崔　文，李成剛，林家慶，謝志紅

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京　210016)

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柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動力學(xué)建模與仿真分析

崔文，李成剛，林家慶，謝志紅

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京210016)

摘要：針對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動力學(xué)建模問題，首先在已存在的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人凱恩動力學(xué)求解方法的基礎(chǔ)上對廣義主動力的求解進(jìn)行分類與合并，詳細(xì)地推導(dǎo)出傳動比不為1的多連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動力學(xué)方程。然后分別運(yùn)用ADAMS與S函數(shù)對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行正動力學(xué)仿真與數(shù)值仿真。最后通過對比仿真，證明了用凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)方程的正確性。

關(guān)鍵詞：凱恩方法；柔性關(guān)節(jié)；傳動比；ADAMS；S函數(shù)

傳統(tǒng)的機(jī)器人動力學(xué)建模是把機(jī)器人看作全剛體系統(tǒng)，運(yùn)用拉格朗日方程、牛頓-歐拉方程進(jìn)行動力學(xué)分析，建立剛性機(jī)器人的動力學(xué)方程[1-3]。但實際的機(jī)器人系統(tǒng)并非剛性系統(tǒng)，關(guān)節(jié)處的柔性會對機(jī)器人尤其是空間機(jī)器人的末端誤差以及其他的動力學(xué)性能產(chǎn)生不可忽視的影響。此外，要實現(xiàn)對機(jī)器人的更精確控制必須考慮機(jī)器人的動力學(xué)性質(zhì)。因此，建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人精確的動力學(xué)模型具有重要的意義。國內(nèi)的大部分文獻(xiàn)在運(yùn)用凱恩方法推導(dǎo)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)方程時，對于主動約束力的求解不夠明確，而且在求解驅(qū)動力對于廣義主動力的貢獻(xiàn)時忽略了關(guān)節(jié)傳動比或者默認(rèn)傳動比為1[4-5]。為了解決這些問題，從而可以對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行更好的動力學(xué)分析與控制，本文給出了關(guān)節(jié)傳動比不為1的多連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動力學(xué)建模方法。

1柔性關(guān)節(jié)的簡化模型

采用比較簡單的Spong模型建立柔性關(guān)節(jié)的模型[4]。Spong模型提出了2個假設(shè)：1)用線性彈簧來描述系統(tǒng)的關(guān)節(jié)柔性，其彈性力(或力矩)和關(guān)節(jié)的柔性變形是線性關(guān)系；2)把電機(jī)的轉(zhuǎn)子看作是集中在轉(zhuǎn)軸上的一個整體，如圖1所示。

圖中：φi為電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)角；θi為電機(jī)經(jīng)過減速裝置后輸出的轉(zhuǎn)角；qi為連桿的角位移，即經(jīng)過扭轉(zhuǎn)彈簧后輸出的轉(zhuǎn)角；Ni為減速裝置的傳動比；Ji為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；Ii為機(jī)器人連桿的轉(zhuǎn)動慣量；ki為扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù)。εi為扭轉(zhuǎn)彈簧變形所引起的變形轉(zhuǎn)角，εi=qi-θi。

圖1　柔性關(guān)節(jié)簡化模型

2用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動力學(xué)方程

(1)

2.1求偏角速度與偏速度

凱恩方法中的偏速度或偏角速度并不是速度或角速度，只是表示速度或角速度對于第j個廣義速率Uj的偏導(dǎo)數(shù)。簡單地講就是指在速度與加速度表達(dá)式里廣義速率前的系數(shù)，由此可以從連桿速度與加速度的遞推公式[6]推出連桿相對于廣義速率的偏速度與偏角速度，可得

(2)

(3)

(4)

2.2　系統(tǒng)的廣義慣性力

(5)

由文獻(xiàn)[4]可知所有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子相對廣義速率Uj的廣義慣性力為：

(6)

式中：Izj為轉(zhuǎn)子沿自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。

2.3　系統(tǒng)的廣義主動力

為了使廣義主動力的推導(dǎo)變得簡單而且易于理解，需要將主動約束力進(jìn)行分類合并。因此，將情況1)、2)放在一起計算，看作是連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動約束力對廣義主動力的貢獻(xiàn)；將情況3)、4)放在一起計算，看作是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i與連桿i之間的主動約束力對廣義主動力的貢獻(xiàn)，如圖2所示。

圖2　主動約束力位置

1)連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動約束力的廣義主動力。

根據(jù)連桿速度與角速度的遞推公式可知，連桿i-1的絕對角速度為iωi-1，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i的絕對角速度為iωRi。

(7)

由式(7)可得

(8)

式中：iωi-1,j與iωRi,j分別為iωi-1與iωRi相對廣義速率Uj的偏角速度。

(9)

因此由式(9)可得連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動約束力(驅(qū)動力矩)的廣義主動力為

(10)

則所有的驅(qū)動力矩對廣義主動力的貢獻(xiàn)為

(11)

2)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i與連桿i之間的主動約束力的廣義主動力。

(12)

