G(t，s)>0(t，s∈(0，1)為Green函數(shù)，于是，在g∈[0，1]，2≤a≤3，Caputo型分數(shù)階導數(shù)微分方程為

設P={x∈C[0，1]|x(t)≥0，t∈[0，1]}，所以P為Banach空間C的正規(guī)錐，于是提出如下假設.

假設1f(t，u，v)∶[0，1]×[0，∞)×[0，∞)→[0，∞)連續(xù)，且f(t，0，1)≠0.

假設2 當t∈[0，1]，v∈[0，∞)時，在u∈[0，+∞)區(qū)間，f(t，u，v)單調(diào)遞增；當t∈[0，1]，u∈[0，+∞)時，在v∈[0，+∞)區(qū)間，f(t，u，v)單調(diào)遞減；?γ∈(0，1)，存在φ(γ)∈(γ，1)，使f(t，γu，γ-1)≥

φ(γ)f(t，u，v)，?u，v∈[0，∞).于是，提出以下3點結論.

1) 存在r∈(0，1)及u0，v0∈Pw，使不等式rv0≤u0

上式中：w(t)=t，t∈[0，1].

2) 在P={x∈C[0，1]|f(x)≥0，x∈[0，1]}，Caputo分數(shù)階微分方程具有唯一解u*.

3) ?x0，y0∈P，構造迭代序列

上式中：n=1，2，….

當n→∞時，xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t)成立.

4 誤差分析

由于前述的Chebyshev多項式pn(x)具有解的有界性和一致性，所以有

于是，在積分空間Cr上，Chebyshev多項式分數(shù)階積分f(x)的數(shù)值算法具有誤差估計為

所以，在積分空間Cr上，Chebyshev多項式分數(shù)階積分f(x)的數(shù)值算法具有的誤差估計滿足

于是，En(t)=f(t)-pn(t)=An+1(t)Bn(t)，又由于Chebyshev多項式f(x)的一致有界性，所以有

注 上述結論中o的含義為n→+∞時，Chebyshev多項式f(x)數(shù)值算法誤差的收斂速率.

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(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 吳逢鐵)

Algorithm and Error Estimate on the Fractional Differential Equation With Caputo Derivative

LI Jin

(Department of Information Technology, Henan Finance and Taxation College, Zhengzhou 451464, China)

The development speed of the reactional differential equation is slow due to the application nonlocality and the calculative complexity. In this paper, we will discuss the positive solution to the fractional differential equation with Caputo derivative based on the current research. Then we also study the uniqueness of the solution and discern the deviation comparing with numerical solution. The paper expands Wyss′ research and conclusion.

fractional differential equation; Caputo derivative； Chebyshv polynomial; error estimate； uniqueness

1000-5013(2015)06-0721-05

10.11830/ISSN.1000-5013.2015.06.0721

2015-10-08

李瑾(1961-)，女，副教授，主要從事微積分及經(jīng)濟數(shù)學的研究.E-mail:396319685@qq.com.

河南省2014年軟科學研究計劃項目(142400411076)

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