由于柔性(扭轉(zhuǎn)彈簧)的作用，關(guān)節(jié)兩端的角速度不相等，設(shè)靠近連桿i-1一端的絕對角速度為iΩi-1，靠近連桿i一端的絕對角速度為iΩi，于是得到如下公式：

(13)

則iΩi的相對廣義速率Uj的偏角速度為

(14)

(15)

于是得到所有彈簧兩端的扭矩(柔性關(guān)節(jié)內(nèi)力)相對廣義速率Uj的廣義主動力為

(16)

2.4　系統(tǒng)的凱恩方程

(19)

3仿真分析

圖3　虛擬樣機(jī)模型

本文進(jìn)行柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的正動力學(xué)仿真，輸入為關(guān)節(jié)力矩，輸出為關(guān)節(jié)角位移。設(shè)置扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)k1=k2=2 000N·m/rad，關(guān)節(jié)傳動比N1=N2=100。將運(yùn)動學(xué)模型得出的速度、加速度、偏速度的數(shù)值以及由ADAMS模型得出的質(zhì)量、慣量參數(shù)[8]代入動力學(xué)方程中整理得到具體的數(shù)學(xué)方程，可得

(20)

其中：

q=(q1,q2)T，

θ=(θ1,θ2)T，

K=diag(2 000,2 000)，

G(q)=(0,0)T，

N2J=diag(0.019 7,0.019 7)，

Nτ=(N1τ1,N2τ2)T，

根據(jù)這組微分方程組在MATLAB中編寫S函數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，如圖4所示。

圖4　MATLAB中Simulink仿真模型

由上述處理過程可知，ADAMS中的虛擬樣機(jī)是根據(jù)實際柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人模型建立的，而S函數(shù)中的仿真模型是根據(jù)動力學(xué)方程得到的，因此將ADAMS動力學(xué)仿真直接得出的曲線當(dāng)作實際值，將MATLAB中Simulink數(shù)值仿真得到的曲線作為理論值，然后進(jìn)行對比分析。

首先設(shè)置關(guān)節(jié)輸入力矩N1τ1=50N·mm，N2τ2=5N·mm，可分別得到理論與實際關(guān)節(jié)角位移曲線，如圖5，6所示。

圖5　關(guān)節(jié)1的角位移曲線

再將關(guān)節(jié)力矩設(shè)置成隨時間變化的量：N1τ1=50sin(t)N·mm，N2τ2=5sin(t)N·mm，分別得到理論與實際關(guān)節(jié)角位移曲線，如圖7，8所示。

圖6　關(guān)節(jié)2的角位移曲線

圖7　關(guān)節(jié)1的角位移曲線

圖8　關(guān)節(jié)2的角位移曲線

由圖5~8可知，無論輸入力矩為常量還是變量，理論角位移曲線與實際角位移曲線都比較接近。這表明由凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動力學(xué)方程是正確的和有效的。

通過對比得到的曲線可知，ADAMS仿真曲線與MATLAB的S函數(shù)數(shù)值積分總是存在誤差，這是因為運(yùn)用凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)方程中忽略了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子與連桿之間的慣性耦合，而ADAMS軟件仿真時考慮到了慣性耦合的影響。

4結(jié)束語

本文在柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人傳動比不為1的情況下，系統(tǒng)地給出了用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程，并運(yùn)用動力學(xué)分析軟件ADAMS與S函數(shù)進(jìn)行對比仿真。仿真結(jié)果表明，本文給出的關(guān)節(jié)傳動比不為1的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動力學(xué)建模方法是正確的與有效的，而且可以適用于任意自由度、任意空間形式的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人。此外，本文的凱恩方法中將主動力的貢獻(xiàn)進(jìn)行分類與合并，使推導(dǎo)過程更加清晰易懂，為其他學(xué)者用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)模型奠定了良好的基礎(chǔ)。

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Kane dynamic modeling and simulation analysis for the flexible-joint robot

CUI Wen, LI Chenggang, LIN Jiaqing, XIE Zhihong

(School of Mechanicak and Electrical Engineering,

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Jiangsu Nanjing, 210016, China)

Abstract：Aimming at the problem of dynamic modeling of flexible-joint robot, it classifies and merges the solution of generalized active force, derives the dynamic equation of the flexible joint robot where the transmission ratio is not 1 in detail on the basis of the existed kane modeling method. Based on ADAMS, it analyzes the dynamic simulation and the S function, realizes a numerical simulation on the flexible-joint robot. At last, it compares the simulation results and proves the correctness of the dynamic equation of the flexible joint robot established by Kane method.

Key words：Kane method; flexible-joint; transmission ratio; ADAMS; S function

作者簡介：崔文(1990—)，男，江蘇徐州人，南京航空航天大學(xué)碩士研究生，主要研究方向為機(jī)器人動力學(xué)與控制。

基金項目：江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程(SJLX0119)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助

收稿日期：2015-11-17

中圖分類號：TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-509X(2015)12-0005-05

DOI:10.3969/j.issn.2095-509X.2015.12.002